Hiên nay, có rất nhiều bạn học sinh không nắm được định nghĩa đường trung tuyến là gì, tính chất và công thức tính đường trung tuyến trong tâm giác như thế nào? Chính vì vậy, THPT CHUYÊN LAM SƠN chia sẻ lý thuyết đường trung tuyến trong tam giác là gì? Tính chất của đường trung tuyến và công thức tính đường trung tuyến trong tam giác kèm theo các dạng bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé
Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó.
Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
Ví dụ: Ví dụ: Cho tam giác ABC, có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC. Từ đó ta có các đường thẳng BD, AF, CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác thường
- Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm được gọi là trọng tâm.
- Khoảng cách từ trong tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng 2/3 đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.
- Khoảng cách từ trong tâm đến trung điểm mỗi cạnh bằng đường 1/3 trung tuyến tương ứng với điểm đó.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau. Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Định lý 1: Đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền
Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều
- Trong tam giác cân, tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đó và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác
Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối.
Trong đó:
- a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác
- ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác
Tham khảo thêm:
Bài tập tính đường trung tuyến trong tam giác có lời giải
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.
a] Chứng minh: AM ⊥ BC;
b] Tính độ dài AM.
Lời giải:
a. Ta có AM là đường trung tuyến ABC nên MB = MC
Mặt khác ABC cân tại A
⇒ AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Vậy AM ⊥ BC
b. Ta có
BC = 16cm nên BM = MC = 8cm
AB = AC = 17cm
Xét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng Định lý Pitago có:
AC2 = AM2 + MC2 ⇒ 172 = AM2 + 82 ⇒ AM2 = 172– 82= 225 ⇒ AM= 15Cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.
a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.
b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.
Lời giải
a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
HB = HC
Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:
AB = AC [tam giác ABC cân tại A]
AH chung
HB = HC
⇒ ΔAHB = ΔAHC [c – c – c]
b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC [1]
Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC [2]
DG là đường trung tuyến của tam giác AGC [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến [là độ dài đoạn thẳng] nên nó luôn dương, do đó:
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a] M là trung điểm của CD
b] AM = 12BC.
a, Xét: ΔBDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD
Mặt khác:
AE = 1/3AC ⇒ CE = 2/3AC.
⇒ E là trọng tâm Δ BCD
M là giao của BE và CD
Vậy BM là trung tuyến Δ BCD
Vậy M là trung điểm của CD
b, A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
⇒ AM là đường trung bình của Δ BDC
⇒ AM = 1/2BC
Bên trên chính là toàn bộ lý thuyết đường trung tuyến và công thức tính đường trung tuyến trong tam giác có thể giúp các bạn hệ thống lại kiến thức để vận dụng vào làm bài tập nhanh chóng nhé