Bài tập nâng cao toán 6 phân số năm 2024

Nâng cao: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân số thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho

a  a ;

a  a

b b b b

(Vì dễ nhận thấy hai “tích chéo” của chúng bằng nhau).

Thí dụ 38: Cho A  5 ; 0 ; 9. Hãy viết tất cả các phân số

a

b

với a ; b A.

Giải: Số 0 không thể lấy mà mẫu của phân số. Lấy số – 5 làm mẫu ta viết được 3 phân số là

5 ;

0 ;

9.

 5  5  5

Lấy số 9 làm mẫu ta viết được 3 phân số là

5 ;

0 ;

9.

Vật ta viết được tất cả 6 phân số. Nhận xét:

9 9 9

• Mẫu của một phân số phải khác 0 nhưng tử của phân số có thể bằng 0, lúc đó giá trị của phân số đúng bằng 0.
• Tử và mẫu của một phân số có thể bằng nhau, lúc đó giá trị của phân số đúng bằng 1. Thí dụ 39: Tìm x, y  Z biết.

x  3 và x  y  0. 15 y

Giải: vì x 

3 nên xy  45. 15 y



266. Tìm x  Z biết:

1. x  1  8 ; b) x  9 ; c) x  18. 9 3 4 x 267. Tìm x, y  Z biết:

4 x  1

1. x  9 7 y

và x > y b)  2 x  y 5

và x < 0 < y.

268*. Tìm x, y  Z biết:

x  4 4  y  3 3

và x  y  5.

Rút gọn phân số

Kiến thức cơ bản:

§2. Tính chất cơ bản của phân số.

1. Tính chất cơ bản của phân số: a 

a .m (m  Z ; m  0) b b. m a 

a :n (n ƯC(a,b)) b b : n Ta nói các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số hữu tỉ. 2. Rút gọn phân số: a) Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung (khác ±

1. của chúng để được một phân số đơn giản hơn. b) Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là ± 1 a b Nâng cao:

tối giản  ( a , b )  1

1. Muốn rút gọn một phân số thành phân số tối giản, ta chia tử và mẫu của nó cho ƯCLN của chúng.
2. Nếu

a là phân số tối giản thì phân số bằng nó đề có dạng

a .n với n  Z ; n  0. b

Thí dụ 40: Viết tập hợp A các phân số bằng phân số 

715

Giải:

Vì 

7

là một phân số tối giản nên mọi phân số bằng nó đều có dạng 15

7 . Mẫu số của các 15. n

phân số phải tìm là một số có hai chữ số nên n 1 ; 2 ; 3 ...; 6.

Vậy A 

7 ;14 ;21 ;28 ;35 ; 42 15 30 45 60 75 90

Thí dụ 41: Tìm phân số bằng phân số 32 , biết tổng của tử và mẫu là 115. 60 Giải:

Ta có 32 

8 theo tính chất cơ bản của phân số, phân số phải tim sẽ có dạng 8m với

60 15

m  Z ; m  0.

15m

Theo đầu bài thì 8m 15m  115 ; 32m  115 ; m  5. Vậy phân số phải tìm là

8.40.15. 5 75

Nhận xét:

Nếu ta không rút gọn phân số

32

thành phân số tối giản

8 mà khẳng định các phân số

60 15

bằng phân số

3260

có dạng

32.

m 60. m

thì ta sẽ mắc sai lầm là bỏ sót rất nhiều phân số bằng phân

số

32

do đó không thể tìm được đáp số của bài toán trên. 60

BÀI TẬP

1. Viết dạng tổng quát các phân số bằng phân số  30 12.
2. a) Một mẫu Bắc bộ  3600m 2. Hỏi một mẫu Bắc bộ bằng mấy phần của một hecta? b) Một pao (pound) = 0,45kg. hỏi một pao bằng mấy phần của một ki lô gam. c) Một vòi nước chảy vào bể trong 48 phút thì đầy. Nếu mở vòi trong 36 phút thì nước chiếm mấy phần bể.
3. Rút gọn các phân số sau:

a)

990

; b) 26

 

374 ; c) 506 3600  75 8400  175

925

; d) 1812. 625 3. 24 3

1. Cho phân số

a . Chứng minh rằng: b

6n  1

1. Cho

a b

là một phân số chưa tối giản. Chứng minh rằng các phân số sau chưa tổi giản:

BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.

