1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn Thịnh Dấu hiệu chia hết: Gọi N = anan−1 . . . a1a0 là số tự nhiên có n + 1 chữ số [an = 0]. Khi đó: N ... 2 ⇔ a0 ... 2 ⇔ a0 ∈ {0; 2; 4; 6; 8}.! N ... 5 ⇔ a0 ... 5 ⇔ a0 ∈ {0;5}. N ... 4 [hay 25] ⇔ a1a0 ... 4 [ hay 25]. N ... 8 [hay 125] ⇔ a2a1a0 ... 8 [ hay 125]. N ... 3 [hay 9] ⇔ a0 + a1 + · · · + an ... 3 [ hay 9]. B TỰ LUẬN Câu 1. Có 2 cuốn sách Toán A và B khác nhau, hai cuốn sách Vật lý C và D khác nhau.Cần chọn đúng 2 cuốn sách, hỏi có bao nhiêu cách.Câu 2. Từ tập hợp X = {a, b, c} chọn ra 1 tập hợp con của A . Hỏi có mấy cách. Câu 3. Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố Ccó 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thànhphố B Câu 4. Một hộp có 12 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Một em bé muốn chọn1 viên bi để chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 50 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn Thịnh Câu 5. Chợ Bến Thành có 4 cổng ra vào. Hỏi một người đi chợ:a] Có mấy cách vào và ra chợ?b] Có mấy cách vào và ra chợ bằng 2 cổng khác nhau? Câu 6. Có 8 quyển sách Toán, 7 quyển sách Lí, 5 quyển sách Hóa. Một học sinh chọn 1quyển trong bất kỳ 3 loại trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Câu 7. A BCho sơ đồ mạch điện như hình vẽ bên cạnh. Hỏi có baonhiêu cách đóng - mở 5 công tắc để có được dòng điện đitừ A đến B. Câu 8. Đề thi học kỳ môn Hóa gồm hai phần: trắc nghiệm và tự luận. Trong ngân hàng đềthi có 15 đề trắc nghiệm và 8 đề tự luận. Hỏi có bao nhiêu cách ra đề? Câu 9. Một ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái quần, trong đó có 18 cái áo màu xanh và 12 cái áomàu đỏ; 12 quần xanh và 8 quần đỏ. Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo khác màu đểngười ca sĩ này đi trình diễn? 51 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn Thịnh Câu 10. Trong lớp 11A có 39 học sinh trong đó có học sinh tên Chiến, lớp 11B có 32 họcsinh trong đó có học sinh tên Tranh. Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 2 học sinh khác lớpmà không có mặt Chiến và Tranh cùng lúc? Câu 11. Trong lớp 11A có 50 học sinh, trong đó có 2 học sinh tên Ưu và Tiên. Có bao nhiêucách chọn ra 2 học sinh đi thi mà trong đó có mặt ít nhất 1 trong 2 học sinh tên Ưu và tênTiên? Câu 12. Có 20 bông hoa trong đó có 8 bông hồng, 7 bông cúc, 5 bông đào. Chọn ngẫu nhiên4 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó hoa được chọn có đủ cả ba loại?Câu 13. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập được mấy số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Câu 14. Từ các phần tử của A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẳngồm 3 chữ số khác nhau. 52 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn ThịnhC TRẮC NGHIỆMCâu 1. Nga đến cửa hàng văn phòng phẩm để mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có bamặt hàng Bút, vở và thước, trong đó có 5 loại bút, 7 loại vở và 8 loại thước. Hỏi có bao nhiêucách chọn một món quà gồm một vở và một thước?A. 56. B. 280. C. 20. D. 35.Câu 2. Từ thành phố A tới thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B tới thành phố C có4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A tới C qua B?A. 12. B. 6. C. 24. D. 7. Câu 3. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi cóbao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?A. 18. B. 9. C. 24. D. 10.Câu 4. Một người có 7 cái áo và 11 cái cà vạt. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn ra một chiếcáo và cà vạt?A. 7. B. 18. C. 77. D. 11. 53 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn ThịnhCâu 5. Trong một hộp bút có 2 bút đỏ, 3 bút đen và 2 bút chì. Hỏi có bao nhiêu cách để lấymột cái bút?A. 6. B. 2. C. 12. D. 7.Câu 6. Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập từ 6 chữsố đó.A. 36. B. 18. C. 256. D. 108.Câu 7. Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 6, 7, 9. Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm 3 chữ số được lấy từtrên?A. 20. B. 36. C. 108. D. 40.Câu 8. Có bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ sốA. 5400. B. 4500. C. 4800. D. 50000.Câu 9. Một tổ có 7 nam và 5 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một học sinh làm trựcnhật. Hỏi giáo viên đó có bao nhiêu cách chọn?A. 7. B. 12. C. 5. D. 35. 54 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn ThịnhCâu 10. Trên giá sách có 8 quyển sách tiếng Anh khác nhau, 10 quyển sách tiếng Việt khácnhau và 6. quyển sách tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ba quyển sách tiếngkhác nhau?A. 24. B. 408. C. 840. D. 480.Câu 11. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi mộtkhác nhau?A. 60. B. 120. C. 3125. D. 24.Câu 12. Từ tập A = {1;2;3;4;5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ, mỗi số có ba chữ sốkhác nhau?A. 16. B. 36. C. 32. D. 26.Câu 13. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách cử ra haibạn trong đó có 1 bạn nam và 1 bạn nữ?A. 375. B. 25. C. 15. D. 40. 55 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn ThịnhCâu 14. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ sốđầu tiên là số lẻ.A. 2520. B. 1400. C. 5040. D. 4536.Câu 15. Từ A đến B có 3 con đường, từ B đến C có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách chọnđường từ A đến C[quaB] và trở về từ C đến A [qua B] và không đi lại các con đường đã đirồi?A. 132. B. 72. C. 23. D. 18.Câu 16. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 làA. 3260. B. 3168. C. 5436. D. 3024.Câu 17. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng tổng củaba số này bằng 8.A. 12. B. 8. C. 6. D. 9. 