Đề bài
Cho đường tròn [O] đường kính AB = 2R. Vẽ dây DE vuông góc với AO tại I là trung điểm của AO.
a] Chứng minh rằng tam giác ADB vuông. Tính AD, DB theo R.
b] Tiếp tuyến với đường tròn [O] tại D cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn [O].
c] Chứng minh rằng : MA.MB = MI.MO.
d] Trên đường tròn [O] lấy điểm N [ N nằm trên nửa mặt phẳng bờ DE chứa điểm A và \[N \ne A\]]. Tiếp tuyến với [O] tại N cắt MD ở P và cắt ME ở Q. Trường hợp cho \[\widehat {DME} = {60^o}\], tính theo R chu vi tam giác MPQ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng tính chất: góc có đỉnh nằm trên đường tròn và chắn nửa đường tròn là góc vuông.
b] Chứng minh \[\angle MEO = {90^0}\].
c] Sử dụng các tam giác đồng dạng.
d] Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, chứng minh \[{C_{\Delta MPQ}} = 4DI\]. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính DI.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {ADB}\] chắn nửa đường tròn đường kính \[AB \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^0}\].
Do đó tam giác \[ADB\] vuông tại \[D\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADB có: \[A{D^2} = AB.AI = 2R.\dfrac{R}{2} = {R^2} \] \[\Leftrightarrow AD = R\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ADB có:
\[D{B^2} = A{B^2} - A{D^2} = {\left[ {2R} \right]^2} - {R^2} = 3{R^2}\] \[ \Rightarrow DB = R\sqrt 3 \].
b] Xét tam giác vuông ODI và tam giác vuông OEI có:
\[OI\,\,chung\]
\[ID = IE\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung]
\[ \Rightarrow \Delta ODI = \Delta OEI\] [cạnh huyền cạnh góc vuông]
\[ \Rightarrow \angle DOI = \angle EOI\] hay \[\angle MOD = \angle MOE\].
Xét \[\Delta OMD\] và \[\Delta OME\] có:
\[\begin{array}{l}OM\,\,chung;\\\angle MOD = \angle MOE\,\,\left[ {cmt} \right]\\OD = OE = R\\ \Rightarrow \Delta OMD = \Delta OME\,\,\left[ {c.g.c} \right]\\ \Rightarrow \angle MEO = \angle MDO = {90^0}\end{array}\]
Mà \[OE\] là bán kính của \[\left[ O \right] \Rightarrow ME\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\] tại \[E\].
c] Ta có: \[\angle ADM + \angle ADO = \angle MDO = {90^0}\]
\[OA = OD = AD = R \Rightarrow \Delta OAD\] đều \[ \Rightarrow \angle ODA = \angle OAD = {60^0}\]
Xét tam giác vuông ABD có: \[\angle OAD + \angle ABD = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \angle ADM = \angle ABD\].
Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta DBM\] có:
\[\begin{array}{l}\angle BMD\,\,chung\\\angle ADM = \angle ABD\,\,\left[ {cmt} \right]\\ \Rightarrow \Delta ADM \sim \Delta DBM\,\,\left[ {g.g} \right] \\\Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MD}}{{MB}} \\\Rightarrow M{D^2} = MA.MB\,\,\left[ 1 \right]\end{array}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ODM có: \[M{D^2} = MI.MO\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow MA.MB = MI.MO\].
d] Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: \[PD = PN;\,\,QE = QN\]
Ta có: Chu vi tam giác MPQ là:
\[{C_{\Delta MPQ}} = MP + MQ + PQ \]\[\,= MP + MQ + PN + QN = MD + ME\].
Mà \[MD = ME\] [tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau]. Lại có \[\angle DME = {60^0} \] \[\Rightarrow \Delta MDE\] đều
\[ \Rightarrow MD = ME = DE\] \[ \Rightarrow {C_{\Delta MPQ}} = 2DE = 4DI\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có:
\[D{I^2} = AI.BI = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\\ \Rightarrow DI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\].
Vậy khi \[\angle DME = {60^0}\] thì \[{C_{\Delta MPQ}} = 4.\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} = 2R\sqrt 3 \].