Từ các chữ số 0 4 5 7 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5

adsense

Câu hỏi:
Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. 124

B. 132

C. 136

D. 120

Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(
\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\)

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.⇒ d∈{0;5}

TH1: d=0, số cần tìm có dạng \(
\overline {abc0}\)

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c⋮3

Ta có các nhóm: \(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\{ 2;5;8\} \equiv 3(mod2)\\
\{ 9 \equiv 3(mod0)\\
\{ 1;4;7\} \equiv 3(mod1)
\end{array} \right.\\
a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {1;4;7} \right\}
\end{array}\)

⇒ Có 3! cách chọn.

+) \(
a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\)⇒ Có 3! cách chọn.

+ Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

⇒ Có\(
1.C_3^1.C_3^1.3!\) cách chọn

⇒ Có \(
3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\) số

adsense

TH2: d=5, số cần tìm có dạng \(
\overline {abc5} \)

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c+5⋮3, trong đó 5≡3(mod2)

Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}
\{ 0;9\} \equiv 3(mod0)\\
\{ 1;4;7\} \equiv 3(mod1)\\
\{ 2;8\} \equiv 3(mod2)
\end{array} \right.\)

+ Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1. 

⇒ Có \(
C_3^1.3! – C_1^3.2! = 12\) cách chọn.

+ Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.

⇒ Có \(C^1_2.3!−2!=10\) cách chọn.

+ Trong 3 số a,b,ccó 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2

⇒ Có \(C^2_3.C^1_2.3!=36\) cách chọn.

Vậy có tất cả 66+12+10+36=124 số thỏa mãn

===============

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp

\(\text { Vì } n \text { không chia hết cho } 5 \Rightarrow a_{4} \text { phải khác } 0 \text { và khác } 5 \text { . }\)

\(\text { Ta có } \left.4 \text { cách chon } a_{4} \text { (chọn } 1,2,7,9\right) \text { , có } 4 \text { cách chọn } a_{1} \text { và có } \mathrm{A}_{4}^{2} \text { cách chọn } \overline{a_{2} a_{3}} \text { . }\)

adsense

\(\text { Suy ra ta có } 4 \cdot 4 \cdot \mathrm{A}_{4}^{2}=192 \text { số thoả mãn yêu cầu bài toán. }\)