Đề bài - bài 2 trang 19 sgk hình học 11
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(2;0)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x+y-2=0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép quay tâm \(O\) góc\( 90^{\circ}\). Đề bài Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(2;0)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(x+y-2=0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép quay tâm \(O\) góc\( 90^{\circ}\). Video hướng dẫn giải Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), quay ngược chiềukim đồng hồ. Ảnh của đường thẳng được xác định bởi ảnh của ít nhất 2 điểm thuộc đường thẳng ấy Lời giải chi tiết * Ta có \(A(2; 0)\) thuộc tia \(Ox.\) Gọi \({Q_{\left( {O,90} \right)}}\;\left( A \right) = B\)thì \(B\) thuộc tia \(Oy\) và \(OA = OB\) nên \(B(0 ; 2).\) * Lấy \(A(2;0), B(0;2)\) thuộc \(d\) Ta có: \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\,\Rightarrow B\left( {0;2} \right)\) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = A'\, \Rightarrow A'\left( {-2;0} \right)\) Do đó \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\) biến đường thẳng \(AB\) thành đường thẳng \(BA'\) hay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(BA'\). Mà \(B\left( {0;2} \right),A'\left( { - 2;0} \right)\) nên đường thẳng \(A'B\) có phương trình \(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{2} = 1\) \( \Leftrightarrow - x + y = 2\) \( \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\) Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) \( \Rightarrow AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) với \(ab \ne 0\). Cách khác: Gọi \(d'\) là ảnh của \(d\) qua\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\) Dễ thấy \(A(2;0)\) thuộc \(d\) vì \(2+0-2=0.\) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\)\( \Rightarrow B\left( {0;2} \right)\) thuộc \(d'.\) Do\(d' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( d \right)\) \( \Rightarrow \left( {d,d'} \right) = {90^0} \Rightarrow d' \bot d\). Mà\(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {1; - 1} \right)\) là \(VTPT\) của \(d'.\) \(d'\) đi qua \(B(0;2)\) và nhận \((1;-1)\) làm \(VTPT\) nên có phương trình: \(1(x-0)-1(y-2)=0\) hay \(x-y+2=0.\)
|