Công thức diện tích hình phẳng
Bài viết hướng dẫn phương pháp ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm Tích phân và Ứng dụng. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Khẳng định nào sau đây đúng? Lời giải: Ví dụ 2: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng? Lời giải: Ví dụ 3: Gọi ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a < b)$; ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = 2018f(x)$, $y = 2018g(x)$và hai đường thẳng $x=a$, $x=b.$ Khẳng định nào sau đây đúng? Lời giải: Ví dụ 4: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = {x^2} + x$, $y = 3x$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=3.$ Lời giải: $ \Rightarrow S = \int_1^2 {\left( {{x^2} 2x} \right)dx} $ $ + \int_2^3 {\left( {{x^2} 2x} \right)dx} $ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} {x^2}} \right)} \right|_1^2$ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} {x^2}} \right)} \right|_2^3 = 2.$ Ví dụ 5: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {x^3} x$ và $y = 3x.$ Lời giải: Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} x$ và đồ thị hàm số $y = x {x^2}.$ Lời giải: Ví dụ 7: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {(x 6)^2}$, $y = 6x {x^2}.$ Lời giải: Ví dụ 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = {x^2} + 1$, tiếp tuyến với đường cong này tại điểm $M(2;5)$và trục $Oy$ bằng: Lời giải: Ví dụ 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = {x^3} 3x$ và tiếp tuyến với đường cong này tại điểm $M( 1;2)$bằng: Lời giải: Ví dụ 10: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {e^{2x}}$, $y = {e^{ x}}$ và đường thẳng $x=1$ bằng $a.{e^2} + \frac{1}{e} + b$ với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$ Lời giải: Ví dụ 11: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {e^{2x}} + {e^x}$, $y = 4{e^x} 2$ bằng $\frac{a}{b} + c\ln 2$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = {a^2} + b c.$ Lời giải: Ví dụ 12: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x{e^x}$, $y = m{e^x}$ $(m > 1)$và đường thẳng $x=1.$ Lời giải: $ \Rightarrow S = \int_1^m {\left| {2{e^x} m{e^x}} \right|dx} $ $ = \int_1^m {(m x)} {e^x}dx.$ $ \Rightarrow S = \left. {(m x){e^x}} \right|_1^m$ $ + \left. {{e^x}} \right|_1^m$ $ = {e^m} me.$ Ví dụ 13: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = 2x\ln x$, $y = 6\ln x$ bằng $a + b\ln 3$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = 2a + b.$ Lời giải: Ví dụ 14: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = 2\cos x$, $y = 3$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{\pi }{4}$ bằng $\frac{a}{b}\pi + \frac{{\sqrt 2 }}{c}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = 2a + b + c.$ Lời giải: Ví dụ 15: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = 1 + {\cos ^2}x$, $y = {\sin ^2}x$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{\pi }{4}$ bằng $\frac{a}{b}\pi + \frac{c}{d}$ với $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$ Lời giải: Ví dụ 16: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = {x^2}$, $x = {y^2}$ bằng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là các phân số tối giản. Khi đó khoảng cách từ điểm $M(a;b)$ đến điểm $A(2;1)$bằng: Lời giải: Ví dụ 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \left| {{x^2} 3x + 2} \right|$, $y = x + 2$ bằng $\frac{a}{b}$với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng? Lời giải: Ví dụ 18: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {x^2} + 4x$, $y = 2x m$ $(m > 1)$và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ bằng $4.$ Khẳng định nào sau đây đúng? Lời giải: Ví dụ 19: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {x^2} x$, $y = x + 3$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = m$ $(m > 3)$ bằng $\frac{{{m^3}}}{3} {m^2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng? Lời giải: Ta có: $S = \int_0^m {\left| {{x^2} 2x 3} \right|dx} $ $ = \int_0^3 {\left( {{x^2} 2x 3} \right)dx} $ $ + \int_3^m {\left( {{x^2} 2x 3} \right)dx} .$ Ví dụ 20: Diện tích hình elip $(E):{x^2} + 16{y^2} = 16$bằng: Lời giải: Đặt $x = 4\sin t$, $t \in \left[ { \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ $ \Rightarrow dx = 4\cos tdt.$ Ví dụ 21: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $(E)$ có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(0 < b < a)$ và đường tròn $(C):{x^2} + {y^2} = 7.$Biết diện tích hình elip $(E)$ gấp $7$ lần diện tích hình tròn $(C).$ Khẳng định nào sau đây là đúng? Lời giải: Đặt $x = a\sin t$, $t \in \left[ { \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ $ \Rightarrow dx = a\cos tdt.$ Ví dụ 22: Parabol $y = {x^2}$ chia đường tròn tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng $\sqrt 2 $ thành hai phần. Gọi ${S_1}$ là diện tích phần nằm hoàn toàn trên trục hoành và ${S_2}$ là diện tích phần còn lại. Giá trị ${S_2} 3{S_1}$bằng? Lời giải: Tìm các hoành độ giao điểm: III. LUYỆN TẬP Câu 2: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3}$, $y = {x^5}$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T = a + b.$ Câu 3: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 5$, $y = 6x$, $x = 0$, $x = 1$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T = {\log _2}(a + b 2).$ Câu 4: Gọi ${S_1}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ và ${S_2}$ là diện tích của hình thoi có các đỉnh là các đỉnh của elip đó. Tính tỉ số giữa ${S_1}$ và ${S_2}.$ Câu 5: Cho diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = {x^3}$, $y = 2 {x^2}$, $x = 0$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 6: Cho diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{{\ln x}}{{2\sqrt x }}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$ bằng $a + b\sqrt e $với $a$, $b$ là các số nguyên. Giá trị $a+b$ thuộc khoảng nào sau đây? Câu 7: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = 2 x$, $y = 0$, $x = m$, $x = 3$ $(m < 2)$bằng $13.$ Giá trị $m$ thuộc khoảng nào sau đây? Câu 8: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (e + 1)x$ và $y = \left( {{e^x} + 1} \right)x$ bằng $\frac{e}{a} + b$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = a + 2b.$ Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol: $(P):y = {x^2} 2x + 2$, tiếp tuyến của $(P)$ tại $M(3;5)$ và trục $Oy$ có giá trị thuộc khoảng nào sau đây? Câu 10: Parabol $y = \frac{{{x^2}}}{2}$ chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính $2\sqrt 2 $ thành $2$ phần. Gọi ${S_1}$, ${S_2}$ lần lượt là diện tích phần gạch chéo và phần không gạch chéo như hình vẽ. Tính tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ lấy giá trị gần đúng hàng phần trăm. 2. BẢNG ĐÁP ÁN
|