56 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn ThịnhCâu 18. Bạn Hòa có hai áo màu khác nhau và ba quần kiểu khác nhau. Hỏi Hòa có baonhiêu cách chọn một bộ quần áo?A. 6. B. 10. C. 5. D. 20.Câu 19. Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ B đến C có 5 con đường. Hỏicó bao nhiêu cách đi từ A đến C, qua B?A. 7. B. 1. C. 45. D. 10.Câu 20. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số?A. 10. B. 25. C. 120. D. 20.Câu 21. Có bao nhiêu số điện thoại gồm 6, trong đó các chữ số đều là chữ số lẻ?A. 1000000. B. 15625. C. 46656. D. 120.Câu 22. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?A. 20. B. 42. C. 36. D. 120. 57 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn ThịnhCâu 23. Từ tập X = {0;1;2;3; 4;5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khácnhau mà số đó chia hết cho 10.A. 4. B. 16. C. 20. D. 36.Câu 24. Cho 6 chữ số 2,3,4,5,6,7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được lập thành từ 6 chữsố đóA. 36. B. 18. C. 256. D. 216.Câu 25. Trên giá sách có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển tiếng Anh khác nhau và6 quyển Lí khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển khác loại?A. 80. B. 60. C. 480. D. 188.Câu 26. Trong một hộp bút có 5 bút xanh và 4 bút chì. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy mộtcái bút?A. 4. B. 20. C. 9. D. 5. 58 Sưu tầm và biên soạn1. CÁC QUY TẮC ĐẾM GV: Doãn ThịnhCâu 27. Cần mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khácnhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọnA. 64. B. 16. C. 32. D. 20.Câu 28. Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút, vở và thước, trong đó có 10 loại bút, 8 loại vởvà 7 loại thước. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một món quà gồm một vở và một thước?A. 280. B. 35. C. 56. D. 20.Câu 29. Đi từ A đến B có 3 con đường, đi từ B đến C có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cáchđi từ A đến C mà phải qua B.A. 14. B. 13. C. 12. D. 11.Câu 30. Tổ Văn của một trường phổ thông có 4 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ. Hỏi có baonhiêu cách chọn một giáo viên trong tổ đi thi giáo viên dạy giỏi cấp trường?A. 20. B. 9. C. 4. D. 5. 59 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh BÀI . HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢPA TÓM TẮT LÝ THUYẾT1 GIAI THỪA Định nghĩa 1. Cho số tự nhiên n ≥ 1, ta định nghĩa n giai thừa, ký hiệu bởi n!, là n! = n · [n − 1] · [n − 2] · · · 2 · 1 Tính chất 1. Giai thừa có các tính chất sau đây: 1 n! = n · [n − 1]! = n · [n − 1] · [n − 2]! = n · [n − 1] · [n − 2] · · · · · 2 · 1. 2 Quy ước 0! = 1. 2 HOÁN VỊ Định nghĩa 2. Cho tập hợp A có n phần tử [n ≥ 1]. 1 Ta nói mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử tập hợp A là một hoán vị của n phần tử này. 2 Số các hoán vị của n phần tử tập hợp A được ký hiệu bởi Pn. Pn = n! = n · [n − 1] · [n − 2] · · · 2 · 1 Nhận xét. Các hoán vị khác nhau chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp các phần tử. Ví dụ 3. Giả sử muốn xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn dài có 3 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế?Lời giải:................................................................................................................................................................................................ Ví dụ 4. Có 5 quyển sách toán, 4 quyển sách lý và 3 quyển sách hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách đó lên một kệ dài trong mỗi trường hợp sau: 1 Các quyển sách được xếp tùy ý. 2 Các quyển sách cùng môn được xếp cùng nhau.Lời giải:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 60 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh3 CHỈNH HỢP Định nghĩa 3. Cho tập hợp S gồm n phần tử [n ≥ 1]. Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp S và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử [1 ≤ k ≤ n] là:Ank = n[n − 1] . . . [n − k + 1] = [n n! − k]! Khi giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có 2 dấu! hiệu sau: Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X [1 ≤ k < n]. Có sắp thự tự các phần tử đã chọn. Ví dụ 5. Lớp 11A có 20 học sinh nam , 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bạn bầu vào ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ?Lời giải:................................................................................................................................................................................................ Ví dụ 6. Giả sử muốn chọn 3 trong 5 A, B, C, D, E bạn và sắp 3 bạn này vào một cái bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách?Lời giải:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Ví dụ 7. Cho tập hợp X = {1;2;3;4;5; 6;7;8;9}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?Lời giải:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 61 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh 4 TỔ HỢPĐịnh nghĩa 4. Cho tập hợp A có n [n ≥ 1] phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tậpcon của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A [hay một tổhợp chập k của A]. Ký hiệu Cnk.Số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử [1 ≤ k ≤ n] làCkn = Ank = n[n − 1][n − 2] . . . [n − k + 1] k! k!Với quy ước C0n = 1 thì với mọi số nguyên k thỏa 0 ≤ k ≤ n ta có! Ckn = k! · n! k]! . [n −Tính chất 2. 