-6-

a)

a a  b

; b)

2a . a  2b

281*. Cho phân số

A 

n  1 n  3

(n  Z ; n  3)

1. Tìm n để A có giá trị nguyên b) Tìm n để A là phân số tối giản.

§3. Quy đồng mẫu số nhiều phân số

So sánh phân số

Kiến thức cơ bản:

1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương. Bước 1: Tìm BCNN của các mẫu. Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu. Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. So sánh phân số: Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. Nâng cao:
3. Cho hai phân số

a b

và

c d

a,b, c, d ; b  0; d  0 

ad  bc 

a 

c b d ad  bc 

a 

c . b d 2. Trong hai phân số có tử và mẫu đều dương, nếu hai tử số bằng nhau thì phân số nào có mẫu nhỏ hơn phân số đó sẽ lớn hơn và ngược lại.

Cho a, m, n 

*

m  n 

a  a .

m n Bạn đọc có thể chứng minh hai quy tắc so sánh trên đây bằng cách quy đồng mẫu rồi so sánh hai tử. Thí dụ 42: Cho hai phân số

a b và

c d

BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.

-7-

Chứng minh rằng nếu

a 

c thì

b 

d . b d a c Giải: Vì

a 

c nên ad  bc hay bc  ad suy ra b  d . b d Thí dụ 43:

So sánh hai phân số

 101 100

a c

và 200. 201

Giải:  101  101  100  1;  100 100 100

200  201 201 201 1.

Vậy  101  100  200201. Nhận xét:

• Trong cách giải trên, ta đã vận dụng tính chất bắc cầu của thứ tự để so sánh hai phân số.
• Nếu một phân số có tử và mẫu đều dương, thì phân số đó lớn hơn 1 khi và chỉ khi tử lớn hơn mẫu; phân số đó nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi tử nhỏ hơn mẫu. BÀI TẬP
• Quy đồng mẫu rồi so sánh các phân số sau: a)  8

và 31

 789 ; b) 3131

1123 .3 4.

2

và 23 .3 294. 3

; c)

1

và n

1

n  1

n   *.

1. Quy đồng mẫu các phân số rồi sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

a)

7

; 11 và 9 ; b) 17 ;

19 ; 38 ;.39 65 52 20 30 45 18

284. Tìm các số nguyên x, y biết: 1



x 

y 

1.18 12 9 4

1. Quy đồng tử các phân số rồi sắp xếp theo thứ tự tăng dần 9 ; 6;15382 257 643
2. Tìm một phân số có mẫu là 15 biết rằng giá trị của nó không thay đổi khi lấy tử trừ đi 2 và lấy mẫu nhân với 2.
3. Tìm hai phân số có mẫu dương biết rằng trong hai mẫu có một mẫu gấp 5 lần mẫu kia và sau khi quy đồng mẫu hai phân số đó thì được 56 và 210 .210
4. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

1. 29 ; 28 ; 29 ;40 41 41

1. So sánh

BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.

-8-

b ) 3 0 7 ; 3 1 7 ; 3 0 7. 5 8 7 5 8 7 5 9 3

§4. Chuyên đề 4. Một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số

Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (cách so sánh hai ” tích chéo” thức chất chính là quy đồng mẫu), trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phương pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sủ dụng, trong đó phát hiện ra số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng.

1. Dùng số 1 làm trung gian.

1. Nếu a  1 và

c  1 thì

a 

c b d b d

2. Nếu a  1  M ;

c  1  N mà M  N thì

a 

c . b d b d M và N theo thứ tự gọi là “phần thừa” so với 1 của hai phân số đã cho. Nếu hai phân số có “phần thừa” so với 1 khác nhau, phân số nào có “phần thừa” lớn hơn thì lớn hơn. Chẳng hạn

77 1 1 ; 84 1 1.76 76 83 83

Vì 1 

1 nên 77 

84.76 83 66 83

3. Nếu a  1 

M ; b

c  1  N d

mà M  N thì

a 

c . b d M và N theo thứ tự gọi là “phần thiếu” hay “phần bù” tới đơn vị của hai phân số đã cho. Nếu hai phân số có “phần bù”tới đơn vị khác nhau, phân số nào có “phần bù” lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn. Chẳng hạn 42  1 