Bài tập đổi biến trong tọa độ cầu năm 2024

III Đổi biến trong hệ tọa độ cầu Trước khi tìm hiểu cách đổi biến trong tọa đồ cầu ta sẽ lướt qua một vài chi tiếtọa đồ cầu () của một điểm bất kỳ trong không gian (gọi điểm bất kỳ là P) (minh họa dưới đây) trong đó là khoảng cách từ gốc tọa độ đến P, là góc quét được xác định trong mặt phẳng hình chiếu Oxy và là góc giữa trục z dương và đoạn thẳng OP. Trong đó: Với những bài toán có sự đối xứng quanh một điểm, và gốc tọa độ được đặt ngay tại điểm đó khi áp dụng hệ tọa độ cầu ta thấy nó rất hữu ích. Định thức Jacobian trong hệ tọa độ cầu: Chứng minh:

Từ hình vẽ trên đây, ta thấy được mối quan hệ giữa các tọa độ Descartes vuông gócvà các tọa độ cầu.

Từ đó, tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền V trong không gian xyz được xác định như sau:

Ngoài ra, đối với tích phân bội ba trên miền hình cầu Công thức đổi biến trong hệ tọa đồ cầu mở rộng là: Định thức Jacobian Từ đó Vậy Lưu ý: Khi lấy cận của ta xem gốc tọa độ cầu dời về tâm hình cầu (Bên cạnh đó, ta còn xét thêm một trường hợp trên miền hình ellipsoid Tương tự, ta suy ra được công thức đổi biến trong hệ tọa độ cầu mở rộng: Định thức Jacobian Từ đó:

Sau đây ta sẽ xét một vài ví dụ. Ví dụ 1: , trong đó

Đặt Ta có định thức Jacobian Vật thể trong hệ tọa độ cầu được giới hạn bởi Suy ra, Áp dụng vào tích phân ta được: Bấm máy tích phân ta được kết quả Từ đó suy ra được I=

Tọa độ cầu của một điểm $M(x,y,z)$ trong không gian $Oxyz$ là một bộ có thứ tự gồm 3 số $(r,\theta ,\varphi )$.

Với $r=OM,\varphi =\left(Ox,\overrightarrow{OM'}\right)$, $\theta =\left(\overrightarrow{OM},Oz\right)$ thì $r\ge 0;\varphi \in {\rm [}0,2\pi );\theta \in {\rm [}0,\pi )$ trong đó điểm $M'(x,y)$ là hình chiếu vuông góc của $M(x,y,z)$ lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Hệ tọa độ cầu

Quan hệ giữa các tọa độ Đề Các $x,y,z$ và các tọa độ cầu $r,\theta ,\varphi $ của cùng một điểm $M$: $$\begin{cases} x=r\sin \theta \cos \varphi\\y=r\sin \theta \sin \varphi\\z=r\cos \theta\end{cases}.\label{9.3.2.1}\tag{**}$$

Nếu $r>0;{\rm \; }\varphi \in {\rm [}0,2\pi );{\rm \; }\theta \in (0,\pi )$ thì các công thức \eqref{9.3.2.1} xác định một song ánh giữa các tọa độ đề các và tọa độ cầu (riêng các điểm trên trục $Oz$ có $\theta =0$, $\varphi $ tùy ý và nếu $M\equiv O$ thì có $r=0;\theta =0$, $\varphi $ tùy ý).

Xem các công thức $\left\{\begin{array}{l} {x=r\sin \theta \cos \varphi } \\ {y=r\sin \theta \sin \varphi } \\ {z=r\cos \theta } \end{array}\right. $ như một phép đổi biến, ta có: $$|J|=\left|\dfrac{D(x,y,z)}{D(r,\theta ,\varphi )} \right|=r^{2} \sin \theta >0$$ trừ tại những điểm trên trục $Oz$. Ta có công thức $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\iiint\limits _{Q'}f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )r^{2} \sin \theta drd\theta d\varphi \label{9.3.8}\tag{8}.$$

1. Công thức \eqref{9.3.8} vẫn đúng khi $Q$ chứa những điểm thuộc $Oz$.
2. Nếu $Q$ là hình cầu tâm $O(0,0,0)$ bán kính $R$ thì ta có công thức: $$\iiint\limits _{Q}f(x,y,z)dxdydz =\int _{0}^{{2\pi }d\varphi \int _{0}}{\pi }\sin \theta d\theta \int _{0}^{{R}f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )r}{2} dr \label{9.3.9}\tag{9}.$$

Tính tích phân $\iiint\limits _{Q}\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } dxdydz $ với $Q$ được giới hạn bởi các mặt $x^{2} +y^{2} +z^{2} =1;{\rm \; }z\ge 0$.

Quay lại Ví dụ 2: tính tích phân $\iiint\limits _{Q}zdxdydz $ với miền $Q$ được giới hạn bởi các mặt $z=0;{\rm \; }z=\sqrt{R^{2} -x^{2} -y^{2}}$.

Ngoài cách tính như trình bày ở trên (áp dụng công thức (3) ta có thể chuyển sang tọa độ cầu và áp dụng công thức \eqref{9.3.9}: $$\iiint\limits _{Q}zdxdydz =\int _{0}^{{2\pi }d\varphi \int _{0}}{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta \int _{0}^{R}rr{2} dr =\dfrac{\pi R^{4} }{4} .$$