1 Ckn = Cnn−k với 0 ≤ k ≤ n. 2 Công thức Pascal: Ckn + Cnk+1 = Ckn++11 với 1 ≤ k ≤ n. Ví dụ 8. Lớp 11A có 20 học sinh nam , 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 4bạn tham gia lao động?Lời giải:................................................................................................................................................................................................ Ví dụ 9. Trong không gian, cho tập hợp gồm điểm, trong đó không có điểm nào thẳng hàng. Hỏi 1 Có bao nhiêu đường thẳng tạo thành? 2 Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?Lời giải:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 62 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn ThịnhB TỰ LUẬN Câu 1. Thu gọn các biểu thức sau: 5! [m + 1]! 6! [m + 1]!a] D = · ; c] D = · ; m[m + 1] [m − 1]!3! m[m + 1] 4![m − 1]! 7! [m + 2]! [n + 1]C2nb] D= m2 + m · 4![m − 1]! ; d] D = n n2 − 1 . Câu 2. Giải các phương trình sau:a] C1x+0+4x = C210x−+1x0 h] C228x = 225b] C1k4 + C1k4+2 = 2C1k4+1; C224x−4 ; 11c] A3n + 2C2n = 16n; i] x2 − C4x · x + C23 · C31 = 0;d] A3x + Cxx−2 = 14x;e] A2x−2 + Cxx−2 = 101; j] C6Cxx−+2x21++62CC3x3x=−17=x27−[x7−x;1];f] 2C2x−1 − C1x = 79; k] Pn+2 l] C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 − 14x; Ann−−41 · P3 m] 2 A3n + 3A2n = Pn+1;g] = 210; n] 2Pn + 6A2n − Pn · A2n = 12. 63 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh Câu 3. Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên thành một hàngngang để đón đoàn đại biểu, nếu:a] Các học sinh được xếp bất kì?b] Các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau? Câu 4. Xếp 6 học sinh A, B, C, D, E, F vào một ghế dài, có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:a] 6 học sinh này ngồi bất kì?b] A và F luôn ngồi ở hai đầu ghế?c] A và F luôn ngồi cạnh nhau?d] A, B, C luôn ngồi cạnh nhau?e] A, B, C, D luôn ngồi cạnh nhau? Câu 5. Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước gồm: Mỹ 5 người, Nga 5 người,Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho mọi thành viên saocho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? Câu 6. Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏitrong các số đó có bao nhiêu số:a] Bắt đầu bằng chữ số 5?b] Không bắt đầu bằng chữ số 1?c] Bắt đầu bằng 23?d] Không bắt đầu bằng 234? 64 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh Câu 7. Cho tập X = {1;2;3;4;7}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khácnhau chia hết cho 3 được lập từ X ? Câu 8. Cho tập hợp E = {1;2;3;4; 5;6;7;8;9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khácnhau, biết rằng tổng của ba chữ số số này bằng 18.C TRẮC NGHIỆMCâu 1. Có 6 quyển sách toán, 5 quyển sách hóa và 3 quyển sách lí. Hỏi có bao nhiêu cáchđể lấy ra 2 quyển sách mỗi loại?A. 28. B. 366. C. 450. D. 90.Câu 2. Lớp 11A1 có 41 học sinh trong đó có 21 bạn nam và 20 bạn nữ. Thứ 2 đầu tuần lớpphải xếp hàng chào cờ thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 21 bạn nam xenkẽ với 20 bạn nữ?A. P41. B. P21 − P20. C. 2.P21.P20. D. P21 + P20. Câu 3. Có 6 quyển sách toán, 5 quyển sách hóa và 3 quyển sách lí. Hỏi có bao nhiêu cáchđể xếp lên giá sách sao cho các quyển sách cùng loại được xếp cạnh nhau? 65 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh D. 46800.A. 518400. B. 30110400. C. 86400.Câu 4. Xếp 7 người vào một băng ghế có 9 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?A. 36. B. 5040. C. 181440. D. 2250.Câu 5. Có 12 quyển sách khác nhau. Chọn ra 5 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách?A. 95040. B. 792. C. 120. D. 5040.Câu 6. Từ tậpA = {1;2;3;4; 5,6,7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khácnhauA. 840. B. 2520. C. 120. D. 625.Câu 7. Biết C3n = 35. Vậy thì A3n bằng bao nhiêu?A. 35. B. 45. C. 210. D. 70. 66 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn ThịnhCâu 8. Cho tập B = {0,1; 2; 3; 4,5,6,7,8,9}. Từ tập B có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cónăm chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi số 16?A. 27212. B. 27200. C. 26880. D. 27202.Câu 9. Từ tập X = {1;2;3;4;5; 6} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số chia hếtcho 5?A. 120. B. 20. C. 216. D. 64.Câu 10. Trong một mặt phẳng có 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏitổng số đọan thẳng và tam giác có thể lập được từ các điểm trên làA. 20. B. 10. C. 40. D. 80.Câu 11. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A,B,C,D,E sao cho A,B ngồi cạnh nhau?A. 48. B. 120. C. 12. D. 24.Câu 12. Năm người được xếp vào ngồi quanh một bàn tròn có 5chiếc ghế. Số cách xếp làA. 50. B. 100. C. 120. D. 24. 67 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn ThịnhCâu 13. Số đường chéo của một đa giác lồi 20 cạnh làA. 170. B. 190. C. 360. D. 380.Câu 14. Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau lập thành từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8?A. 48. B. 60. C. 100. D. 125.Câu 15. Một lớp học có 8học sinh được bầu chọn vào 3chức vụ khác nhau gồm lớp trưởng,lớp phó và thư ký [không được kiêm nhiệm]. Số cách khác nhau sẽ làA. 336. B. 56. C. 31. D. 40230.Câu 16. Cho 6chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập từ 6chữsố đó:A. 36. B. 18. C. 256. D. 108. 68 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh n!Câu 17. Công thức tính C k là D. . n k! n! n!A. . B. . C. n!.k![n − k]! [n − k]!Câu 18. Nếu 2A2n = A3n thì n bằngA. 6. B. 8. C. 4. D. 5.Câu 19. Số n thỏa C0n − 2C1n + A 2 = 109 là nA. 8. B. 10. C. 12. D. 14.Câu 20. Cho A3y + C y−2 = 14 y. Giá trị của M = A4y+1 + 3C3y là yA. 541. B. 390. C. 451. D. 540.Câu 21. Từ các số 2, 3, 4, 5, 6, 7có thể lập được bao nhiêu số có 4chữ số khác nhau?A. A64. B. 64. C. C64. D. 4!. 69 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn ThịnhCâu 22. Có 7 bông hồng và 5 bông huệ. Chọn ra 3bông hồng và 2bông huệ. Hỏi có bao nhiêucách chọn.A. 360. B. 270. C. 350. D. 320.Câu 23. Phương trình A22n − 24 = A2n có bao nhiêu nghiệm?A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.Câu 24. