Chứng minh phương trình có it nhất 2 nghiệm với mọi m

Bài toán về số nghiệm của phương trìnhCâu 1. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phânbiệt trong khoảng [–2; 5].Xét hàm số f [ x ] = x 5 − 3 x 4 + 5x − 2 ⇒ f liên tục trên R.Ta có: f [0] = −2, f [1] = 1, f [2] = −8, f [4] = 16⇒ f [0]. f [1] < 0 ⇒ PT f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ [0;1]f [1]. f [2] < 0 ⇒ PT f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ [1;2]f [2]. f [4] < 0 ⇒ PT f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ [2; 4]⇒ PT f[x] = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng [–2; 5].Câu 2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:x 3 + 5x − 3 = 0 .Xét hàm số f [ x ] = x 3 + 5x − 3 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.f [0] = −3, f [1] = 3 ⇒ f [0]. f [1] < 0 ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng[0;1] .Câu 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0Xét hàm số f [ x ] = x 3 + 1000 x + 0,1 ⇒ f liên tục trên R.f [0] = 0,1 > 0⇒ f [−1]. f [0] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệmf [−1] = −1001 + 0,1 < 0 c ∈ [−1; 0]Câu 4. Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:6 x 3 − 3x 2 − 6 x + 2 = 0 .Xét hàm số f [ x ] = 6 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 2 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.• f [−1] = −1, f [0] = 2 ⇒ f [−1]. f [0] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ [−1; 0]• f [0] = 2, f [1] = −1 ⇒ f [0]. f [1] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ [0;1]• f [1] = −1, f [2] = 26 ⇒ f [1]. f [2] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có một nghiệm c3 ∈ [1;2]• Vì c1 ≠ c2 ≠ c3 và PT f [ x ] = 0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng banghiệm thực.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhCâu 5. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:5x 5 − 3x 4 + 4 x3 − 5 = 0Với PT: 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5 = 0 , đặt f [ x ] = 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5f[0] = –5, f[1] = 1 ⇒ f[0].f[1] < 0⇒ Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc [0; 1]Câu 6. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3 − 10 x − 7 = 0Xét hàm số: f[x] = 2 x 3 − 10 x − 7 ⇒ f[x] liên tục trên R.• f[–1] = 1, f[0] = –7 ⇒ f [ −1] . f [ 0 ] < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộcc1 ∈ [ −1;0 ]• f[0] = –7, f[3] = 17 ⇒ f[0].f[3] < 0 ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ [ 0;3]• c1 ≠ c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.Câu 7. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5x 2 + x + 1 = 0 .Xét hàm số: f [ x ] = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R.Ta có:+f [0] = 1 > 0 ⇒ PT f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ [0;1] .f [1] = −1 +f [2] = −1 < 0 ⇒ PT f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ [2;3] .f [3] = 13 > 0 Mà c1 ≠ c2 nên PT f[x] = 0 có ít nhất 2 nghiệm.Câu 8. Chứng minh rằng phương trình: [1 − m2 ] x 5 − 3 x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.Xét hàm số f [ x ] = [1 − m 2 ] x 5 − 3 x − 1 ⇒ f[x] liên tục trên R.Ta có: f [−1] = m 2 + 1 > 0, ∀ m; f [0] = −1 < 0, ∀ m ⇒ f [0]. f [1] < 0, ∀m⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c ∈ [0;1] , ∀mCâu 9. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0Đặt f [ x ] = x 5 − x 2 − 2 x − 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhf[0] = –1, f[2] = 23 ⇒ f[0].f[1] < 0⇒ f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]Câu 10. Chứng minh rằng phương trình x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc [−1;1] .Xét hàm số f [ x ] = x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.• f [−1] = −3, f [1] = 1 ⇒ f [−1]. f [1] < 0 nên PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc[–1; 1].Câu 11. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:cos2 x − x = 0 πĐặt f[x] = cos2 x − x ⇒ f[x] liên tục trên [0; +∞] ⇒ f[x] liên tục trên  0;  2π π πf [0] = 1, f  ÷ = −⇒ f [0]. f  ÷ < 0222 πVậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên  0; ÷ 2Câu 12. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc [–1; 2].Gọi f [ x ] = x 5 − 3 x − 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên Rf[0] = –1, f[2] = 25 ⇒ f [0]. f [2] < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c1 ∈ [ 0;2 ]f[–1] = 1, f[0] = –1 ⇒ f[–1].f[0] < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c2 ∈ [−1; 0]c1 ≠ c2 ⇒ PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng [–1; 2]Câu 13. Chứng minh rằng phương trình : x 5 − 3 x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc [1; 2].Gọi f [ x ] = x 5 − 3 x − 1 liên tục trên Rf [−1] = 1, f [0] = −1 ⇒ f [−1]. f [0] < 0⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc [–1; 0]Câu 14. Chứng minh rằng phương trình 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộckhoảng [–1; 1].Gọi f [ x ] = 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên RToán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhf[–1] = 5, f[0] = –1 ⇒ f[–1].f[0] < 0 ⇒ f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ [−1; 0]f0] = –1, f[1] = 1 ⇒ f [0]. f [1] < 0 ⇒ f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ [0;1]c1 ≠ c2 ⇒ phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [ –1; 1]Câu 15. Chứng minh phương trình: 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc [–1; 1].Gọi f [ x ] = 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 ⇒ f [ x ] liên tục trên Rf[–1] = 2, f[0] = –3 ⇒ f[–1].f[0] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ [−1; 0]f[0] = –3, f[1] = 4 ⇒ f [0]. f [1] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ [0;1]Mà c1 ≠ c2 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng [−1;1] .Câu 16. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:[9 − 5m] x 5 + [m 2 − 1] x 4 − 1 = 0Gọi f [ x ] = [9 − 5m] x 5 + [m 2 − 1] x 4 − 1 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.25 3f [0] = −1, f [1] =  m − ÷ + ⇒ f [0]. f [1] < 02 4⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [0; 1] với mọi mCâu 17. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:m[ x − 1]3 [ x + 2] + 2 x + 3 = 0Gọi f [ x ] = m[ x − 1]3 [ x + 2] + 2 x + 3 ⇒ f [ x ] liên tục trên Rf[1] = 5, f[–2] = –1 ⇒ f[–2].f[1] < 0⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ [−2;1], ∀m ∈ RCâu 18. Chứng minh rằng phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.Xét hàm số f [ x ] = x 3 − 2mx 2 − x + m ⇒ f[x] liên tục trên R.• f [m] = −m3 , f [0] = m ⇒ f [0]. f [m] = − m 4• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0• Nếu m ≠ 0 thì f [0]. f [m] < 0, ∀m ≠ 0 ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc [0;m] hoặc [m; 0].Vậy phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhCâu 20. Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .Xét hàm số f [ x ] = x 3 − 3 x + 1 ⇒ f[x] liên tục trên R.• f[–2] = –1, f[0] = 1 ⇒ phuơng trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ [ −2; 0 ]• f[0] = 1, f[1] = –1 ⇒ phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ [ 0;1]• f[1] = –1, f[2] = 3 ⇒ phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm c3 ∈ [ 1;2 ]• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phươngtrình đã cho có đúng ba nghiệm thực.Câu 21. Cho y = f [ x ] = x 3 − 3 x 2 + 2 . Chứng minh rằng phương trình f[x] = 0 có 3 nghiệmphân biệt.Xét hàm số y = f [ x ] = x 3 − 3 x 2 + 2 ⇒ f[x] liên tục trên R.• f[–1] = –2, f[0] =2 ⇒ f[–1].f[0] < 0 ⇒ phương trình f[x] = 0 có nghiệmc1 ∈ [ −1; 0 ]• f[1] = 0 ⇒ phương trình f[x] = 0 có nghiệm x = 1 ≠ c1• f[2] = –2, f[3] = 2 ⇒ f [ 2 ] . f [ 3] < 0 nên phương trình có một nghiệm c2 ∈ [ 2;3]Mà cả ba nghiệm c1 , c2 ,1 phân biệt nên phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệtCâu 22. Chứng minh rằng phương trình x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm trongkhoảng [–4; 0].Xét hàm số f [ x ] = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 ⇒ f [ x ] liên tục trên R.• f[–3] = 5, f[0] = –7 ⇒ f [−3]. f [0] < 0 ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [–3;0].• [−3; 0] ⊂ [−4; 0] ⇒ PT f [ x ] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [–4; 0].Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinh

Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mọi m:m[x-1][x+2]+2x+1=0[1]

Chứng minh phương trình có nghiệm trong chương trình giải tích lớp 11 thuộc chương giới hạn – liên tục. Đây là một dạng toán khá đơn giản. Ta có bài toán như sau:

Chứng minh phương trình $$f[x] = 0$$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].

Các bước giải bài toán:

Bước 1. Chứng minh hàm số liên tục trên khoảng \[\left[{a;b} \right]\].

Bước 2. Tính \[f[a],f\left[ b \right]\].

Bước 3. Chứng minh \[f[a].f\left[ b \right] \le 0\].

Bước 4. Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].

Phương pháp này tương đối dễ hiểu, vì hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên khoảng \[\left[ {a;b} \right]\] nên đồ thì của hàm số này từ \[f\left[ a \right]\] đến \[f\left[ b \right]\] là một đường liền nét.

Mà \[f[a].f\left[ b \right] \le 0\] nghĩa là \[f\left[ a \right]\] và \[f\left[ b \right]\] trái dấu nên một điểm nằm trên và một điểm nằm dưới trục hoành.

Vậy đồ thị của hàm số này từ \[f\left[ a \right]\] đến \[f\left[ b \right]\] sẽ cắt trục Ox tại ít nhất một điểm nên phương trình sẽ có ít nhất một nghiệm trên khoảng \[\left[ {a;b} \right]\].

Ta tham khảo một số ví dụ để nắm được phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm.

Ví dụ 1. Chứng minh phương trình \[{x^4} – 3{x^2} + 5x – 6 = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].

Hướng dẫn:

Đặt \[f\left[ x \right] = {x^4} – 3{x^2} + 5x – 6\] thì \[f\left[ x \right]\] là hàm đa thức nên liên tục trên R, vậy \[f\left[ x \right]\] liên tục trên khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].

\[f\left[ 1 \right] = – 3,f\left[ 2 \right] = 8\]

Suy ra \[f\left[ 1 \right].f\left[ 2 \right] = – 24 \] < 0

Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình $$m{\left[ {x – 1} \right]^3}\left[ {x – 2} \right] + 2x – 3 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn:

Đặt $$f\left[ x \right] = m{\left[ {x – 1} \right]^3}\left[ {x – 2} \right] + 2x – 3$$ thì $$f\left[ x \right]$$ là hàm đa thức nên liên tục trên R.

$$f\left[ 1 \right] = – 1,f\left[ 2 \right] = 1 \Rightarrow f\left[ 1 \right].f\left[ 2 \right] = – 1$$ < 0

Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình $${m^2}{x^4} + 2m{x^3} + 3x – 1 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn: