Baài 45 sách bài tập toán 9 tập2 năm 2024

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:

1. Điểm E nằm trên đường tròn(O);

2. DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

1. Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:

\( EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm E nằm trên đường tròn \(\left( {O;{{AH} \over 2}} \right)\)

2. Ta có: OH = OE

suy ra tam giác OHE cân tại O

suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\) (1)

Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh) (2)

Trong tam giác BDH ta có:

\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \) (4)

Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD

Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

\(ED = BD = {{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác BDE cân tại D

Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)

Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ((O).

Câu 46 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.

Giải:

* Phân tích

Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

− Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.

− Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.

* Cách dựng

− Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.

− Dựng đường tròn (I; IA).

* Chứng minh

Ta có: I thuộc Oy, OA ⊥ IA tại A.

Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn ( I;IA)

hay (I; IA) tiếp xúc với Ox.

* Biện luận

Vì \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.

Câu 47 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d.

* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái đưa phương trình đã cho về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\):

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\({\left( {x + 2} \right)^2} - 3x - 5 = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) \)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 3x - 5 = 1 - {x^2} \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + x - 2 = 0 \)

\(\Delta = 1 - 4.2.\left( { - 2} \right) = 1 + 16 = 17 > 0 \)

\( \sqrt \Delta = \sqrt {17} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\( \displaystyle {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{\sqrt {17} - 1} \over 4} \)

\(\displaystyle {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {17} } \over {2.2}} = - {{1 + \sqrt {17} } \over 4} \)

LG b

\({\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1\)

Phương pháp giải:

* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái đưa phương trình đã cho về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\):

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\({\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1 \)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 2x = {x^3} - {x^2}\)\(\, - 2x + 1 \)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \)

\( \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.2 = 49 - 16 \)\(\,= 33 > 0 \)

\( \sqrt \Delta = \sqrt {33} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\displaystyle {x_1} = {{7 + \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 + \sqrt {33} } \over 4} \)

\(\displaystyle {x_2} = {{7 - \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 - \sqrt {33} } \over 4} \)

LG c

\(x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}\)

Phương pháp giải:

* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái đưa phương trình đã cho về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\).

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\):

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}\)= \(\dfrac{-b + \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\) và \({x_2}\)= \(\dfrac{-b - \sqrt{\bigtriangleup }}{2a}\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b }{2a}\).

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3} \)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 6x - {x^2} + 4x - 4 = {x^3} + 3{x^2}\)\(\, + 3x + 1 \)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x + 5 = 0 \)

\( \Delta = {5^2} - 4.4.5 = 25 - 80 \)\(\,= - 55 < 0 \)

Phương trình vô nghiệm.

LG d

\({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x - 7} \right) \)\(\,= 12x - 23 \)