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khácnhau và luông có mặt chữ số 0?A. 6A46 − A65. B. A75. C. A65 − A64. D. A57 − A56.Câu 25. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn A2nCnn−1 = 48?A. n = 4. B. n = 3. C. n = 20. D. n = 6.Câu 26. Có 6 chữ số số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Có bao nhiêu số chẵn có 3chữ số được lập từ nhữngchữ số trên.A. 600. B. 162. C. 108. D. 401. 70 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn ThịnhCâu 27. Từ các chữ số 1, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3chữ số khác nhau.A. 9. B. 8. C. 6. D. 7.Câu 28. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn vào 5 ghế xếp thành một hàng dọc.A. 136. B. 126. C. 168. D. 120.Câu 29. Cho C5n = 15504. Vậy A5nbằng:A. 1860480. B. 77520. C. 108528. D. 62016.Câu 30. Có 7con trâu và 4con bò. Cần chọn 6 con, trong đó có ít nhất 2con bò. Có bao nhiêucách chọn.A. 137. B. 317. C. 371. D. 173. 71 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn ThịnhCâu 31. Thầy giáo phân công 6 hoc sinh thành từng nhóm một người, hai người, ba ngườivề ba địa điểm. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.A. 120. B. 60. C. 20. D. 30.Câu 32. Một nhóm học sinh có 15em trong đó có 10nam và 5nữ. Cần chọn 6 em đi dự đạihội đoàn trường. Số cách chọn là:A. 5001. B. 5005. C. 5000. D. 4785.Câu 33. Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ởsân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:A. 45. B. 90. C. 100. D. 180.Câu 34. Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:A. 35. B. 120. C. 240. D. 720.Câu 35. Một cửa hàng có 9 quyền sách Toán, 12 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hoá. Hỏingười bán hàng có bao nhiêu cách sắp sách lên kệ sao cho các quyển sách cùng loại được xếpcạnh nhau? Biết những quyển sách này đều là Sách giáo khoa lớp 11.A. 9!.12!.3!. B. 6. C. 9!.12!.33!. D. 36.9!.12!. 72 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh Câu 36. Có 5 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Số cáchxếp các cuốn sách này trên một kệ dài sao cho không có 2 quyển Tiếng Anh nào cạnh nhaulà A. 10080. B. 7200. C. 14400. D. 2400. Câu 37. Cho tập A gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của tập A là A. 510. B. A510. C. C150. D. Pn. Câu 38. Cho 2 đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất lấy 6 điểm phân biệt,trên đường thẳng thứ hai lấy 10 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh thuộctập 16 điểm đã lấy trên hai đường thẳng trên? A. 150 tam giác. B. 270 tam giác. C. 420 tam giác. D. 560 tam giác. Câu 39. Một tổ học sinh có 4 nam và 2 nữ được xếp thành một hàng dọc. Số cách xếp saocho 2 bạn nữ luôn đứng đầu hàng là A. 24. B. 16. C. 720. D. 48. 73 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn ThịnhCâu 40. Số cách xếp n[n ≥ 1] học sinh thành một hàng ngang làA. n!. B. 2n. C. nn. D. n.Câu 41. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có Chiến và Thắng, vào 10ghế kê thành hàng ngang sao cho Chiến và Thắng không ngồi cạnh nhau?A. 8.9! cách. B. 2.9! cách. C. 9! cách. D. 10!.Câu 42. Cho tập A gồm n phần tử [n ≥ 1]. Mỗi kết quả của việc lấy ra k phần tử khác nhaucủa tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi làA. Một chỉnh hợp chập k của n phần tử. B. Một tổ hợp chập k của n phần tử.C. Một chỉnh hợp chập n của k phần tử. D. Một hoán vị của k phần tử.Câu 43. Từ 6 bông hoa khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 3 bông để cắm vào 3 lọ khácnhau sao cho mỗi lọ có một bông hoa.A. 729 cách. B. 120 cách. C. 20 cách. D. 256 cách. Câu 44. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêucách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 74 Sưu tầm và biên soạn2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GV: Doãn Thịnh D. 207800.nam và 1 nữ? B. 207901. C. 208900. A. 207900.Câu 45. Cho các chữ số 2,3,4,5,6,7. Khi đó có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số được thànhlập từ các chữ số đã cho?A. 120. B. 216. C. 18. D. 720. 75 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh BÀI . NHỊ THỨC NEWTONA TÓM TẮT LÝ THUYẾT1 NHỊ THỨC NEWTONCho a, b là các số thực và n ∈ N∗. Ta có n [a + b]n = Cnk an−k bk = C0nan + C1nan−1b + C2nan−2b2 + · · · + Cnn−1abn−1 + Cnnbn. k=0Nhận xét.1 Trong khai triển [a ± b]n có n + 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau. Tức là Ckn = Cnn−k.2 Số hạng tổng quát là Tk+1 = Cknan−kbk và số hạng thứ N thì k = N − 1.3 Trong khai triển [a − b]n thì dấu đan nhau, nghĩa là +, rồi −, rồi +,. . .4 Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.5 Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thìsẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như • [a + b]n = C0n an + C1n an−1 b + · · · + Cnn bn a=1, b=1 C0n + C1n + · · · + Cnn = 2n. =⇒ • [a − b]n = C0n an − C1n an−1 b + · · · + [−1]n Cnn b n a=1, b=1 C0n − C1n + · · · + [−1]nCnn = 0. =⇒Ví dụ 1. Khai triển các nhị thức sau:1 [x + 1]4 2 [x + 2 y]5 16 3 2x− xLời giải:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2 TAM GIÁC PASCAL Các hệ số của các khai triển [a+ b]0, [a+ b]1, [a+ b]2, . . . , [a+ b]n có thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác Pascal. 76 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh n=0: 1 HẰNG ĐẲNG THỨC PASCAL n=1: 1 1 Cnk−−11 + Cnk−1 = Ckn. n=2: 1 2 1 n=3: 1 3 3 1 n=4: 1 4 6 4 1 n = 5 : 1 5 10 10 5 1 n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1Ví dụ 2. Viết đầy đủ dạng khai triển của các nhị thức sau:1 [a + b]6 2 [a + b]7Lời giải:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3 DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬPDạng 1. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trướcPhương pháp giảiBước 1. Viết công thức số hạng tổng quát.Bước 2. Dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn số hạng tổng quát.Bước 3. Dựa vào điều kiện cho trước để tìm số hạng thỏa mãn bài toán.Chú ýVới n ∈ N∗ và x = 0 thì x−n = 1 . xn n mVới m ∈ Z, n ∈ N∗ và x > 0 thì xm = x n .Với các điều kiện xác định thì• aamman = am+n • [ab]n = anbn • [am]n = amn = [an]m• an = am−n a n an • = bn b nnTính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: x ak = xak. k=0 k=0Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển:1 [2x − 3 y]17 chứa x8 y9. 2 1 40 x + x2 chứa x31.Lời giải:................................................................................................................................................................................................ 77 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh................................................................................................................................................................................................Ví dụ 2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển: 1 n x3 + x5 biết Cnn++41 − Cnn+3 = 7[n + 3].Lời giải:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Dạng 2. Chứng minh hoặc tính tổngTừ công thức nhị thức Newton: [a + b]n = C0nan + C1nan−1b + C2nan−2b2 + · · · + Cnn−1abn−1 + CnnbnTa chọn a, b phù hợp với giả thiết.Ta cũng có các hệ quả sau: • Với a = b = 1 ta có C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = 2n. • Với a = 1, b = −1 ta có C0n − C1n + C2n + · · · + [−1]nCnn = 0. Ví dụ 1. Tính tông 1 S = C50 + 2C51 + 22C52 + . . . .. + 25C55. 2 S = C1000 + C1200 + C1400 + . . . .. + C110000◦ .Lời giải:................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................B TỰ LUẬN Câu 1. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển 78 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh1 [2x − 3 y]17 chứa x8 y9. 6 x3 − x y 15 chứa x25 y10.2 3x − x2 12 chứa x15. 7 [x + y]25 chứa x12 y133 x2 − 2 10 chứa x11. 8 [x − 3]9 chứa x4 x , ∀x = 0 9 [1 − 3x]11 chứa x64 3 x−2 + x 7 chứa x2. 10 x2 − 2x 10 chứa x165 [2x + y]13 chứa x6 y7 11 1 40 chứa x31. x + x2 , ∀x = 0Câu 2. Tìm số hạng không chứa x [độc lập với x] trong khai triển của nhị thức1 2x2 − 3 9 8 1 + x2 10 với x=0 x x3 với x = 0. ,2 x y2 − 1 8 2 12 xy 9 x + x3 , với x = 0 với x y = 0. 1 4 17 2 5 3 x2 + x23 x3 với x > 0. 10 x3 − , với x = 0 1 12 11 2 x + 3 20 , với x > 04 x + , với x = 0 3x x 1 125 x3 − 1 5 12 + x , với x > 0 x2 , với x = 0 x 1 10 1 186 2x − , với x = 0 13 2x + 5 x , với x > 0 x x 3 12 14 3 x+ 1 77 + , với x = 0 4x , với x > 0 3xCâu 3. n1 Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển x3 − 1 ,x = 0 biết C4n = 13C2n. x2 n2 Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển x3 + 1 x2 ,x = 0, biết C0n + C1n + C2n = 11.3 Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển x2 + 2 n, biết A3n − 8C2n + C1n = 49.4 Biết tổng các hệ số trong khai triển [1 + x2]n là 1024. Tìm hệ số của x12.5 Tìm hệ số của x6 trong khai triển 1 + x3 n với n là số nguyên dương và biết rằng tổng x các hệ số trong khai triển bằng 1024. 79 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn ThịnhCâu 4. n1 Tìm hệ số của x4 trong khai triển 2 − x3 , ∀x = 0, biết Cnn−−64 + n · A2n = 454. x n2 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 3 x+ 1 n−5 4x ,x > 0, biết C3n = 5C1n.3 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3 n x + x3 , với n ∈ N∗, x = 0, biết A2n+1 + C2n+1 =4 18P3. 2x3 − 3 n Tìm hệ số của x10 trong khai triển x2 , ∀x = 0, biết 3C2n + 2A2n = 3n2 + 15.Câu 5. Chứng minh1 C02n + C12n + C22n + C32n + · · · + C22nn−1 + C22nn = 4n.2 C0n · 3n − C1n · 3n−1 + · · · + [−1]nCnn = C0n + C1n + · · · + Cnn.Câu 6. Tính các tổng sau1 S = C05 + C15 + C52 + · · · + C55.2 S = 2C12010 + 23C32010 + 25C52010 + · · · + 22009C22000109. 80 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh D. 31.C TRẮC NGHIỆMCâu 1. Giá trị của tổng A = C71 + C72 + ... + C77 bằngA. 255. B. 63. C. 127.Câu 2. Hệ số của x7 trong khai triển của [3 − x]9làA. C97. B. −C97. C. 9C97. D. −9C97.Câu 3. Hệ số chứa x6 trong khai triển [2 − 3x]10làA. C160.24.36. B. −C160.24.36. C. C160. D. C160.24.[−3x]6.Câu 4. Hệ số chứa x5 trong khai triển [2x + 3]8 làA. C85.25.33. B. C85.[2x]5.33. C. C83.25.33. D. −C85.25.33.Câu 5. Hệ số chứa x4 trong khai triển x2 + 2 10 làA. C180. x2 2.28. B. C160.x4.26. C. C180.x2.28. D. C180.28. 81 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn ThịnhCâu 6. Hệ số chứa x7 trong khai triển 1 13 x − là xA. C133.x10. 1 . B. −C133. x10 . 1 . C. C133. D. −C133. x3 x3 19Câu 7. Số hạng thứ 3 trong khai triển x + là 2xA. C93. x6 . 1 . B. C93.x6 . 1 . C. C92.x6. 1 . D. C92 .x7. 1 . [2x]3 2x3 x3 [2x]2Câu 8. Số hạng không chứa x trong khai triển x2 + 2 6 x làA. C62. x4 . 1 . B. C62.x4 . 16 . C. C62. D. C64 .x4. 1 . x4 x4 x4 1 10Câu 9. Số hạng không chứa x trong khai triển x − là xA. 252. B. −252. C. 525. D. −525. 82 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh D. 22C63.Câu 10. Hệ số của x3.y3 trong khai triển biểu thức [2x − y]6 làA. 23C63. B. −22C63. C. −23C63.Câu 11. Hệ số của x7 trong khai triển biểu thức [x + 2]9 làA. 4.C97. B. −4.C92. C. C97. D. −C92.Câu 12. Biết hệ số của x2 trong khai triển biểu thức [1 + 4x]n là 3040. Số nguyên n bằngbao nhiêu?A. 28. B. 24. C. 26. D. 20.Câu 13. Biết 2A2n + A3n = 100. Hệ số của x5trong khai triển biểu thức [1 + 2x]2n làA. −25C150. B. −2C150. C. 2C150. D. 25C150.Câu 14. Số hạng không chứa x trong khai triển x3 − 1 8 là xA. −70. B. −28. C. 28. D. 70. 