Các dạng toán rút gọn biểu thức lớp 9 năm 2024

Câu 1. Cho biểu thức \[C=\left( \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}} \right):\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1} \right)\]

1. a) Tìm điều kiện xác định và và rút gọn C
2. b) Tìm a để \[\sqrt{C}>\frac{\sqrt{6}}{6}\]

HD:

1. a) \[C=\frac{1}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}:\frac{3}{\left( \sqrt{a}-2 \right)\left( \sqrt{a}-1 \right)}=\frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}\]
2. b) \[C=\frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}\]

Để có \[\sqrt{C}\] thì \[\sqrt{a}-2\ge 0\Leftrightarrow a\ge 4\]

\[\sqrt{C}>\frac{\sqrt{6}}{6}\Leftrightarrow C\ge \frac{1}{6}\Leftrightarrow C-\frac{1}{6}\ge 0\Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{3\sqrt{a}}-\frac{1}{6}\ge 0\Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\ge 0\Leftrightarrow a\ge 16\]

Câu 2. Cho biểu thức \[A=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+4}:\left( \frac{x}{x+2\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2} \right)\], với \[x>0\].

1. a) Rút gọn biểu thức \[A\].
2. b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để \[A\ge \frac{1}{3\sqrt{x}}\].

Câu 3. Cho biểu thức $P=\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+4\sqrt{a} \right):\left( \frac{{{a}^{2}}+a\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right)\left( \begin{align}

& a>0 \\

& a\ne 1 \\

\end{align} \right)$

1. a) Rút gọn biểu thức $P$
2. b) Tìm tất cả các giá trị của $a$để $P>2$.
3. c) Tìm a nguyên để P lớn nhất

HD:

1. a) Với $a>0,a\ne 1$ ta có:

$\begin{align}

& P=\left( \frac{{{\left( \sqrt{a}+1 \right)}^{{2}}-{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}}{2}}+4\sqrt{a}\left( a-1 \right)}{\left( \sqrt{a}-1 \right)\left( \sqrt{a}+1 \right)} \right):\left( \frac{a\sqrt{a}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{\sqrt{a}+1} \right) \\

& =\frac{a+2\sqrt{a}+1-a+2\sqrt{a}-1+4a\sqrt{a}-4\sqrt{a}}{a-1}:a\sqrt{a} \\

& =\frac{4a\sqrt{a}}{a-1}.\frac{1}{a\sqrt{a}}=\frac{4}{a-1} \\

\end{align}$

1. b) Tìm a để $P>2$

$P>2\Leftrightarrow \frac{4}{a-1}>2\Leftrightarrow \frac{2}{a-1}-1>0\Leftrightarrow \frac{3-a}{a-1}>0\Leftrightarrow 1

Vậy $12$

1. c) $P=\frac{4}{a-1}$

Ta thấy với $a\ge 0,a\ne 1,a\in Z\Rightarrow \left[ \begin{align}

& a=0\Rightarrow P<0 \\

& a>1\Leftrightarrow a\ge 2\Rightarrow P\le \frac{4}{2-1}=4 \\

\end{align} \right.$ nên P lớn nhất khi $a=2$.

Vậy ${{P}_{max}}=4$ khi $a=2$.

Câu 4. Cho biểu thức $A=\frac{3x+5\sqrt{x-1}-14}{x-3+\sqrt{x-1}}-\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+2}\left( \begin{align}

& x\ge 1 \\

& x\ne 2 \\

\end{align} \right)$

1. a) Rút gọn biểu thức $A$
2. b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $A>2$

HD:

1. a) Với ĐK $x\ge 1,x\ne 2$ ta có

$\begin{align}

& A=\frac{3x+5\sqrt{x-1}-14}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}-\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x-1}-1}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}+2} \\

& =\frac{x+6\sqrt{x-1}-8}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+7 \right)}{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2} \\

\end{align}$

Vậy $A=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2}.$

1. b) $A=\frac{\sqrt{x-1}+7}{\sqrt{x-1}+2}>2\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+7>2\left( \sqrt{x-1}+2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{x-1}<3\Leftrightarrow x<5$

Kết hợp điều kiện suy ra x.

Câu 5. Cho hai biểu thức \[A=\frac{2x-8\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}\] và \[B=\left( \frac{2}{\sqrt{x}-4}-\frac{5-\sqrt{x}}{x-16} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\] với \[x\ge 0;x\ne 16\].

1. a) Rút gọn biểu thức B
2. b) Đặt P = A.B. Tìm x biết \[\sqrt{2P-1}=P-2\]

HD:

1. a) \[B=\left( \frac{2}{\sqrt{x}-4}-\frac{5-\sqrt{x}}{x-16} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}\]

\[\begin{align}

& B=\left( \frac{2\left( \sqrt{x}+4 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}-\frac{5-\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4} \\

& B=\frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}\times \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}=\frac{3}{\sqrt{x}-4} \\

\end{align}\]

1. b)

\[\begin{align}

& P=A.B=\frac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-4 \right)}{\sqrt{x}+5}.\frac{3}{\sqrt{x}-4} \\

& P=\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \\

\end{align}\]

Điều kiện tồn tại: \[\sqrt{2P-1}=P-2\]

$\left\{ \begin{align}

& 2P-1\ge 0 \\

& P-2\ge 0 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

& P\ge \frac{1}{2} \\

& P\ge 2 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow P\ge 2\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}\ge 2\Leftrightarrow 6\sqrt{x}\ge 2\sqrt{x}+10\Leftrightarrow 4\sqrt{x}\ge 10$

$\sqrt{x}\ge \frac{5}{2}\Leftrightarrow x\ge \frac{25}{4}$. Vậy điều kiện của bài toán là $x\ge \frac{25}{4}$ và $x\ne 16$

Khi đó:

\[\sqrt{2P-1}=P-2\Leftrightarrow 2P-1={{\left( P-2 \right)}^{2}}={{P}{2}}-4P+4\Leftrightarrow {{P}^{2}}-6P+5=0\Leftrightarrow \left( P-1 \right)\left( P-5 \right)=0\]

\[\begin{align}

& \Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& P=1(loai) \\

& P=5 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}=5\Leftrightarrow 6\sqrt{x}=5\sqrt{x}+25 \\

& \Leftrightarrow \sqrt{x}=25\Leftrightarrow x=625 \\

\end{align}\]

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!