Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm và đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm N[-1; 1; -1] và có vecto chỉ phương u →[2;1; 2];AN→[ - 5; 4; -2]Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên [P] có một vecto pháptuyến làn→ = [u→; AN→] = [ - 10; -6; 13] = - [10; 6; -13]Phương trình mặt phẳng [P] là:10[x – 4] + 6 [ y+ 3] – 13[ z- 1] = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0Chọn C.Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng [P] qua điểm A[0; 0; 2] vàchứa trục hồnh có phương trình là:A. y= 0B. y= 2C. z= 2D. x= 0Hướng dẫn giải:Trục hoành đi qua gốc tọa độ O[0; 0; 0] và có vecto chỉ phương u →[1; 0; 0] ;OA→[0; 0; 2]Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên [P] có một vecto pháptuyến làn→ = [u→; OA→] = [0; -2; 0] = -2 [0; 1;0]Phương trình mặt phẳng [P] là: 0[ x- 0] + 1[ y-0] + 0[z - 2] = 0 hay y = 0Chọn A.Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mặt phẳng [P] đi qua A[ 1; 2; 3]và chứa đường thẳng d:ay+ bz+ c= 0. Tính a+ b+ c?A. - 1B. 3C. 2Phương trình mặt phẳng [P] có dạng 5x+D. 5Hướng dẫn giải:+ Đường thẳng d đi qua điểm N[1; -1; -1] và có vecto chỉ phương u →[2; 1; 3];AN→[0; -3; -4]Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên [P] có một vecto pháptuyến làn→ = [u→;AN→] = [ 5; 8; -6]Phương trình mặt phẳng [P] là: 5[ x- 1]+ 8[ y-2] – 6[ z- 3] = 0 hay 5x+ 8y- 6z –3= 0=> a+ b+ c = 8+ [-6] + [-3] = - 1Chọn A.Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P] đi qua điểmA[1; 2; 1]; B[ 1; -2; 0] và C[2; 1; 2]. Phương trình mặt phẳng [ P] có dạng : 5x+ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?A. 10B. – 8C. 6D.12Hướng dẫn giải:+ Ta có: AB→ [0; -4; -1]; BC→ [ 1; 3; 2]+ Mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A; B và C nên [P] có một vecto pháp tuyến làn→ = [AB→, BC→] = [- 5; -1; 4] = - [ 5; 1; -4]=> Phương trình mặt phẳng [P] là:5[x- 1] +1[ y- 2] – 4[ z- 1] = 0 hay 5x+ y – 4z -3= 0=> a= 1; b= -4 và c= -3 nên a.b.c= 1.[-4].[-3] = 12Chọn D.Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa 2 đường thẳng cắt nhau d vàd’1. Phương pháp giải• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→ = [u1→; u2→]• Lấy 1 điểm M trên d• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháptuyến.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng [P] chứa hai đườngthẳngcó phương trình làA. [P]: x+ y- z+ 2= 0C. [P] : x- z+ 2= 0Hướng dẫn giải:B. [P] : x- y- z+ 2= 0D. Không tồn tại.Đường thẳng d1 đi qua điểm M[-2; -1; 1] và có vecto chỉ phương u1→ [2; 1; 1]Đường thẳng d2 đi qua điểm N[-1; 0; 1] và có vecto chỉ phương u2→ [1; -1; 2]Ta có: [u1→,u2→] = [ 3; -3; -3]; MN1→ [1; 1;0]Do MN→ . [u1→,u2→] = 3. 1+ [- 3].1+ [- 3]. 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắtnhau.Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên [P] có một vecto pháptuyến làn→ = [u1→,u2→] = [3; -3; -3] = 3[ 1; -1; -1]Phương trình mặt phẳng [P] là:1[ x+ 2] – 1[ y+ 1] - 1[ z- 1] = 0 hay x- y - z + 2= 0Chọn B.Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng [P] chứa haiđường thẳngay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?A. 10B. -11C. 11có dạng 6x+D. 8Hướng dẫn giải:Đường thẳng d đi qua điểm M[1; -1; 12] và có vecto chỉ phương u1→ [1; -1; -3]Đường thẳng d’ đi qua điểm N[1; 2; 3] và có vecto chỉ phương u2→ [-1; 2; 0]Ta có: [u1→, u1→]= [ 6; 3; 1]; MN→ [ 0; 3; -9]Do MN→. [u1→, u1→] = 0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên [P] có một vecto pháp tuyếnlàn→ = [u1→, u2→] = [6; 3; 1]Phương trình mặt phẳng [P] là:6[ x- 1]+ 3[ y – 2] + 1[ z- 3] =0 hay 6x + 3y + z – 15= 0=> a= 3; b= 1; c= -15 nên a+ b+ c= 3+ 1+ [-15] = -11.Chọn BVí dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đườngthẳngcó dạng 6x+ ay+bz+c= 0. Tính a+ b+ c?. Gọi mặt phẳng [P] chứa d 1 và d2. Tính khoảng cách từđiểm I[ 2; 1; 3] đến mặt phẳng [P]?có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+c?Hướng dẫn giải:Đường thẳng d1 đi qua điểm M[0; -2; 3] và có vecto chỉ phương u1→ [2; 1; 3]Đường thẳng d2 đi qua điểm N[2; -3; 3] và có vecto chỉ phương u2→ [2; -1; 0]Ta có: [u1→, u2→] =[ 3; 6; -4]; MN→ [ 2; -1; 0]Do MN→.[u1→, u2→] = 3.2+ 6.[-1] + [-4]. 0 = 0 nên đường thẳng d 1 và d2 cắtnhau.Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên [P] có một vecto pháptuyến làn→ = [u1→, u1→] = [ 3; 6; -4]Phương trình mặt phẳng [P] là:3[ x-0] + 6[ y+2] – 4[ z-3] = 0 hay 3x+ 6y – 4z+ 24= 0Khoảng cách từ điểm I[ 2; 1; 3] đến mặt phẳng [P] là:Chọn D.Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song d và d’1. Phương pháp giải• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→;u2→ lấy M thuộc d; N thuộc d’• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→ = [u1→; MN→]• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháptuyến.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứahai đường thẳngA. 6x+ 3y+ z-10= 0B. 6x+ 3y+ z- 15 = 0C. 6x- 3y+ z- 14= 0D . Đáp án khácHướng dẫn giải:Đường thẳng d đi qua điểm M [1; -1;12] và có vecto chỉ phương u1→[1; -1; -3]Đường thẳng d’ đi qua điểm N [1; 2;3] và có vecto chỉ phương u2→[1; -1; -3]Ta có: [u1→,u2→] = [0; 0; 0]; MN→[0;3; -9]Do [u1→,u1→] = [0; 0; 0] nên đường thẳng d và d’ song song với nhau.Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và d’ song song nên [P] có một vecto pháptuyến làn→ = [u1→,MN→] = [18, 9, 3] = 3[ 6; 3; 1]Phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến [6; 3; 1] và đi qua điểm N [1; 2;3] là:6[ x – 1]+ 3[y -2] +1[z – 3] = 0 hay 6x + 3y + z - 15 = 0Chọn B.Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứatrục Oz và đường thẳngA. x+ 3x= 0B. y+ 3z= 0C. x+ 3y= 0D. z= 0Hướng dẫn giải:Trục Oz đi qua điểm O [0; 0; 0] và có vecto chỉ phương u1→[0; 0; 1].Đường thẳng d đi qua điểm N [3; -1;5] và có vecto chỉ phương u2→[ 0; 0; 2]Ta có: [u1→, u1→] = [0; 0; 0]; ON→ = [3; -1; 5]Do [u1→, u2→] = [0; 0; 0] nên đường thẳng Oz và d song song.Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng Oz và d song song nên [P] có một vecto pháptuyến làn→ = [u1→, ON→] = [1; 3; 0]Phương trình mặt phẳng [P] có VTPT n→ [1; 3; 0] và đi qua điểm O [0; 0; 0] là:x+ 3y = 0Chọn C.Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng [P]đi qua A[ -1; 2; 1]; B[ 0; 4; - 2] và chứa đường thẳng d:A. 7x + y + 3z+ 2= 0B. 7x - 6y+ z- 10= 0C. 7x - y + 3z- 16= 0D. 7x - y + z + 10= 0Hướng dẫn giải:+ Đường thẳng d đi qua điểm M[ 0; 1; -1] và có vecto chỉ phương u→[ 1; 2; -3].Vecto AB→ [1; 2; -3]; AM→[1; -1; -2]+ Ta có: [AB→; u→] = [0; 0; 0]Suy ra: đường thẳng d và AB song song với nhau.Mặt phẳng [P] chứa A[-1; 2; 1], nhận vecto n→ = [AM→; u→] = [ - 7; -1; -3] = [ 7; 1;3] làm VTPT=> Phương trình mặt phẳng [P] :7[ x+ 1] + 1[ y-2] + 3[ z- 1]= 0 hay 7x+ y + 3z + 2= 0Chọn A.Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đườngthẳng. Gọi mặt phẳng [P]chứa d1và d2. Biết mặt phẳng [P] có phương trình dạng: x+ ay+ bz+ c= 0. Tínha.b.c?A. 8B. - 5C. 12D. -3Hướng dẫn giải:Đường thẳng d1 đi qua điểm M[ 0;1;2] và có vecto chỉ phương u1→[2; -3; 1]Đường thẳng d2 đi qua điểm N[ 1;2; 0] và có vecto chỉ phương u2→[2; -3; 1]Ta có: [u1→; u2→] =[0; 0; 0]; MN→ [1; 1; -2]Do [u1→; u2→] = [0; 0; 0] nên đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên [P] có VTPT làn→ = [u1→; u2→] = [5; 5;5] chọn [ 1; 1; 1]Phương trình mặt phẳng [P] là:1[ x- 0] + 1[ y- 1] + 1[ z-2] = 0 hay x + y + z - 3= 0=> a= 1; b= 1 và c= - 3 nên a.b.c= -3Chọn D.21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải [Phần 2]1. Phương pháp giải• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→ = [u1→, u2→]• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháptuyến.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đườngthẳngMặt phẳng [α] điqua A[ 2; 1; 2] và đồng thời song song với cả hai đường thẳng d 1; d2 có phươngtrình làA. x+ 5y+ 2z – 10= 0B. x- 2y+ z – 2= 0C. x - 5y+ 2z – 1= 0D. 2x- y + 2z – 7 = 0Hướng dẫn giải:Đường thẳng d1 đi qua M [1; 0; -2] và có vecto chỉ phương u1→[ 3; 1;1]Đường thẳng d’ đi qua N [0; -1; 2] và có vecto chỉ phương u2→[-1; 1; 3]Ta có: [u1→, u2→] = [2; -10; 4]Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng [P]. Ta có [P] song song với d 1 vàd2 nênnên n→ cùng phương với [u1→, u2→]Chọn n→[ 1; -5; 2] ta được phương trình mặt phẳng [P] là:1.[ x – 2] – 5 [ y – 1] + 2[z- 2] =0 hay x- 5y + 2z – 1 = 0Chọn C.Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] điqua điểm B[1; -3; 2] và song song với trục Ox, OyA. x= 1B. y+ 3= 0C. z- 2= 0D. 3x+ y= 0Hướng dẫn giải:Trục Ox có vecto chỉ phương u1→[1; 0; 0]Trục Oy có vecto chỉ phương u2→[0; 1; 0]Ta có: [u1→, u2→] = [0; 0; 1]Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng [P]. Ta có [P] song song với Ox và Oynênnên n→ cùng phương với [u1→, u2→]Chọn n→[0; 0; 1] ta được phương trình mặt phẳng [P] là:0[x- 1] + 0[ y+ 3] + 1[ z- 2] = 0 hay z - 2 = 0Chọn C.Ví dụ 3: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] điqua điểm M [0; -3; 4] và song song với đường thẳng d:Ozvà trục

