Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến. Bài 11 trang 8 sgk toán 8 tập 1 – Nhân đa thức với đa thức.
11. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
[x – 5][2x + 3] – 2x[x – 3] + x + 7.
[x – 5][2x + 3] – 2x[x – 3] + x + 7
Quảng cáo= 2x2 + 3x – 10x – 15 – 2x2 + 6x + x + 7
= 2x2 – 2x2 – 7x + 7x – 15 + 7 = -8
Vậy sau khi rút gọn biểu thức ta được hằng số -8 nên giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Câu hỏi: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x
Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến X, tức là sau khi rút gọn kết quả thì biểu thức không chứa biến X. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến X, suy ra điều phải chứng minh.
Phương pháp giải
Để chứng minh 1 một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:
+ Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức [ Nếu có]
+ Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
Ví dụ 1.Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A = [x2- x].[x + 1] - [x2+ x].[x - 1]
Chứng minh
Ta có: A = [x2- x].[x + 1] - [x2+ x].[x - 1]
A = x2[x + 1] - x.[x + 1] - x2[x - 1] - x[x - 1]
= x3+ x2- x2- x - x3+ x2- x2+ x
= [x3- x3] + [x2- x2+ x2- x2] + [x - x]
= 0 + 0 + 0
= 0
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
Ví dụ 2.Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
B = x2[x - 2] - x[x2+ x + 1] + x[3x + 1]
Chứng minh
Ta có:
B = x2[x - 2] - x[x2+ x + 1] + x[3x + 1]
= x2.x - x2.2 - x.x2- x.x - x.1 + x.3x + x.1
= x3- 2x2- x3- x2- x + 3x2+ x
= [x3- x3] + [3x2- 2x2- x2] + [x - x]
= 0 + 0 + 0
= 0
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào x.
Cùng Top lời giải ôn tập lại kiến thức nhân đơn thức và đa thức nhé!!
1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức
Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
A[B + C] = AB + AC
2. Quy tắc nhân đa thức với đa thức
Muốn nhân một đa thức với 1 đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
[A + B][C + D] = AC + AD + BC + BD
3. Ví dụ
* Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân:
a] [- 2x][x3– 3x2– x + 1] = – 2x4+ 3x3+ 2x2– 2x
b] [- 10x3+ y – = 5x4y – 2xy2+ xyz
* Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: x[x – y] + y[x + y] tại x = – và y = 3
Ta có: x[x – y] + y[x + y] = x2– xy + xy + y2= x2+ y2
Khi x = – và y = 3, giá trị của biểu thức là: [ – ]2+ 32=
* Chú ý 1:Trong các dạng bài tập như thế, việc thực hiện phép nhân và rút gọn rồi mới thay giá trị của biến vào sẽ làm cho việc tính toán giá trị biểu thức được dễ dàng và thường là nhanh hơn.
* Chú ý 2:HS thường mắc sai lầm khi trình bày như sau:
Ta có: x[x – y] + y[x + y] = x2– xy + xy + y2= [-]2+ 32=
Trình bày như thế không đúng, vì vế trái là một biểu thức, còn vế phải là giá trị của biểu thức tại một giá trị cụ thể của biến, hai bên không thể bằng nhau.
* Ví dụ 3: Tính C = [5x2y2]4= 54[x2]4[y2]4= 625x8y8
* Chú ý 3:Lũy thừa bậc n của một đơn thức là nhân đơn thức đó cho chính nó n lần. Để tính lũy thừa bậc n một đơn thức, ta chỉ cần:
– Tính lũy thừa bậc n của hệ số
– Nhân số mũ của mỗi chữ cho n.
* Ví dụ 4:Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến:
a] x[2x + 1] – x2[x + 2] + [x3– x + 3]
Ta có: x[2x + 1] – x2[x + 2] + [x3– x + 3] = 2x2+ x – x3– 2x2+ x3– x + 3 = 3
b] 4[x – 6] – x2[2 + 3x] + x[5x – 4] + 3x2[x – 1]
Ta có: 4[x – 6] – x2[2 + 3x] + x[5x – 4] + 3x2[x – 1]
= 4x – 24 – 2x2– 3x3+ 5x2– 4x + 3x3– 3x2= – 24
Kết quả là mọt hằng số, vậy các đa thức trên không phụ thuộc vào giá trị của x.
* Ví dụ 5: Tìm x, biết:
a] 5x[12x + 7] – 3x[20x – 5] = – 100
60x2+ 35x – 60x2+ 15x = -100
50x = -100
x = – 2
b] 0,6x[x – 0,5] – 0,3x[2x + 1,3] = 0,138
0,6x2– 0,3x – 0,6x2– 0,39x = 0,138
-0,69x = 0,138
x = 0,2
10:27:1321/03/2022
Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x là một dạng toán yêu cầu các em vận dụng thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức rồi sau đó nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
Bài viết dưới đây chúng ta cùng tìm hiểu cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, qua đó giải một số bài tập vận dụng để rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hiểu đơn giản: Bài toán chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, nghĩa là sau khi rút gọn biểu thức này thì biểu thức không chứa biến x.
I. Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến
Để chứng minh giá trị một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:
- Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức [nếu có]
- Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
II. Bài tập vận dụng chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
* Bài tập 1: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a] A = x[2x+1] - x2[x + 2] + [x3 - x+ 10]
b] B = x[3x2 - x + 5] - [2x3 + 3x - 16] - x[x2 - x + 2]
* Lời giải:
a] A = x[2x+1] - x2[x + 2] + [x3 - x + 10]
= 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 10
= [x3 - x3] + [2x2 - 2x2 + [x - x] + 10
= 0 + 0 + 0 +10
= 10
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b] B = x[3x2 - x + 5] - [2x3 + 3x - 25] - x[x2 - x + 2]
= 3x3 - x2 + 5x - 2x3 - 3x + 25 - x3 + x2 - 2x
= [3x3 - 2x3 - x3] + [x2 - x2] + [5x - 3x - 2x] + 25
= 0 + 0 + 0 + 25
= 25
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
* Bài tập 2: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến x
a] C = [x2 - x].[x + 1] - [x2 + x].[x - 1]
b] D = x2[x - 2] - x[x2 + x + 1] + x[3x + 1]
* Lời giải:
a] C = [x2 - x].[x + 1] - [x2 + x].[x - 1]
= [x2 - x].[x + 1] - [x2 + x].[x - 1]
= x2[x + 1] - x.[x + 1] - x2[x - 1] - x[x - 1]
= x3 + x2 - x2 - x - x3 + x2 - x2 + x
= [x3 - x3] + [x2 - x2 + x2 - x2] + [x - x]
= 0 + 0 + 0 = 0
Vậy giá trị của biểu thức C = 0 không phụ thuộc vào biến x
b] D = x2[x - 2] - x[x2 + x + 1] + x[3x + 1]
= x2.x - x2.2 - x.x2 - x.x - x.1 + x.3x + x.1
= x3 - 2x2 - x3 - x2 - x + 3x2 + x
= [x3 - x3] + [3x2 - 2x2 - x2] + [x - x]
= 0 + 0 + 0 = 0
Vậy giá trị của biểu thức D = 0 không phụ thuộc vào biến x.
* Bài tập 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x và y
A = [x - 2y][x + 2y] + [2y - x][2y + x] + 2022
* Lời giải:
Ta có: A = [x - 2y][x + 2y] + [2y - x][2y + x] + 2022
= x[x + 2y] - 2y[x + 2y] + 2y[2y + x] - x[2y + x] + 2022
= x2 + 2xy - 2xy - 4y2 + 4y2 + 2xy - 2xy - x2 + 2022
= [x2 - x2] + [4y2 - 4y2] + [2xy - 2xy + 2xy - 2xy] + 2022
= 0 + 0 + 0 + 2022
= 2022
Vậy giá trị của biểu thức A = 2022 và không phụ thuộc vào biến x và y.
* Bài tập 4: Chứng minh giá tri của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y.
B = [2x - y2][2x + y2] + [y2 + 3][y2 - 3] - 4x2
* Lời giải:
Ta có: B = [2x - y2][2x + y2] + [y2 + 3].[y2 - 3] - 4x2
= 2x[2x + y2] - y2[2x + y2] + y2[y2 - 3] + 3[y2 - 3] - 4x2
= 4x2 + 2xy2 - 2xy2 - y4 + y4 - 3y2 + 3y2 - 9 - 4x2
=[4x2 - 4x2] + [2xy2 - 2xy2] + [y4 - y4] + [3y2 - 3y2] - 9
= 0 + 0 + 0 + 0 - 9
= -9
Vậy giá trị của biểu thức B = -9 và không phụ thuộc vào biến x và y.
* Bài tập 5: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.
A = [2x - 4].[1 - x2] + x[2x2 - 2 - 4x]
* Lời giải:
Ta có: A = [2x - 4].[1 - x2] + x[2x2 - 2 - 4x]
= 2x[1 - x2] - 4[1 - x2] + 2x3 - 2x - 4x2
= 2x - 2x3 - 4 + 4x2 + 2x3 - 2x - 4x2
= [2x3 - 2x3] + [4x2 - 4x2] + [2x - 2x] - 4
= 0 + 0 + 0 - 4
= -4
Vậy giá trị của biểu thức A = -4 không phụ thuộc giá trị biến x.
* Bài tập 6: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.
a] A = 4x4 - [2x2 - 5][2x2 + 5] + 10
b] B = x[x2 + x + 1] - x2[x + 1] - [x - 5]
* Bài tập 7: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x và y.
a] A = 2x3 - 2y3 + [y - x][2x2 + 2y2] + 2xy[y - x] + 5
b] B = x2[xy - y - x] - x2y[x - 1] + [x -1][x2 + x + 1] + 9
Hy vọng với bài viết Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.