Xét các số thực dương ab thỏa mãn a,b 2 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=a bình b
|
Câu hỏi: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) bằng A. \(\sqrt 2 \). B. \(\sqrt 3 \). C. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\). D. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Với \(x,y\) là các số dương, ta có \({\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3(y – \sqrt {1 + x} ) – {y^2} + x \Leftrightarrow {\log _2}y + {y^2} – 3y = {\log _2}\sqrt {1 + x}+ (1 + x) – 3\sqrt {1 + x} \). Xét hàm \(f(t) = {\log _2}t + {t^2} – 3t\) trên \((0; + \infty )\). Ta có \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t – 3 \ge 2\sqrt {\frac{2}{{\ln 2}}}- 3 > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\) suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) Do đó\( \Leftrightarrow f(y) = f(\sqrt {1 + x} ) \Leftrightarrow y = \sqrt {1 + x}\Leftrightarrow {y^2} = 1 + x\). Khi đó \(P = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), ta có \(2({x^2} + 1) \ge {(x + 1)^2} \Rightarrow \sqrt 2\ge \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), dấu bằng xảy ra khi \(x = 1\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(x = 1,y = \sqrt 2 \). =======
Câu hỏi: A. \(20 – 2\sqrt {30\,} \). B. \(12 + 2\sqrt {42\,} \). C. \(12 + 2\sqrt {20\,} \). D. \(20 + 4\sqrt {30\,} \). LỜI GIẢI CHI TIẾT Điều kiện: \(a + b + c > 0\). \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right) + c\left( {c – 4} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b + c} \right) – {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} – 4\left( {a + b + c} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4\left( {a + b + c} \right)} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) = {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\,\,\left( 1 \right)\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t,\,\,\,t > 0\). Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\,\forall t > 0\)nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {4\left( {a + b + c} \right)} \right) = f\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 4\left( {a + b + c} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\) Với bất kì \(a,b,c\) ta có \({\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\). Khi đó \(P = ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\). Cách 1. Ta thấy \(4\left( {a + b + c} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + {\left( {c – 2} \right)^2} = 10\) Khi đó phương trình \({\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + {\left( {c – 2} \right)^2} = 10\) là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {2;2;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {10\,} \). Lấy điểm \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( S \right)\), ta có \(O{M^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) và \(OM\) lớn nhất bằng \(OI + R = 2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} \). Suy ra \({P_{\max }} = {\left( {2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} } \right)^2} = 22 + 4\sqrt {30\,} \)đạt được khi \(a = b = c = 2 + \sqrt {10\,} \). Cách 2. Ta thấy \({\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right),\forall a,b,c\). \( \Leftrightarrow \frac{1}{{16}}{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) \( \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} – 48\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 4 \le 0\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 22 + 4\sqrt {30} \). Suy ra \(P = ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 22 + 4\sqrt {30} \). Vậy \({P_{\max }} = {\left( {2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} } \right)^2} = 22 + 4\sqrt {30\,} \)đạt được khi \(a = b = c = 2 + \sqrt {10\,} \). =======
Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \(a + b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{25}}{{ab}} + ab\)
A. \({S_{\min }} = \frac{{33}}{8}\) B.
\({S_{\min }} = \frac{{83}}{8}\) C. \({S_{\min }} = \frac{{83}}{3}\) D. \({S_{\min }} = \frac{{83}}{5}\)
Xét các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + 2b\).
A. \({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}\) B. \({P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt {10} - 7}}{2}\) C. \({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 1}}{2}\) D. \({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 5}}{2}\)
xét các số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2. Tìm max của biểu thức P=a^2*b Các câu hỏi tương tự
xét các số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2 . tìm Max của biểu thức P=a2b Các câu hỏi tương tự |
