- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau:
LG a
\[{6^x} + {8^x} = {10^x};\]
Lời giải chi tiết:
Chia hai vế cho \[{10^x}\] , ta được \[{\left[ {{3 \over 5}} \right]^x} + {\left[ {{4 \over 5}} \right]^x} = 1\] rồi chứng tỏ rằng \[x = 2\] là nghiệm duy nhất
Ta tìm được\[x = 2\]
LG b
\[{\left[ {\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } } \right]^x} + {\left[ {\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } } \right]^x} = \sqrt {{{10}^x}} ;\]
Lời giải chi tiết:
Chia hai vế cho \[\sqrt {{{10}^x}} \], ta được
\[\sqrt {{{\left[ {{{5 + 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right]}^x} }+ \sqrt {{{\left[ {{{5 - 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right]}^x}} = 1\]
Đặt vế trái là \[f[x]\] ta thấy \[f[2] = 1\]
Với \[x > 2\] , ta có
\[f[x] = \sqrt {{{\left[ {{{5 + 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right]}^x} }+ \sqrt {{{\left[ {{{5 - 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right]}^x}} \\ < \sqrt {{{\left[ {{{5 + 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right]}^2} }+ \sqrt {{{\left[ {{{5 - 2\sqrt 6 } \over {10}}} \right]}^2}} = 1\]
Với \[x < 2\] , tương tự ta có \[f[x] > 1\] .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x = 2\] .
LG c
\[{\left[ {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right]^x} + {\left[ {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right]^x} = {2^x};\]
Lời giải chi tiết:
Chia hai vế cho \[{2^x}\]
Ta tìm được\[x = 2\]
LG d
\[{3^x} - {\left[ {{1 \over 3}} \right]^x} + {2^x} - {\left[ {{1 \over 2}} \right]^x} - {\left[ {{1 \over 6}} \right]^x} = - 2x + 6.\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[f[x] = {3^x} - {\left[ {{1 \over 3}} \right]^x} + {2^x} - {\left[ {{1 \over 2}} \right]^x} - {\left[ {{1 \over 6}} \right]^x}\] ;\[g[x] = - 2x + 6\] . Dễ thấy \[f[x]\] đồng biến trên R [Xét dấu đao hàm] ; \[g[x]\] nghịch biến trên R và \[f[1] = g[1] = 4\]
Với \[x > 1\] ta có \[f[x] > f[1] = g[1] > g[x]\] ;
Với \[x < 1\] ta có \[f[x] < f[1] = g[1] < g[x]\].
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x = 1\]