Tìm hiểu phương pháp tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo, giúp hỗ trợ làm trắc nghiệm nhanh chóng và chính xác.
Lý thuyết nguyên hàm từng phần
Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để tính tích phân bất định của các hàm số phức tạp và cần phải biến đổi. Điển hình như các hàm số vô tỉ, hàm lượng giác, hàm logarit hay hàm số mũ. Sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với bản gốc. [1]Theo Hazewinkel, Tích phân từng phần – Wikipedia Tiếng Việt, cập nhật ngày 24/10/2021
Nhắc lại kiến thức
+] Công thức: ∫udv = vu – ∫vdu
+] Áp dụng với các dạng nguyên hàm: ∫p[x].eax+bdx; ∫p[x].sin[ax + b]dx
+] Cách đặt :
– Ưu tiên đặt “u” theo: logarit [ln] _ đa thức [p[x]] _ lượng giác [sin x, cos x] _ mũ [ex]. Nhất “log”, nhì “đa”, tam “lượng”, tứ “mũ”
– Phần còn lại là “dv”. [2]Theo Hazewinkel, Tích phân từng phần – Wikipedia Tiếng Việt, cập nhật ngày 24/10/2021,Theo Hazewinkel, Tích phân từng phần – Wikipedia Tiếng Việt, cập nhật ngày 24/10/2021
Phương pháp đường chéo
Chia thành 2 cột
- Cột 1 [cột trái: cột u] luôn lấy đạo hàm tới 0
- Cột 2 [cột phải: cột dv] luôn lấy nguyên hàm cho tới khi tương ứng với cột 1
Nhân chéo kết quả của hai cột với nhau.
Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu [+], sau đó đan dấu [–], [+], [–]…
Phân dạng và ví dụ minh hoạ
Dạng 1: ∫f[x].eax+bdx
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫[2x2 – 3].ex.dx
⇒ I = ex[2x2 – 3] – 4x.ex + 4ex + C = ex[2x2 – 4x + 1] + C
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm
Ta biến đổi đưa I về dạng thuần tuý:
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm I = ∫x3.e2x+1.dx
Ta biến đổi
Dạng 2: ∫f[x].sin[ax + b].dx; ∫f[x].cos[ax + b].dx
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫[2x + 1].cosx.dx
⇒ I = [2x + 1]sinx – 2[–cosx] + C = [2x + 1]sinx + cosx + C
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm I = ∫[x2 – 2x].sinx.dx
⇒ I = [–cosx][x2 – 2x] – [2x – 2][–sinx] + 2cosx + C
= cosx[–x2 + 2x + 2] + [2x + 2]sinx + C
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm ∫I = [x7 – 2x].cos[x2].dx
Ta biến đổi
Dạng 3: ∫f[x].lnn[ax + b]dx
Chú ý : Dạng ∫f[x].lnn[ax + b]dx thì ưu tiên đặt u = lnn[ax + b] vì vậy khi đạo hàm “u” sẽ không bằng 0 được, do vậy cần phải điều chỉnh hệ số rút gọn [nhân ngang → đơn giản tử mẫu] rồi sau đó mới làm tiếp
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫x.lnx.dx
[Cách hiểu: do từ cột đạo hàm đã “nhảy” sang cột nguyên hàm để triệt tiêu với x nên phải “nhảy” ngược lại sang cột đạo hàm để bù]
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm I = ∫x.ln2x.dx
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm I = ∫[x5 – 3]lnx.dx
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm I = ∫[2x + 1].ln5[3x].dx
Ví dụ 5: Tính nguyên hàm I = ∫ln5[5x].dx
Ta biến đổi
Dạng 4: Nguyên hàm lặp [tích phân lặp]
Lý thuyết & phương pháp
Nếu khi ta tính nguyên hàm [tích phân] theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính [theo hàng ngang] thì dừng lại luôn ở hàng đó, không tính tiếp nữa.
+] Dấu hiệu khi dừng lại : nhận thấy trên cùng 1 hàng ngang tích của 2 phần tử ở 2 cột [không kể dấu và hệ số] giống nguyên hàm ban đầu cần tính.
+] Ghi kết quả [nhân theo đường chéo] như các ví dụ trên.
+] Nối 2 phần tử [ở dòng dừng lại], có thêm dấu ∫ trước kết quả và coi gạch nối là 1 đường chéo, sử dụng quy tắc đan dấu.
Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫sinx.ex.dxTa biến đổi
Bài tập tổng hợp tự rèn luyện
Câu 1. Nguyên hàm . Giá trị của F[e] bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Nguyên hàm I = ∫x.sinx.cos2x.dx = F[x] + C. Giá trị của F[π] bằng:
A.
B.
C. π
D. –π
Câu 3. Nguyên hàm I = ∫ex.cos[2x].dx = F[x] + C. Giá trị của F[0] bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Nguyên hàm thì tổng S = ab + c bằng:
A. S = 14
B. S = 15
C. S = 3
D. S = 10
Câu 5. Nguyên hàm ∫x2.exdx = [x2 + mx + n].ex + C thì giá trị của mn là :
A. 6
B. 4
C. 0
D. –4
Câu 6. Biết , với a, b, c ϵ N* và phân số tối giản. Tìm khẳng định đúng:
A. a + b = 2c
B. b + b = 3c
C. a + b = c
D. a + b = 4c
Câu 7. Biết , với a, b, c ϵ N* và phân số tối giản. Tính tổng S = ab + c bằng:
A. 806
B. 559
C. 1445
D. 1994
Câu 8. Biết , chọn khẳng định đúng:
A. a, b, c là số nguyên tố
B. a, c là số nguyên tố
C. b, c là số nguyên tố
D. a, b là số nguyên tố
Câu 9. Hàm số f[x] = [ax2 + bx + c].e–x là một nguyên hàm của g[x] = x[1 – x]e–x. Tính tổng a + b + c:
A. 4
B. –2
C. 3
D. 1
Câu 10. Nguyên hàm I = –∫[x2 – 3x + 2][4cos3x – 3cosx].d[cosx] = F[x] + C. Giá trị của F[0] bằng:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Đáp án
Tài liệu về nguyên hàm từng phần
| Thông tin tài liệu | |
| Tác giả | Thầy Ngô Quang Chiến |
| Số trang | 7 |
| Lời giải chi tiết | có |
Mục lục tài liệu
- Nhắc lại kiến thức nguyên hàm từng phần
- Dạng 1: Nguyên hàm hàm hàm e mũ
- Dạng 2: Nguyên hàm dạng sin cos
- Dạng 3: Nguyên hàm dạng log – nê – pe
- Dạng 4: Nguyên hàm hàm lặp
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
- Logarit
- Tích phân
- Số phức