83 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn ThịnhCâu 15. Hệ số của x5 trong khai triển [1 − x]12 là?A. 792. B. 792. C. 924. D. 495.Câu 16. Trong khai triển[a + b]n, số hạng tổng quát của khai triển làA. C k an−k bn−k . B. Cnk an−k bk. C. C k+1 ak+1 bn−k+1. D. Cnk+1an−k+1bk+1. n nCâu 17. Hệ số x2 trong khai triển [1 − 2x]10 làA. 45. B. 120. C. 180. D. −180.Câu 18. Hệ số của x31 trong khai triển 1 40 x + x2 làA. 1000. B. 9880. C. 9870. D. 9680.Câu 19. Số hạng thứ tư của khai triển [x − a]5 làA. −10. B. −10x4a. C. −10x3a2. D. −10x2a3. Sưu tầm và biên soạn 843. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh 18Câu 20. Số hạng đứng giữa của khai triển x − là xA. 70x. B. −70x. C. 70. D. −70.Câu 21. Tìm hệ số của x10 trong khai triển biểu thức x3 + 1 10 xA. 252. B. 252x10. C. 225. D. 522.Câu 22. Tổng các hệ số trong khai triển [y − 3]5 bằngA. −16 . B. 32. C. −32. D. 16.Câu 23. Giải phương trình 3.C3x + A2x+1 = 1040.A. x = 12. B. x = 11. C. x = 13. D. x = 14. 85 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh 1 18 6x3Câu 24. Tìm số hạng chứa x16 trong khai triển nhị thức sau f [x[= 3x2 +A. C148.34.6−4.x16. B. C148.314.6−4. C. C148.314.64. D. C148.310.2−4.x16. 1 10Câu 25. Số hạng không chứa x trong khai triển x − là xA. C140. B. C150. C. −C150. D. −C140.Câu 26. Số hạng không chứa x trong khai triển x3 + 1 8 x là:A. 28. B. 10. C. 70. D. 56. 1nCâu 27. Cho khai triển x + . Tìm n, biết hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. 3A. n = 8. B. n = 12. C. n = 10. D. n = 6.Câu 28. Hệ số của x5 trong khai triển [1 − x]11 làA. 462. B. −462. C. 264. D. −264. Sưu tầm và biên soạn 863. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn ThịnhCâu 29. Tìm hệ số của x3trong khai triển: 1 9 2x + x2 làA. 3671. B. 6330. C. 4600. D. 4608.Câu 30. Hệ số lớn nhất của khai triển: [3x − 5]20 làA. C210238[−5]11. B. C2102310[−5]12. C. C210139[−5]11. D. C210238[−5]12.Câu 31. Tính tổng các hệ số của khai triển: [5 − 4x]20A. 1. B. 46. C. 63. D. 36.Câu 32. Tìm hệ số độc lập với x trong khai triển: x2 + 3 15 xA. C1150310. B. C19539. C. C1152310. D. C1151311.Câu 33. Tổng S = C5025 + C5124 + C5223 + C5322 + C5421 + C55 Sưu tầm và biên soạn 873. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh D. 362.A. 243. B. 461. C. 631.Câu 34. Hệ số của x4 trong khai triển [2x − 3]6 làA. 2160. B. 9240. C. 480. D. 2160.Câu 35. Cho biểu thức A = [3 − x]6. Khai triển của biểu thức A làA. A = C60x6 − C61x5.3 + C62x4.32 − C63x3.33 + C64x2.34 − C65x.35 − C6636.B. A = C60x6 − C61x5.3 + C63x3.33 − C64x2.34 + C64x2.34 − C65x.35 + C6636.C. A = C60x6 − C61x5.3 + C63x3.33 − C64x2.34 + C64x4.34 − C65x.35 + C6636.D. A = C60x6 − C61x5.3 + C62x4.32 − C63x3.33 + C64x2.34 − C65x.35 + C6636.Câu 36. Cho biểu thức A = [4 − x]6. Khai triển của biểu thức A làA. A = C60x6 − C61x5.4 + C62x4.42 − C63x2.43 + C64x2.44 − C65x.45 + C6646.B. A = C66x6 − C65x5.4 + C64x4.42 − C63x3.43 + C62x2.44 − C61x.45 + C6046.C. A = −C6046 + C61x.45 − C62x2.44 + C63x3.43 − C64x4.42 + C65x5.4 − C66x6.D. A = C6046 + C61x.45 + C62x2.44 + C63x3.43 + C64x4.42 + C65x5.4 + C66x6. Câu 37. Cho biểu thức P = 2 12là. x − . Số hạng tổng quát trong khai triển biểu thức trên 3x 88 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn Thịnh 55 k 55 6− k 6− 6+ k.[−1]k 6− kA. C1k2 .2k 6 .[−1]k . B. C1k2.2k 6 . C. C1k2 .2k 6 . D. −C1k2.2k 6 . x x x xCâu 38. Cho biểu thức P = [x + 2]15. số hạng chứa x10 làA. x10C1150. B. 32x10C155. C. −x10C1150. D. x10C155.Câu 39. Cho biểu thức P = [x + 2]18. Hệ số của số hạng thứ 19 làA. 219. B. 216. C. 217. D. 218.Câu 40. Khai triển [2x + 1]n = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + ... + an; [n ∈ N∗]. Biết tổng các hệ số là2187. Khi đó a0 + 2a1 + a2 làA. 1696x2. B. −1696. C. 1696. D. 1248.Câu 41. Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển [1 + x]9 +[1 + x]10 +[1 + x]11 +[1 + x]12 +[1 + x]14.A. 8008. B. 8000. C. 3003. D. 3000. 89 Sưu tầm và biên soạn3. NHỊ THỨC NEWTON GV: Doãn ThịnhCâu 42. Tính tổng của biểu thức S = 210 + C110.29.5 + C120.28.52 + C130.2753 + . . . + C190.2.59 + 510A. 710. B. −310. C. 310. D. −710.Câu 43. Tính tổng của biểu thức S = 210 − C110.29.5 + C120.28.52 − C130.2753 + . . . + C180.22.58 − C190.2.59 + 510A. 2310. B. −310. C. 310. D. −2310.Câu 44. Tổng S = C20016 + C21016 + ... + C22001166 có kết quả bằngA. 22014. B. 22015. C. 22017. D. 22016.Câu 45. Tổng của biểu thức S = C100.210 + C110.29 + C120.28 + . . . + C170.23 + C180.22 + C190.2 làA. 310 − 1. B. 210 − 1. C. 310 + 1. D. 310. 90 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn Thịnh BÀI . BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 PHÉP THỬ Định nghĩa 1. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của phép thử đó mặc dù biết tập tất cả các kết quả của phép thử đó. Ví dụ 1. Phép thử “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất”. Tìm không gian mẫu của phép thử.Lời giải:Không gian mẫu của phép thử là Ω = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2. Xét phép thử “Gieo hai đồng xu phân biệt”. Nếu ký hiệu S là mặt sấp, N là mặt ngửa. Tìm không gian mẫu của phép thử.Lời giải:Không gian mẫu của phép thử là Ω = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 3. Xét phép thử T “Gieo 3 đồng xu phân biệt”. Tính số phần tử của không gian mẫu.Lời giải:Không gian mẫu của phép thử là Ω = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 BIẾN CỐ Định nghĩa 2. Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Ví dụ 4. Xét phép thử T “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất”. Gọi A là biến cố “Số chấm trên mặt xuất hiện là số chấm chẵn”. Liệt kê tất cả các kết quả thuận lợi của biến cố A.Lời giải:Biến cố A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.! Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi của A. Biến cố A có ngoài cách cho bằng mô tả, có thể cho A dưới dạng liệt kê tất cả các kết quả thuận lợi của A. 91 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn Thịnh3 XÁC SUẤTĐịnh nghĩa 3. Xét phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn kết quả đồngkhả năng. Biến cố A liên quan đến phép thử, A ⊂ Ω. Xác suất của biến cố A là P[A] n[A] = . n[Ω] Với mọi biến cố A của phép thử có không gian mẫu là Ω. Ta luôn có 0 ≤ P[A] ≤ 1.! P[A] = 1 − P A , trong đó A là biến cố đối của biến cố A. Với A,B là hai biến cố ta có n[A ∪ B] = n[A] + n[B] − n[A ∩ B]. Ví dụ 5. Xét phép thử T: “Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất”. Tậpcác kết quả là tập hợp gồm tất cả các cặp số cho bởi bảng sau Số 1 2 3 4 5 6 chấm [1; 6] 1 [1; 1] [1; 2] [1; 3] [1; 4] [1; 5] [2; 6] [3; 6] 2 [2; 1] [2; 2] [2; 3] [2; 4] [2; 5] [4; 6] [5; 6] 3 [3; 1] [3; 2] [3; 3] [3; 4] [3; 5] [6; 6] 4 [4; 1] [4; 2] [4; 3] [4; 4] [4; 5] 5 [5; 1] [5; 2] [5; 3] [5; 4] [5; 5] 6 [6; 1] [6; 2] [6; 3] [6; 4] [6; 5]Không gian mẫu của phép thử là Ω = {[i; j]|i, j = 1; 6}.Số phần tử của không gian mẫu là 36.Biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trên mặt bằng 7”.Ta có A = {[1; 6]; [2; 5]; [3; 4]; [4; 3]; [5; 2]; [6; 1]} ⇒ n[A] = 6. n[A] 1Xác suất của biến cố A là P[A] = = . n[Ω] 64 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Định nghĩa 4. hợp của hai biến cố Cho hai biến cố A và B. Biến cố "A hoặc B xảy ra, kí hiệu là A ∪ B được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Khi đó ΩA ∪ ΩB ⊂ Ω. ΩA ΩB 92 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn Thịnh Ví dụ 6. Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh lớp 11 của trường. Gọi A là biến cố: "Bạnđó là học sinh giỏi toán" và B là biến cố: "Bạn đó là học sinh giỏi Lý". Khi đó A ∪B là biếncố: "Bạn đó là học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Lý".Định nghĩa 5. Biến cố xung khắcCho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảyra thì biến cố kia không xảy ra. Khi đó ΩA ∩ ΩB = ∅. ΩA ΩB Ví dụ 7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 11 của trường. Gọi A là biến cố: "Bạn đólà học sinh lớp 11C1" và B là biến cố: “Bạn đó là học sinh lớp 11C2”. Khi đó A và B là haibiến cố xung khắc.Định nghĩa 6. Biến cố đốiCho A là một biến cố. Khi đó biến cố "không A", kí hiệu là A, đươc gọi là biến cố đốicủa A. Ta nói A và A là hai biến cố đối của nhau.Khi đó ΩA = Ω \ ΩA ⇒ P[A] = 1 − P[A]. Ω A ACâu hỏi 1: Hai biến cố đối nhau có phải là hai biến cố xung khắc?Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Câu hỏi 2: Hai biến cố xung khắc có phảilà hai biến cố đối?Hai biến cố xung khắc không phải là hai biến cố đối. 2Ví dụ 8. Một xạ thủ bắn vào bia một viên đạn với xác suất . Khi đó xác suất bắn 7trượt là bao nhiêu? 2Gọi A là biến cố: "Một xạ thủ bắn vào bia một viên đạn" thì P[A] = . Khi đó xác suất 7 25bắn trượt là P[ A ] = 1 − P[ A ] = 1− = . 7 7 Ví dụ 9. Từ một hộp có 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên cùng mộtlúc ra 4 quả. Tính xác suất sao cho:a] Bốn quả lấy ra cùng màu.b] Bốn quả lấy ra có đủ hai màu.Số phần tử của không gian mẫu là: n[Ω] = C410 = 210. a] Gọi A là biến cố: "Bốn quả lấy ra cùng màu". Có hai trường hợp: Bốn quả lấy ra cùng màu trắng, có C64 = 15 cách chọn. Bốn quả lấy ra cùng màu xanh, có C44 = 1 cách chọn. 93 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn ThịnhTheo quy tắc cộng thì n[A] = 15 + 1 = 16 cách chọn.Vậy xác suất của là n[A] 16 8 A P[ A ] = = = . n[Ω] 210 105b] Gọi B là biến cố: "Bốn quả lấy ra có đủ hai màu" thì B = A. 8 97 Suy ra P[B] = P[A] = 1 − P[A] = 1 − = . 105 105Định nghĩa 7. Biến cố giaoCho hai biến cố A và B. Biến cố “A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là A ∩B [hay AB] gọi là giaocủa hai biến cố A và B. ΩA ΩA ∩ ΩB ΩB Ví dụ 10. Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 11 của trường. Gọi A là biến cố: "Bạn đólà học sinh giỏi Toán" và gọi B là biến cố: "Bạn đó là học sinh giỏi Lý".Khi đó: A ∩ B là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi Toán và giỏi Lý”Định nghĩa 8. Biến cố độc lập Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia. Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B, A và B, A và B cũng là độc lập Ví dụ 11. Gieo một đồng xu liên tiếp 2 lần. Gọi A là biến cố: "Lần gieo thứ nhất xuấthiện mặt sấp" và gọi B là biến cố: "Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt ngửa". Khi đó A và Blà 2 biến cố độc lập.Định nghĩa 9. Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì ta luôn có: P[AB] = P[A] · P[B]. Cho n biến cố A1,A2,A3 . . . ,An độc lập với nhau từng đôi một. Khi đó: nn P[A1 A2 A3 · · · An] = P[A1] · P[A2] · P[A3] · · · P[An] hay P Ai = P [Ai] i=1 i=1 Ví dụ 12. Một cầu thủ sút bóng vào cầu môn hai lần. Biết rằng xác suất sút vào cầu 3môn là . Tính xác suất để cầu thủ đó sút hai lần bóng đều vào được cầu môn. Gọi A là 8 3biến cố: “Cầu thủ sút bóng vào cầu môn lần thứ nhất” thì P[A] = . 8 3Gọi B là biến cố: “Cầu thủ sút bóng vào cầu môn lần thứ hai” thì P[B] = . 8Suy ra AB là biến cố: “Cầu thủ sút hai lần bóng đều vào được cầu môn”. 33 9Vì A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của AB là P[AB] = P[A] · P[B] = · = . 