Với Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

1. Tìm vecto chỉ phương của Δ, Δ' là u1→; u2→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [α] là nα →=[u1→ , u2→ ]

3. Lấy 1 điểm M trên đường thẳng Δ

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứa đường thẳng

và song song với đường thẳng

Hướng dẫn:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M [1; 1; 1] và có vecto chỉ phương u1→[0; -2;1]

Đường thẳng d2 đi qua điểm N [1; 0;1] có vecto chỉ phương u2→[1;2;2]

Ta có: [u1→ , u2→ ]=[-6;1;2]

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] ta có:

nên n→ cùng phương với [u1→ , u2→]

Chọn n→=[-6;1;2]

Mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1; 1; 1] và nhận vecto pháp tuyến n→=[-6;1;2] có phương trình là:

-6[x -1] +1[y -1] +2[z -1] =0

⇔ -6x +y +2z +3=0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng [P] thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng [P] là -6x +y +2z +3 =0.

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

và . Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d và song song với d’

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M [1; 5; 4] và có vecto chỉ phương u1→ [2; 0;-1]

Đường thẳng d’ đi qua điểm N [3; 6;0] có vecto chỉ phương u2→ [1;1;-1]

Ta có: [u1→ , u2→ ]=[1;3;2]

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] ta có:

nên n→ cùng phương với [u1→ , u2→ ]

Chọn n→ =[1;3;2]

Mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1; 5; 4] và nhận vecto pháp tuyến n→ =[1;3;2] có phương trình là:

[x -1] +3[y -5] +2[z- 4] =0

⇔ x +3y +2z -20 =0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng [P] thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng [P] là x +3y +2z -20 =0.

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt phẳng chứa:

và song song với

Hướng dẫn:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M [1; -2; 4] và có vecto chỉ phương u1→[-2; 1;3]

Đường thẳng d2đi qua điểm N [-1; 0;-2] có vecto chỉ phương u2→[1;-1;3]

Ta có: [u1→ , u2→ ]=[6;9;1]

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] ta có:

nên n ⃗ cùng phương với [u1→ , u2→ ]

Chọn n→=[6;9;1]

Mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1; -2; 4] và nhận vecto pháp tuyến n→=[6;9;1] có phương trình là:

6[x -1] +9[y +2] +[z -4] =0

⇔ 6x +9y +z +8 =0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng [P] thấy thỏa mãn.

Vậy không tồn tại mặt phẳng [P] thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A[5; 1; 3], B[1; 6;2], C[5; 0; 4], D[4; 0; 6]. Mặt phẳng [P] đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

Hướng dẫn:

AB→=[-4;5;-1]; CD→=[-1;0;2]

⇒ [AB→ , CD→]=[10;9;5]

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P]

Do A, B thuộc mặt phẳng [P], mặt phẳng [P] song song với đường thẳng CD nên ta có:

⇒ n→ cùng phương với [AB→ , CD→ ]

Chọn n→=[10;9;5]

Vậy phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→=[10;9;5] và đi qua điểm A[5; 1; 3] là:

10[x -5] +9[y -1] +5[z -3] =0

⇔ 10x +9y +5z -74 =0

Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

⇔ 10x +9y +5z -74 =0