Bài tập thực tế liên quan đến cấp số cộng
Với cách giải các dạng toán về cấp số cộng môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán cấp số cộng lớp 11. Mời các bạn đón xem: Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 11 1. Lý thuyết
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. - Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng. - Nếu (un) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi un+1=un+d, n∈ℕ* Nhận xét: - Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0. - Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0. - Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
un \= u1 + (n - 1)d với n≥1,n∈ℕ.
Ba số hạng uk−1,uk,uk+1 k≥2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk=uk−1+uk+12.
Sn=u1+u2+...+un=nu1+un2=n2u1+n−1d2 2. Các dạng bài tập Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng Phương pháp giải: - Dãy số (un) là một cấp số cộng khi và chỉ khi un + 1 – un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai của cấp số cộng đó. - Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u1 và d. Tìm u1 và d. - Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 + (n – 1)d hoặc công thức truy hồi un = un - 1 + d. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. Nếu là cấp số cộng hãy xác định số hạng đầu tiên và công sai:
Lời giải
Nên dãy số – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19 là cấp số cộng. Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là u1 = – 2, công sai là d = 3.
Nên dãy số 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 không là cấp số cộng.
Xét an+1 – an = 4(n + 1) – 3 – (4n – 3) = 4 (không đổi) Vậy dãy số (an) với an = 4n – 3 là cấp số cộng. Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là a1 = 4.1 – 3 = 1, công sai là d = 4. Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u2−u3+u5=10u4+u6=26
Lời giải Gọi cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u1 và công sai d Số hạng tổng quát của (un) là un = u1 + (n – 1)d Ta có: u2−u3+u5=10u4+u6=26⇔u1+d−u1+2d+u1+4d=10u1+3d+u1+5d=26 ⇔u1+3d=102u1+8d=26⇔u1=1d=3 Vậy u1 = 1 và d = 3.
Vậy số 6061 là số hạng thứ 2021 của cấp số cộng. Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng. Chứng minh cấp số cộng Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Ba số hạng uk-1; uk; uk+1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk=uk−1+uk+12. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1:
Lời giải
⇔x2+1+1−3x=2(x−2)⇔x2−5x+6=0⇔x=2x=3 Vậy x = 2, x = 3 là những giá trị cần tìm.
Vậy P = x2 + y2 = 22 + 102 = 104. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Lời giải
Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y. Ta có 2y = 2b2 – 2ca Và x + z = a2 + c2 - b(a + c) \= (a + c)2 – 2ac – 2b2 \= 4b2 – 2ac – 2b2 \= 2b2 – 2ac = 2y Khi đó ta được: y=x+z2 Vậy ta có điều phải chứng minh.
Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) \= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3 Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2) Từ (1) và (2), ta được 3x2=a⇔x2=a3 Vì phương trình đã cho có nghiệm x2=a3, tức là: a33−aa32+ba3−c=0⇔−2a327+ba3−c=0⇔9ab=2a3+27c Vậy ta có điều phải chứng minh. Dạng 3. Tính tổng của một cấp số cộng Phương pháp giải: Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức: Sn=u1+u2+...+un=nu1+un2=n2u1+n−1d2 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un)
Lời giải
Ta có: Số hạng đầu: u1 = 7 . 1 – 3 = 4; Số hạng thứ hai là : u2 = 7 . 2 – 3 = 11; Công sai: d = 11 – 4 = 7 Khi đó ta có: S100=n2u1+(n−1)d2=100[2.4+(100−1).7]2=35050
Vậy S23=232u1+22d2=23.402=460.
⇔u1+3d+u1+7d+u1+15d=224⇔4u1+36d=224⇔u1+9d=56 Vậy S19=192u1+18d2=19u1+9d=19.56=1064. Ví dụ 2: Tính các tổng sau:
Lời giải
Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 2n + 1 = u1 + (k – 1)d ⇔2n+1=1+(k−1).2⇒k=n+1. Do đó dãy số có n + 1 số hạng. Vậy Sn+1=k2u1+k−1d2=n+12u1+nd2=(n+1)(2n+1)2.
Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 3n + 4 = u1 + (k – 1)d ⇔3n+4=1+k−1.3⇒k=n+2. Do đó dãy số có n + 2 số hạng. Vậy Sn+2=k2u1+(k−1)d2=(n+2)2+(n+1).32=(n+2)(3n+5)2.
\= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +... + (2 – 1)(2 + 1) \= 199 + 195 +... + 3 \= 3 + 7 +... + 195 + 199 Ta có dãy số 3; 7; ...195; 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u1 = 3 và số hạng thứ n là un = 199. |