Đường tròn [C] có tâm I[-2;1], bán kính R = 3. Do \[M\in d\] nên M[a;1-a] Do M nằm ngoài [C] nên \[IM> R\Leftrightarrow IM^2> 9\Leftrightarrow [a+2]^2+[-a]^2> 9\] \[\Leftrightarrow 2a^2+4a-5> 0 [*]\] Ta có \[MA^2=MB^2=IM^2-IA^2=[a+2]^2+[-a]^2-9=2a^2+4a-5\] Do đó tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình: \[[x-a]^2+[y+a-1]^2=2a^2+4a-5\] \[\Leftrightarrow x^2+y^-2ax+2[a-1]y-6a+6=0 \ [1]\] Do A, B thuộc [C] nên tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình \[\Leftrightarrow x^2+y^2+4x-2y-4=0 \ \ \ [2]\] Trừ theo vế của [1] cho [2] ta được \[[a+2]x-ay+3a-5=0[3]\] Do tọa độ của A, B thỏa mãn [3] nên [3] chính là phương trình của đường thẳng \[\Delta\] đi qua A, B. +] Do [E] tiếp xúc với \[\Delta\] nên [E] có bán kính R1=d[E,\[\Delta\]] Chu vi của [E] lớn nhất ⇔ R1 lớn nhất ⇔ d[E,\[\Delta\]] lớn nhất Nhận thấy đường thẳng \[\Delta\] luôn đi qua điểm \[K\left [\frac{5}{2};\frac{11}{2} \right ]\] Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên \[\Delta\] \[\Rightarrow d[E,\Delta ]=EH\leq EK=\frac{\sqrt{10}}{2}\] Dấu “=” xảy ra khi \[H=K\Leftrightarrow \Delta \perp EK\] Ta có \[\overrightarrow{EK}=\left [ -\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right ], \Delta\]có vectơ chỉ phương \[\vec{u}=[a;a+2]\] Do đó \[\Delta \perp EK\Leftrightarrow \overrightarrow{EK}.\vec{u}=0\Leftrightarrow -\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}[a+2]=0\Leftrightarrow a=-3\][thỏa mãn [*]]
Vậy M[-3;4]là điểm cần tìm
Giải chi tiết:
+] Thay tọa độ điểm \[A\left[ {2;1} \right]\] và \[B\left[ {9;6} \right]\] vào đường thẳng \[\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\] ta được: \[2 - 1 + 1 = 2 > 0\]và \[9 - 6 + 1 = 4 > 0\] \[ \Rightarrow \] Hai điểm \[A\left[ {2;1} \right]\] và \[B\left[ {9;6} \right]\] nằm cùng phía so với đường thẳng \[\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\].
+] Gọi \[A'\] là điểm đối xứng với điểm \[A\] qua đường thẳng \[\Delta \].
Xét \[\Delta :\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_\Delta } = \left[ {1; - 1} \right];\,\,{\vec u_\Delta } = \left[ {1;1} \right]\]. Phương trình đường thẳng \[\left[ d \right]\] qua \[A\left[ {2;1} \right]\] vuông góc với \[\Delta \] [nhận \[{\vec u_\Delta }\left[ {1;1} \right]\] làm VTPT] là:
\[1.\left[ {x - 2} \right] + 1.\left[ {y - 1} \right] = 0 \Rightarrow x - 2 + y - 1 = 0 \Rightarrow x + y - 3 = 0\]
Gọi \[H = \left[ d \right] \cap \left[ \Delta \right]\]. Tọa độ điểm \[H\] là nghiệm của hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left[ {1;2} \right]\]
Xác định tọa độ điểm \[A'\] là điểm đối xứng với \[A\left[ {2;1} \right]\] qua \[\left[ \Delta \right]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{2 + {x_{A'}}}}{2}\\2 = \frac{{1 + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 0\\{y_{A'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left[ {0;3} \right]\]
+] Xét \[\Delta A'MB\] ta có: \[MA' + MB \ge A'B\] [bất đẳng thức tam giác]
\[\left. \begin{array}{l}A'\left[ {0;3} \right]\\B\left[ {9;6} \right]\end{array} \right\} \Rightarrow A'B = \sqrt {{{\left[ {9 - 0} \right]}^2} + {{\left[ {6 - 3} \right]}^2}} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} \]
+] Ta có: \[MA + MB = MA' + MB \ge A'B = 3\sqrt {10} \]
Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \[MA + MB = MA' + MB = A'B = 3\sqrt {10} \Leftrightarrow \]Ba điểm \[A',\,\,B,\,\,M\] thẳng hàng
\[ \Rightarrow \]\[{\left[ {MA + MB} \right]_{\min }} = 3\sqrt {10} \]\[ \Leftrightarrow \] Ba điểm \[A',\,\,B,\,\,M\] thẳng hàng và \[M \in \left[ \Delta \right]\].
