Cách chúng minh công thức va chạm đàn hồi

Khi hai vật tiến lại gần nhau (không nhất thiết phải đụng vào nhau), tương tác với nhau bằng các lực rất mạnh, trong khoảng thời gian rất ngắn, rồi tách xa nhau hoặc dính vào nhau cùng chuyển động, thì ta gọi đó là va chạm. Nếu xét vật nhỏ thì, mặt dù thời gian tương tác rất ngắn, nhưng lực tương tác rất lớn nên xung lượng của lực tương tác là đáng kể, nên động lượng của vật đó thay đổi đáng kể. Tuy nhiên, nếu xét hệ hai vật thì tương tác giữa chúng khi va chạm chỉ là nội lực.

Vậy, va chạm giữa hai vật là hiện tượng hai vật tương tác với nhau trong một khoảng thời gian rất ngắn nhưng động lượng và vận tốc của ít nhất một vật biến thiên đáng kể.

Trong cơ học, ta chỉ nghiên cứu sự va chạm có tiếp xúc giữa hai vật, nhưng trong vật lí hạt nhân, người ta còn nghiên cứu cả sự va chạm không có tiếp xúc giữa các hạt mang điện cùng dấu.

2) Phân loại va chạm

Trong quá trình va chạm, các vật sẽ truyền năng lượng, động lượng cho nhau để thay đổi vận tốc hoặc hình dạng. Nếu sau va chạm mà hình dạng và trạng thái bên trong của các vật không thay đổi, thì ta gọi đó là va chạm đàn hồi. Trái lại là va chạm không đàn hồi.

Khi hai vật va chạm có tiếp xúc, tại thời điểm chúng tiếp xúc nhau, sẽ tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả hai vật. Mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng va chạm và pháp tuyến của mặt phẳng này tại điểm tiếp xúc được gọi là pháp tuyến va chạm.

Nếu khối tâm và vectơ vận tốc của hai vật trước va chạm đều nằm trên pháp tuyến va chạm thì ta gọi đó là va chạm trực diện hay chính diện hoặc xuyên tâm. Trái lại, ta có va chạm xiên. Các va chạm này cũng chỉ là đàn hồi hoặc không đàn hồi mà thôi.

Nếu sau va chạm, hai vật dính vào nhau (nghĩa là vận tốc tương đối giữa chúng triệt tiêu) thì ta gọi đó là va chạm mềm (hay hoàn toàn không đàn hồi).

Giữa va chạm mềm và va chạm đàn hồi có vô số các trường hợp trung gian. Trong các bài toán đơn giản, ta chỉ khảo sát hai trường hợp giới hạn, gọi tắt là va chạm đàn hồi và va chạm mềm.

3) Các định luật bảo toàn trong va chạm

Đối với các va chạm, thời gian tương tác là rất ngắn, hơn nữa, nội lực tương tác là rất mạnh, vì thế hệ được coi là kín, nên động lượng của hệ được bảo toàn.

Riêng đối với va chạm đàn hồi, sau va chạm, hình dạng và trạng thái bên trong của các vật không thay đổi nên không có sự chuyển hóa cơ năng thành các dạng năng lượng khác, do đó cơ năng được bảo toàn. Trong va chạm đàn hồi, thế năng của các vật không đổi trước và sau va chạm, nên động năng của hệ được bảo toàn (trường hợp này va chạm còn được gọi là hoàn toàn đàn hồi).

4) Khảo sát va chạm đàn hồi

Xét hai vật khối lượng m1 và m2, chuyển động với vận tốc  \( {{\vec{v}}_{1}} \) và  \( {{\vec{v}}_{2}} \) đến va chạm đàn hồi với nhau. Gọi  \( {{\vec{v}}_{1}}^{\prime } \) và  \( {{\vec{v}}_{2}}^{\prime } \) là vận tốc tương ứng của chúng sau va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng, ta có:

 \( {{m}_{1}}{{\vec{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\vec{v}}_{2}}={{m}_{1}}{{\vec{v}}_{1}}^{\prime }+{{m}_{2}}{{\vec{v}}_{2}}^{\prime } \)    (4.49)

 \( \frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}{{m}_{1}}v\prime _{1}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}v\prime _{2}^{2} \)  (4.50)

a) Trường hợp m1 >> m2 và v1 = 0

(4.49)  \( \Rightarrow {{\vec{v}}_{1}}^{\prime }=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\left( {{{\vec{v}}}_{2}}-{{{\vec{v}}}_{2}}^{\prime } \right)\approx 0 \);

(4.50)  \( \Rightarrow {{v}_{2}}^{\prime }={{v}_{2}} \)

Nghĩa là sau va chạm vật m1 hầu như không chuyển động, còn vật m2 chuyển động với độ lớn vận tốc như cũ. Trên thực tế, đây chính là trường hợp quả bóng đập vào tường rồi nẩy ra; hay hòn bi-da đập vào băng rồi bắn ra với vận tốc có độ lớn như cũ.

