Cách giải toán hàm số lớp 9
1. Kiến thức cần nhớ về hàm số bậc nhấta) Khái niệm Show
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số thực cho trước và a ≠ 0 - Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax, biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x b) Tính chất Hàm số bậc nhấty = ax + byxác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: + Đồng biến trên R khia>0 + Nghịch biến trên R khia<0 Ví dụ: Hàm sốy=3x−5y=3x−5cóa=3>0a=3>0nên là hàm số đồng biến. Hàm sốy=−x+2y=−x+2cóa=−1<0a=−1<0nên là hàm số nghịch biến. c) Nhận xét về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) - Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà ta gọi là đường thẳng y = ax. Đường thẳng y = ax nằm ở góc phần tư thứ I và thứ III khi a > 0; nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV khi a < 0 - Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. -Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 2. Các dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 9 có ví dụ cụ thểDạng 1: Tìm tập xác định của hàm sốPhương pháp giải Ví dụ:Với những giá trị nào của x thì hàm số sau đây xác định: Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm sốPhương pháp giải: Để vẽ đồ thị hàm số y=ax+b ta xác định hai điểm bất kỳphân biệtnằm trên đường thẳng. Sau đó vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó là được. Ví dụ:Vẽ đồ thị hàm số y=2x+4. Lời giải Đường thẳng y=2x+4 đi qua các điểm A(0;4) và B(-2;0). Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số. Dạng 3: Tìm tập xác định D của hàm sốPhương pháp giải Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) + Thế giá trị x = x0∈ D vào biểu thức của hàm số rồi tính giá trị biểu thức (đôi khi ta rút gọn biểu thức, biến đổi x0rồi mới thay vào để tính toán. + Thế giá trị y = y0ta được f(x) = y0. Giải phương trình f(x) = y0để tím giá trị biến số x (chú ý chọn x∈ D) Ví dụ: Tính giá trị của hàm số: Lời giải TXĐ: R Ta có: f(1) = (-3)/4.(-1)2+ 2 = (-3)/4 + 2 = 5/4. f(2) = (-3)/4.(2)2+ 2 = -3 + 2 = -1. Dạng 4: Xác định đường thẳng song song hay vuông góc với đường thẳng cho trướcĐiều kiện để hai đường thẳng y=ax+b và y=αx+β song song với nhau làa=α và b≠β. Còn điều kiện để hai đường thẳng y=ax+b và y=αx+β vuông góc với nhau làaα=−1. Ví dụ:Tìm đường thẳng đi qua A(3;2) và vuông góc với đường thẳng y=x+1. Lời giải: Giả sử đường thẳng y=ax+b vuông góc với đường thẳng đã cho. Suy ra 1.a=−1⇔a=−1. Thay x=3, y=2, a=−1 vào phương trình ta có: 2=−3+b⇔b=5. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=−x+5. Dạng 5: Xác định đường thẳngPhương pháp giải Gọi hàm số cần tìm là: y = ax + b (a ≠ 0), ta phải tìm a và b + Với điều kiện của bài toán, ta xác định được các hệ thức liên hệ giữa a và b. + Giải phương trình để tìm a, b. Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất: y = -2x + b. Xác định b nếu: a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2. b) Đồ thị hàm số đi qua điểm A (-1; 2). Lời giải a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 nên b = -2. Vậy hàm số cần tìm là y = -2x – 2. b) Đồ thị hàm số y = -2x + b đi qua điểm A(-1; 2) nên: 2 = -2.(-1) + b⇔ 2 = 2 + b⇔ b = 0. Vậy hàm số cần tìm là y = -2x. Ví dụ 2:Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 2. Xác định m, biết: a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2. b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Lời giải a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2 nên điểm A (-2; 0) thuộc đồ thị hàm số. Do đó: 0 = -2(m - 2) + m + 2⇔ -2m + 4 + m + 2 = 0⇔ m = 6. b) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên O (0; 0) thuộc đồ thị hàm số Do đó: 0 = (m - 2).0 + m + 2⇔ m + 2 = 0⇔ m = -2. Dạng 6:Xác định điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳngPhương pháp giải Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng (d) có phương trình: y = ax + b. Khi đó: M∈ (d)⇔ y0= ax0+ b; M∉ (d)⇔ y0≠ ax0+ b. Ví dụ 1:Cho đường thẳng (d): y = -2x + 3. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A (-m; -3). Lời giải Đường thẳng (d): y = -2x + 3 đi qua điểm A (-m; -3) khi: -3 = -2.(-m) + 3⇔ 2m = -6⇔ m = -3. Vậy đường thẳng (d): y = -2x + 3 đi qua điểm A (-m; -3) khi m = -3. Ví dụ 2:Chứng minh rằng đường thẳng (d): (m + 2)x + y + 4m - 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Lời giải Gọi điểm M(x0; y0) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua, ta có: (m + 2) x0+ y0+ 4m - 3 = 0 ⇔ m(x0+ 4) + (2x0+ y0- 3) = 0 Đường thẳng (d) luôn đi qua M(x0; y0) với mọi m khi và chỉ khi: Vậy điểm cố định mà (d) luôn qua với mọi giá trị của m là M (-4; 11). 