- a
- b
Cho dãy số\[\left[ {{u_n}} \right]\]xác định bởi
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 2} \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {n + 1}}\,\,\,\,\, \hfill \cr} \right.\]
a
Chứng minh rằng\[{u_n} > 0\]và
\[{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\]với mọi n
Lời giải chi tiết:
- Chứng minh\[{u_n} > 0\] với mọi n bằng phương pháp quy nạp theo n:
+] Với n = 1 suy ra \[{u_1} = {1 \over 2}>0\], [1] đúng
+] Giả sử [1] đúng với n = k ta có \[u_k>0\]
Ta chứng minh [1] đúng với n = k + 1
\[{u_{k + 1}} = {{{u_k}} \over {k+1}} >0\] vì\[u_k>0\] và k+1>0
Suy ra \[{u_n} > 0\] với mọi n [đpcm]
- Chứng minh\[{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\]với mọi n:
\[{u_n} > 0\] với mọi n nên ta có:
\[{{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}=\frac{1}{n+1} \le {1 \over 2}\] vì \[n+1\ge 2\] với mọi \[n \ge 1\]
b
Từ đó suy ra\[\lim {u_n} = 0\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& {u_2} \le {1 \over 2}{u_1} \cr
& {u_3} \le {1 \over 2}{u_2} \le {\left[ {{1 \over 2}} \right]^2}{u_1},... \cr
& 0 \le {u_n} < {\left[ {{1 \over 2}} \right]^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 2}{\left[ {{1 \over 2}} \right]^{n - 1}} \cr} \]\[=\left[ {{1 \over 2}} \right]^n\]
\[\lim {\left[ {{1\over 2}} \right]^n} = 0\]
Theo nguyên lý kẹp ta có\[\lim {u_n} = 0\]