b) Trường hợp m1 = m2 và v1 = 0

Từ (4.49) và (4.50), ta có:

\(\left. \begin{align} & {{{\vec{v}}}_{2}}={{{\vec{v}}}_{1}}^{\prime }+{{{\vec{v}}}_{2}}^{\prime } \\  & v_{2}^{2}={v}\prime _{1}^{2}+{v}\prime _{2}^{2} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow {{\vec{v}}_{1}}^{\prime }\bot {{\vec{v}}_{2}}^{\prime }\)

Vậy, sau va chạm, hai vật chuyển động theo hai hướng vuông góc với nhau.

c) Trường hợp va chạm chính diện

Trước và sau va chạm, vectơ vận tốc của các vật đều nằm trên pháp tuyến va chạm. Vì thế (4.49) và (4.50) được viết thành phương trình đại số:

\({{m}_{1}}{{v}_{1}}+{{m}_{2}}{{v}_{2}}={{m}_{1}}{{{v}’}_{1}}+{{m}_{2}}{{{v}’}_{2}}\)

\({{m}_{1}}v_{1}^{2}+{{m}_{2}}v_{2}^{2}={{m}_{1}}{v}\prime _{1}^{2}+{{m}_{2}}{v}\prime _{2}^{2}\)

Giải 2 phương trình trên, ta được:

\({{{v}’}_{1}}=\frac{2{{m}_{2}}{{v}_{2}}+\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right){{v}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\)    (4.51)

\({{{v}’}_{2}}=\frac{2{{m}_{1}}{{v}_{1}}+\left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right){{v}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\)    (4.52)

Trong đó v1, v2,  \( {{{v}’}_{1}} \) và  \( {{{v}’}_{2}} \) là các hình chiếu của các vectơ vận tốc lên pháp tuyến va chạm. Nó có giá trị dương hay âm là tùy theo vectơ vận tốc tương ứng cùng chiều hay ngược chiều dương mà ta chọn.

Đặc biệt:

+ Nếu m1 = m2 thì  \( {{{v}’}_{1}}={{v}_{2}} \) và  \( {{{v}’}_{2}}={{v}_{1}} \): các vật trao đổi vận tốc cho nhau. Suy ra, nếu ban đầu vật m1 đứng yên thì sau va chạm, vật m2 sẽ truyền hết vận tốc của mình cho m1 rồi nó đứng yên.

+ Nếu m1 >> m2 và v1 = 0 thì  \( {{{v}’}_{1}}\approx 0 \) và  \( {{{v}’}_{2}}\approx -{{v}_{2}} \): vật m2 bật ngược lại theo phương cũ với vận tốc như trước.

+ Nếu m1 >> m2 và v2 = 0 thì \({{{v}’}_{1}}\approx {{v}_{1}}\) và \({{{v}’}_{2}}\approx 2{{v}_{1}}\): vật m1 hầu như không thay đổi vận tốc, còn vật m2 thu được vận tốc lớn gấp 2 lần vận tốc cũ của m1.

5) Khảo sát va chạm mềm

Xét trường hợp đặc biệt: vật m1 chuyển động với vận tốc v1 đến va chạm với vật m2 đang đứng yên. Sau va chạm, hai vật dính vào nhau, cùng chuyển động với vận tốc v.

Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có:

\({{m}_{1}}{{\vec{v}}_{1}}=\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)\vec{v}\Rightarrow \vec{v}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{{\vec{v}}_{1}}\)     (4.53)

Động năng lúc đầu của hệ:  \( {{E}_{\text{đ}}}=\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{1}^{2} \)

Động năng lúc sau của hệ:

 \( {{{E}’}_{\text{đ}}}=\frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right){{v}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{m_{1}^{2}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}v_{1}^{2}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{{E}_{\text{đ}}}<{{E}_{\text{đ}}} \)

Suy ra, phần cơ năng đã chuyển hóa thành dạng năng lượng khác là:

\(\Delta U={{E}_{\text{đ}}}-{{{E}’}_{\text{đ}}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{{E}_{\text{đ}}}\)   (4.54)

Biểu thức (4.54) có ý nghĩa thực tế:

+ Khi đóng đinh, hay đóng cọc, ta cần động năng sau của đinh, cọc lớn và đồng thời đinh, cọc không bị biến dạng ( \( \Delta U  \) nhỏ), muốn vậy, ta phải dùng búa có khối lượng m1 lớn.

+ Ngược lại, khi rèn một vật, hay tán đinh ốc, ta cần làm biến dạng vật, nghĩa là cần  \( \Delta U  \) lớn; muốn vậy, phải dùng búa nhẹ và kê vật cần tán, rèn lên đè nặng.

Bài giảng Bài toán va chạm nhằm giúp học sinh hiểu được khái niệm va chạm, phân biệt được từng loại va chạm và đặc điểm của chúng. Qua đó, nắm được các kiến thức cơ bản áp dụng giải các bài toán va chạm từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó rút ra kinh nghiệm, kỹ năng giải quyết các bài toán va chạm một cách ngắn gọn và đúng nhất.