Điều kiện \[1\] : \[M \in \left[ \Delta \right] \Rightarrow a - b + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Điều kiện \[2\]: Ba điểm \[A',\,\,B,\,\,M\] thẳng hàng
\[\overrightarrow {A'\,\,B} = \left[ {9;3} \right] \Rightarrow {\vec u_{_{A'B}}} = \left[ {3;1} \right];\,\,{\vec n_{_{A'B}}} = \left[ { - 1;3} \right]\]
Phương trình tổng quát của đường thẳng \[A'B\] nhận \[{\vec n_{_{A'B}}}\] làm VTPT là:
\[ - 1.\left[ {x - 0} \right] + 3.\left[ {y - 3} \right] = 0\] \[ \Rightarrow - x + 3y - 9 = 0\]
Vì ba điểm \[A',\,\,B,\,\,M\] thẳng hàng nên \[M\left[ {a;b} \right]\] thuộc đường thẳng \[A'B\] suy ra:
\[ - a + 3b - 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ điều kiện \[1\] và điều kiện \[2\] ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a - b + 1 = 0\\ - a + 3b - 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 7\]
Vậy \[a + b = 7\].
Chọn A
Cho điểm $N\left[ { - 2;3} \right]$. Khẳng định nào sau đây đúng
Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?
Khẳng định nào sau đây sai ?
Những câu hỏi liên quan
Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ : x - y + 1 = 0 và hai điểm A[2;1], B[9;6]. Điểm M[a;b] nằm trên D sao cho MA+MB nhỏ nhất. Tính a+b
A. -9
B. 9
C. -7
D. 7
Những câu hỏi liên quan
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = 1 3 x + 2 .Viết phương trình đường thẳng ∆ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục là đường thẳng y=x
A. y = 3 x − 6
B. y = 3 x + 6
C. y = - 3 x + 6
D. y = - 3 x - 6
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I[1; 2], M[-2; 3], đường thẳng d có phương trình 3x – y + 9 = 0 và đường tròn [C] có phương trình: x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 = 0 .
Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn [C’] theo thứ tự là ảnh của M, d và [C] qua
a] Phép đối xứng qua gốc tọa độ;
b] Phép đối xứng qua tâm I.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng d có phương trình 2x + y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox là
A. y - 2x + 3 = 0
B. -2y + x + 3 = 0
C. 2y + x + 3 = 0
D. 2y - x + 3 = 0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng d có phương trình 2x + y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox là
A. y - 2x + 3 = 0
B. -2y + x + 3 = 0
C. 2y + x + 3 = 0
D. 2y - x + 3 = 0
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x − 2y – 6 = 0
a] Viết phương trình của đường thẳng d 1 là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy
b] Viết phương trình của đường thẳng d 2 là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng Δ có phương trình x + y – 2 = 0 .
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d$ :$x+y+1=0$ , điểm $I\left[ 1;-2 \right]$, phép quay ${{Q}_{\left[ O,{{90}^{0}} \right]}}\left[ d \right]=d’$ . Xác định phương trình đường thẳng ${d}’$.
C. $-x+y-2=0$ .
B. $x-y-1=0$.
C. $x-y+3=0$.
D. $x-y-3=0$.
Hướng dẫn
Đáp án D.
Ta có: $I\in d\Rightarrow I\in {d}’$
Đường thẳng ${d}’$ có dạng: $x-y+c=0$. Vì ${d}’$ đi qua $I$nên $1+2+c=0$ $\Rightarrow c=-3\Rightarrow {d}’:\,x-y-3=0$
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023