Câu hỏi:
Cho \[x,y\] là các số thực dương thỏa mãn \[{\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3[y – \sqrt {1 + x} ] – {y^2} + x\].
Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\] bằng
A. \[\sqrt 2 \].
B. \[\sqrt 3 \].
C. \[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
D. \[\frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Với \[x,y\] là các số dương, ta có
\[{\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3[y – \sqrt {1 + x} ] – {y^2} + x \Leftrightarrow {\log _2}y + {y^2} – 3y = {\log _2}\sqrt {1 + x}+ [1 + x] – 3\sqrt {1 + x} \].
Xét hàm \[f[t] = {\log _2}t + {t^2} – 3t\] trên \[[0; + \infty ]\].
Ta có \[f'[t] = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t – 3 \ge 2\sqrt {\frac{2}{{\ln 2}}}- 3 > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\] suy ra hàm số \[f[t]\] đồng biến trên \[[0; + \infty ]\]
Do đó\[ \Leftrightarrow f[y] = f[\sqrt {1 + x} ] \Leftrightarrow y = \sqrt {1 + x}\Leftrightarrow {y^2} = 1 + x\].
Khi đó \[P = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\], ta có \[2[{x^2} + 1] \ge {[x + 1]^2} \Rightarrow \sqrt 2\ge \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\], dấu bằng xảy ra khi \[x = 1\].
Vậy giá trị lớn nhất của \[P\] bằng \[\sqrt 2 \], đạt được khi \[x = 1,y = \sqrt 2 \].
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Câu hỏi:
Cho các số thực \[a,b,c\] thỏa mãn \[{\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left[ {a – 4} \right] + b\left[ {b – 4} \right] + c\left[ {c – 4} \right]\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = ab + bc + ca\].
A. \[20 – 2\sqrt {30\,} \].
B. \[12 + 2\sqrt {42\,} \].
C. \[12 + 2\sqrt {20\,} \].
D. \[20 + 4\sqrt {30\,} \].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện: \[a + b + c > 0\].
\[{\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left[ {a – 4} \right] + b\left[ {b – 4} \right] + c\left[ {c – 4} \right]\]\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {a + b + c} \right] – {\log _2}\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right] = {a^2} + {b^2} + {c^2} – 4\left[ {a + b + c} \right]\]
\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {4\left[ {a + b + c} \right]} \right] + 4\left[ {a + b + c} \right] = {\log _2}\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right] + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\,\,\left[ 1 \right]\]
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = {\log _2}t + t,\,\,\,t > 0\].
Ta có \[f’\left[ t \right] = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\,\forall t > 0\]nên hàm số \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Do đó \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow f\left[ {4\left[ {a + b + c} \right]} \right] = f\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right]\]\[ \Leftrightarrow 4\left[ {a + b + c} \right] = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\]
Với bất kì \[a,b,c\] ta có \[{\left[ {a – b} \right]^2} + {\left[ {b – c} \right]^2} + {\left[ {c – a} \right]^2} \ge 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\].
Khi đó \[P = ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\].
Cách 1.
Ta thấy \[4\left[ {a + b + c} \right] = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 \Leftrightarrow {\left[ {a – 2} \right]^2} + {\left[ {b – 2} \right]^2} + {\left[ {c – 2} \right]^2} = 10\]
Khi đó phương trình \[{\left[ {a – 2} \right]^2} + {\left[ {b – 2} \right]^2} + {\left[ {c – 2} \right]^2} = 10\] là phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\left[ {2;2;2} \right]\], bán kính \[R = \sqrt {10\,} \].
Lấy điểm \[M\left[ {a;b;c} \right] \in \left[ S \right]\], ta có \[O{M^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\] và \[OM\] lớn nhất bằng \[OI + R = 2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} \].
Suy ra \[{P_{\max }} = {\left[ {2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} } \right]^2} = 22 + 4\sqrt {30\,} \]đạt được khi \[a = b = c = 2 + \sqrt {10\,} \].
Cách 2.
Ta thấy \[{\left[ {a + b + c} \right]^2} \le 3\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right],\forall a,b,c\].
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{16}}{\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right]^2} \le 3\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right]^2} – 48\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right] + 4 \le 0\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 22 + 4\sqrt {30} \].
Suy ra \[P = ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 22 + 4\sqrt {30} \].
Vậy \[{P_{\max }} = {\left[ {2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} } \right]^2} = 22 + 4\sqrt {30\,} \]đạt được khi \[a = b = c = 2 + \sqrt {10\,} \].
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \[a + b \le 4\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[S = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{25}}{{ab}} + ab\]
A.
\[{S_{\min }} = \frac{{33}}{8}\]
B.
\[{S_{\min }} = \frac{{83}}{8}\]
C.
\[{S_{\min }} = \frac{{83}}{3}\]
D.
\[{S_{\min }} = \frac{{83}}{5}\]
Xét các số thực dương \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[{\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\]. Tìm giá trị nhỏ nhất \[{P_{\min }}\] của \[P = a + 2b\].
A.
\[{P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}\]
B.
\[{P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt {10} - 7}}{2}\]
C.
\[{P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 1}}{2}\]
D.
\[{P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 5}}{2}\]
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
xét các số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2. Tìm max của biểu thức P=a^2*b
Các câu hỏi tương tự
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
xét các số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2 . tìm Max của biểu thức P=a2b
Các câu hỏi tương tự