Chúng ta xét qua dạng 3: Bài toán va chạm. Ở lớp 10, chúng ta đã học về va chạm và hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu thêm một số dạng của bài toán va chạm có thể gặp trong các đề thi.

* Va chạm mềm (Va chạm tuyệt đối không đàn hồi)
* Trước va chạm:
+ Vật m1 chuyển động với vận tốc \(\overrightarrow{v_1}\).
+ Vật m2 chuyển động với vận tốc \(\overrightarrow{v_2}\). ⇒ Động lượng: \(\overrightarrow{P_t} = m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2}\)

* Sau va chạm: hai vật dính vào nhau và cùng chuyển động với vận tốc \(\overrightarrow{v}\).

⇒ Động lượng: \(\overrightarrow{P_s} = (m_1 + m_2).\overrightarrow{v}\) ĐLBT động lượng: \(\overrightarrow{P_s} = \overrightarrow{P_t}\) \(\Rightarrow (m_1 + m_2)\overrightarrow{v} = m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2}\) Nếu \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) cùng phương thì: \(\Rightarrow (m_1 + m_2)v = m_1 v_1 + m_2 v_2\)

* Trong va chạm mềm không có định luật bảo toàn năng lượng (vì có nội năng sinh ra)

\(Q = \frac{1}{2} m_1 v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_2 v_{2}^{2} - \frac{1}{2} (m_1 + m_2)v^2\)

* Va chạm tuyệt đối đàn hồi
* Trước va chạm:
+ Vật m1 chuyển động với vận tốc \(\overrightarrow{v_1}\).
+ Vật m2 chuyển động với vận tốc \(\overrightarrow{v_2}\).
⇒ Động lượng: \(\overrightarrow{P_t} = m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2}\)
* Sau va chạm: 
+ Vật m1 chuyển động với vận tốc \(\overrightarrow{v'_1}\).
+ Vật m2 chuyển động với vận tốc \(\overrightarrow{v'_2}\).
⇒ Động lượng: \(\overrightarrow{P_s} = m_1 \overrightarrow{v'_1} + m_2 \overrightarrow{v'_2}\)
ĐLBT động lượng: \(\overrightarrow{P_s} = \overrightarrow{P_t}\) \(\Rightarrow m_1\overrightarrow{v'_1} + m_2\overrightarrow{v'_2} = m_1\overrightarrow{v_1} + m_2\overrightarrow{v_2}\)

Nếu \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) cùng phương thì:

\(m_1v'_1 + m_2v'_2 = m_1v_1 + m_2v_2 \ (1)\)

ĐLBT năng lượng:

\(\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2 + \frac{1}{2} m_2{v'_2}^2 = \frac{1}{2} m_1{v_1}^2 + \frac{1}{2} m_2{v_2}^2 \ (2)\)

Từ (1) và (2) ⇒ Kết quả

VD1: Một con lắc lò xo có độ cứng 100 N/m, vật nặng m1 = 900 g đang nằm cân bằng trên mặt phẳng ngang. Viên dạn có khối lượng m2 = 100 g bay với vận tốc 2 m/s theo phương trục lò xo đến va chạm mềm với m1. Sau va chạm 2 vật cùng dao động điều hòa với biên độ A. Tìm A?
Giải:
k = 100 N/m
m1 = 900 g, v1 = 0
m2

 = 100 g, v2 = 2 m/s Theo ĐLBT động lượng: \(m_2\overrightarrow{v_2} = (m_1 + m_2) \overrightarrow{v}\) \(\Rightarrow v = \frac{m_2v_2}{m_1+ m_2} = \frac{100.2}{900+100} = 0,2\ m/s = 20\ cm/s\) \(\Rightarrow v_{max} = v = 20\ cm/s\) \(\cdot \ A = \frac{v_{max}}{\omega }\) \(\cdot \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} = \sqrt{\frac{100}{0,9+0,1}} = 10\ rad/s\)

\(\Rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega } = \frac{20}{10}=2\ (cm)\)

VD2: Vật có khối lượng m rơi từ độ cao h lên một đĩa cân gắn vào một lò xo có độ cứng k, vật và đĩa cân dính vào nhau dao động điều hòa. Bỏ qua khối lượng đĩa  cân, gia tốc trọng trường g, bỏ qua mọi lực cản. Tìm biểu thức biên độ A?
Giải:

• Vận tốc của vật m khi vừa chạm đĩa cân: \(v = \sqrt{2gh}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{P_t} = m \overrightarrow{v}\) \(\overrightarrow{P_s} = \overrightarrow{P_t} = m \overrightarrow{v}\)

Tại vị trí: \(\left\{\begin{matrix} |x| = \Delta \ell \ \ \\ v = \sqrt{2gh} \end{matrix}\right.\)

\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

\(\Rightarrow A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega ^2}} = \sqrt{{\Delta \ell }^2 + \frac{2gh}{k}.m}\)