8 8 64 Ví dụ 13. Có hai xạ thủ bắn bia. Xác suất xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia là 0,8. Xácsuất xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,7. Tính xác suất để: 1 Cả hai xạ thủ đều bắn trúng. 94 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn Thịnh 2 Cả hai xạ thủ đều không bắn trúng bia. 3 Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia.Gọi A là biến cố: “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng” và B là biến cố: “Xạ thủ thứ hai bắn trúng”thì P[A] = 0,8 và P[B] = 0,7. Ta có A và B là hai biến cố độc lập. 1 Biến cố: “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng” là AB nên P[AB] = P[A]·P[B] = 0,8·0,7 = 0,56. 2 Biến cố: “Cả hai xạ thủ đều không bắn trúng bia” là AB. Do A và B là độc lập nên A và B cũng độc lập. Suy ra P[AB] = P[A] · P[B] = 0,2 · 0,3 = 0,06. 3 Biến cố: “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia” là A ∪ B. P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[AB] = 0,8 + 0,7 − 0,56 = 0,94. B TỰ LUẬN Câu 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biếncố 1 A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện”. 2 B: “Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 3”. 3 C: “Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2”. Câu 2. Từ một hộp chứa 4 quả cầu trắng, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiênmột quả cầu từ hộp. Tính xác suất để 1 lấy được quả màu trắng. 2 lấy được quả cầu xanh. Câu 3. Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X .Ban quản lí chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ởquầy C. Mỗi mẫu thịt này có khối lượng như nhau và để trong một hộp kín có kích thước giốnghệt nhau. Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn cóchứa chất tạo nạc [Clenbuterol] hay không. Tính xác suất để cả 3 hộp lấy ra có đủ cả ba loạithịt ở các quầy A,B,C. 95 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn Thịnh Câu 4. Trong một chiếc hộp có chứa 10 quả cầu có kích thước như nhau, được đánh số từ 1đến 10. Lấy ngẫu nhiên ra 3 quả cầu trong hộp đó. Tính xác suất để số ghi trên 3 quả cầu lấyđược là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Câu 5. Trong một chiếc hộp 6 viên bi đỏ, 5 viên bi vàng và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiêntrong hộp ra 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên lấy ra không đủ cả ba màu. Câu 6. Một bình đựng 6 viên bi không giống nhau, trong đó có 2 xanh, 2 vàng và 2 đỏ. Lấyngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được 1 2 viên bi xanh. 2 2 viên bi khác màu. Câu 7. Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cấu đỏ, 2 quả cầu đen, các quả cầu khácnhau. Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đỏvà 1 quả cầu đen. Câu 8. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh. Lấy ngẫunhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất trong 2 trường hợp 96 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn Thịnh 1 Lấy được 3 viên bi màu đỏ. 2 Lấy được ít nhất 2 viên bi màu đỏ. Câu 9. Một hộp chứa các quả cầu kích thước khác nhau gồm 3 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanhvà 9 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để hai quả cầu được chọn làkhác màu. Câu 10. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên3 viên bi. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ. Câu 11. Một hộp đựng 20 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ và 5 viên bivàng. Lấy ngẫu nhiên 9 viên bi. Tính xác suất trong các trường hợp 1 9 viên bi lấy được có đúng 2 màu. 2 9 viên bi lấy được có đủ 3 màu. Câu 12. Từ một hộp chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên 2 viênbi. Tính xác suất các biến cố 1 A: “hai viên bi được lấy cùng màu xanh”. 2 B: “hai viên bi được lấy cùng màu đỏ ”. 3 C: “hai viên bi được lấy cùng màu”. 4 D: “hai viên bi được lấy khác màu”. 97 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn Thịnh Câu 13. Từ một hộp 13 bóng đèn, trong đó có 6 bóng hỏng, lấy ngẫu nhiên 5 bóng ra khỏihộp. Tính xác suất sao cho 1 Có nhiều nhất hai bóng hỏng. 2 Có ít nhất một bóng không hỏng. Câu 14. Trong một hộp có 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộptrên. Tính xác suất để 4 viên bi được lấy có cả bi xanh và bi đỏ. Câu 15. Trong chiếc hộp có 6 bi đỏ, 5 bi vàng và 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 4viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra không đủ cả 3 màu. Câu 16. Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từhộp ra 4 viên bi. Tính xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ cả 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất. 98 Sưu tầm và biên soạn4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ GV: Doãn Thịnh Câu 17. Một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 5 viênbi từ hộp. Tính xác suất để trong 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh bằng số bi đỏ. Câu 18. Trên giá sách có 5 quyển sách toán học, 4 quyển Vật lý và 3 quyển Hóa học. Lấyngẫu nhiên 4 quyển. Tính xác suất sao cho:a] ít nhất 1 quyển Toán học.b] có đúng 2 quyển Vật lý. Câu 19. Trên một kệ sách có 12 quyển sách khác nhau, gồm 4 quyển tiểu thuyết, 6 quyểntruyện tranh và 2 quyển truyện cổ tích. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển từ kệ sách. Tính xác suất saocho sao cho 3 quyển được lấy:a] đôi một khác loại.b] đúng 2 quyển cùng một loại. Câu 20. Một ngân hàng đề thi gồm có 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm có 4 câu được lấy ngẫunhiên từ ngân hàng đề thi. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xácsuất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được một đề thi có ít nhất 2 câu đã học thuộc.
99 Sưu tầm và biên soạn