3. a, Vẽ đồ thị các hàm số y = x + 1 và y = -x + 3 trên cùng một hmặt phẳng tọa độ. b, Hai đường thẳng y = x + 1 và y = -x + 3 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. c, Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (dơn vị cm) 4. Cho hàm số y = (m - 1)x + 3 a, Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến? Nghịch biến? b, Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) c, Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; -2) d, Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của m tìm được ở các câu b, c. Xem lời giảiHàm số bậc nhất là một chương cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS. Chủ đề này luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi tuyển sinh vào lớp 10. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru gửi đến bạn đọc bài viết tổng hợp những phương pháp và ví dụ minh họa điển hình kèm lời giải chi tiết. Cùng nhau khám phá nhé: I. Trọng tâm kiến thức về hàm số bậc nhất.1. Hàm số bậc nhất là gì?Hàm số có dạng y=ax+b (  2. Tính biến thiên ở hàm số bậc nhất.- Xét hàm số y=ax=b (a≠0): - Tập xác định: D=R - Khi a>0, hàm số đồng biến. Ngược lại, khi a<0, hàm số nghịch biến. - Ta có bảng biến thiên hàm số: 3. Đồ thị hàm số.Hàm số y=ax+b ( Đặc biệt, trong trường hợp a=0, hàm số suy biến thành y=b, là một hàm hằng, đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành. Lưu ý: khi cho đường thẳng d có hệ số góc a, đi qua điểm (x0;y0), sẽ có phương trình: II. Các dạng toán hàm số bậc nhất tổng hợp.Dạng 1: Tìm hàm số bậc nhất, xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất.Phương pháp: Đối với bài toán xác định hàm số bậc nhất, ta sẽ làm theo các bước: - Hàm số cần tìm có dạng: y=ax+b (Đối với bài toán tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất: gọi đường thẳng d: y=ax+b (a≠0), đường thẳng d’: y=a’x+b’ (a’≠0), lúc này: + d trùng d’ khi và chỉ khi:+ d song song d’ khi: + d cắt d’ khi a≠a’, lúc này tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: đặc biệt khi Ví dụ 1: Xét hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, hãy xác định hàm số biết rằng: a. d đi qua điểm (1;3) và (2;-1). b. d đi qua điểm (3;-2), đồng thời song song với d’: 3x-2y+1=0. c. d đi qua điểm (1;2), đồng thời cắt tia Ox và tia Oy lần lượt tại M, N thỏa diện tích tam giác OMN là nhỏ nhất. d. d đi qua (2;-1) và vuông góc với d’: y=4x+3.Hướng dẫn: Hàm số có dạng y=ax+b ( a. Chú ý: một đường thẳng có dạng y=ax+b ( Vì hàm số đi qua hai điểm (1;3) và (2;-1), ta có hệ phương trình: Vậy đáp số là Do d song song d’, suy ra: lại có d đi qua (3;-2), suy ra: Ta có thu được hàm số cần tìm. c. Tọa độ các điểm cắt lần lượt là:Do điểm giao nằm trên tia Ox và tia Oy, vì vậy a<0 và b>0 Lúc này, diện tích tam giác được tính theo công thức: Theo đề, đồ thị đi qua điểm (1;2), suy ra: 2=a+b ⇒ b=2-a Thế vào công thức diện tích: Vậy diện tích tam giác MNO đạt nhỏ nhất khi: Đáp số cần tìm: Chú ý: ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương để giải bài toán trên, cụ thể: cho hai số thực dương a,b, khi đó ta có bất đẳng thức: điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi: a=b d. Đồ thị đi qua điểm (2;-1) nên: Lại có d vuông góc d’: Vậy ta thu được: Ví dụ 2: Xét hai đường thẳng d:y=x+2m và d’:y=3x+2.
Hướng dẫn: a. Vì 1≠3 (hai hệ số góc khác nhau) nên d và d’ cắt nhau.Tọa độ giao điểm là nghiệm của: Vậy tọa độ giao điểm là M(m-1;3m-1) b. Do 3 đường thẳng đồng quy, vậy M ∈d’’. Suy ra:Xét: m=1, khi đó 3 đường thằng là d:y=x+2; d’: y=3x=2 và d’’: y=-x+2 phân biệt cắt nhau tại (0;2) m=-3 khi đó d’ trùng với d’’, không thỏa mãn tính phân biệt.Vậy m=1 là đáp số cần tìm. Dạng 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.Phương pháp: Dựa vào tính chất biến thiên đã nêu ở mục I để giải. Ví dụ 1: Cho hàm số sau, xét sự biến thiên: Hướng dẫn: a. Tập xác định D=Ra=3>0, vậy nên hàm số đồng biến trên R. Bảng biến thiên được vẽ như sau: Vẽ đồ thị: để vẽ đồ thị, ta xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua, cụ thể là hai điểm (-2;0) và (-1;3) b. Ta biến đổi hàm số về dạng:Tập xác định D=R. Hệ số góc a<0, hàm số nghịch biến trên R. Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số: Dạng 3: Hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối.Phương pháp: Xét đồ thị hàm số có dạng Cách 1: Vẽ đồ thị (C1) của hàm số y=ax+b với các tọa độ x thỏa mãn ax+b≥0. Tiếp tục vẽ đồ thị (C2) của hàm số y= -ax-b ở các tọa độ x thỏa mãn ax+b<0. Đồ thị © cần tìm là hợp của đồ thị (C1) và (C2). Cách 2: Vẽ đồ thị (C’) của hàm số y=ax+b, lấy đối xứng phần đồ thị (C’) nằm dưới trục hoành qua trục hoành, rồi xóa toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Phần đồ thị còn lại là đồ thị © cần tìm. Mở rộng: Cho trước đồ thị (C) : y=f(x). Khi đó:
Ví dụ: Vẽ đồ thị: Hướng dẫn: a. Khi x≥0, hàm số có dạng y=2x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (0;0) và (1;2) (chú ý chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0) - Khi x<0, hàm số có dạng y=-x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (-1;1) và (-2;2) (chú ý lấy phần nằm bên trái đường thẳng x=0) b. Ta vẽ đường thẳng y=-3x+3 và đường thẳng y=3x-3. Sau đó xóa phần đồ thị nằm dưới trục hoành, ta sẽ thu được đồ thị cần tìm.
|
