Tìm m de phương trình mũ có nghiệm dương

Không ít các bạn học sinh THPT bày tỏ rằng mình thường hay gặp khó khăn với các dạng toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm. Hãy cùng Vuihoc điểm nhanh lý thuyết cũng như một số cách giải dạng toán “khó nhằn” này nhé!

Trước khi tìm hiểu lý thuyết và bài tập tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, các em tham khảo bảng tổng quan kiến thức dưới đây để khái quát về dạng toán này nhé!

1. Ôn tập lý thuyết về bất phương trình mũ

1.1. Công thức bất phương trình mũ cơ bản

Trước khi vào chi tiết bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, ta cần hiểu lý thuyết cơ bản về bất phương trình mũ.

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x}>b$ (hoặc $a^{x} 0, a ≠1 Ta xét bất phương trình có dạng $a^{x}>b$.

• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$, vì $a^{x}>b$, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.

• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^{x}>b$.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x>log_{a}b$

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là $x

1.2. Công thức khái quát cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Để giải bài tập tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, các em cần nắm vững công thức tổng quát về phương pháp này:

Bài toán: Tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm trên D: 

  ?

Bước 1: Cô lập tham số m và đưa về dạng $A(m)>f(x)$ hoặc $A(m)\geq f(x)$ hoặc $A(m)\leq f(x)$ hoặc $A(m)< f(x)$

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên D.

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m.

Lưu ý: Nếu hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì:

• Bất phương trình $A(m)\leq f(x)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow A(m)\leq \max_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\leq f(x)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow A(m)\leq \min_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\geq f(x)$ có nghiệm trên $D\Leftrightarrow A(m)\geq \min_{D}f(x)$
• Bất phương trình $A(m)\geq f(x)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow A(m)\geq \max_{D}f(x)$

Để hiểu hơn về cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, chúng ta cùng đi chi tiết vào các dạng bài sau đây nhé!

2. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số để hạ mũ và biện luận

Với a>1: $a^{f(x)}>b^{f(x)}>log_ab$

Với 0b^{f(x)}

Cùng theo dõi ví dụ sau để hiểu hơn về phương pháp đưa về cùng cơ số để tìm m để bất phương trình có nghiệm:

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $(\frac{2}{e})^{x^2+2mx+1}\leq (\frac{2}{e})^{2x-3m}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?

2.2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm bằng cách đặt ẩn phụ

Đặt ẩn phụ là cách tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm hiệu quả với những bất phương trình khó, phức tạp. Mục đích của đặt ẩn phụ là đưa những bất phương trình phức tạp trở về dạng cơ bản như bất phương trình bậc hai để dễ dàng hơn trong việc xử lý bài toán. Cụ thể hơn, chúng ta cùng xem xét ví dụ sau để hiểu rõ hơn về phương pháp giải này:

2.3. Phương pháp đánh giá trong bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Trước khi áp dụng phương pháp đánh giá vào bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, ta cần nắm chắc kiến thức về tính đơn điệu của hàm số:

Theo định nghĩa: 

Một hàm số (C): y = f(x) có tập xác định là M. Nếu:

• Hàm số (C) gọi là đồng biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M

• Hàm số (C) gọi là nghịch biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M

Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f liên tục và có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó hàm số f:

• Đồng biến trên $I\Leftrightarrow f'(x)\geq 0,\forall x\in I$
• Nghịch biến trên $I\Leftrightarrow f'(x)\leq 0,\forall x\in I$

Cụ thể hơn, chúng ta cùng xét ví dụ sau đây:

3. Bài tập áp dụng

Để hiểu sâu hơn và nắm vững lý thuyết, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu đầy đủ các dạng toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm dễ gặp nhất trong chương trình học và các đề thi. Tải về ngay nhé!

Tải xuống bộ tài liệu toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm

Các em đã cùng Vuihoc điểm lại lý thuyết cùng những phương pháp giải bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em sẽ dễ dàng xử lý các bài toán bất phương trình mũ có tham số.

Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn – Phương trình mũ chứa tham số 

 Bước 1 : Chúng ta tiến hành cô lập tham số m, nghĩa là chúng ta biến đổi phương trình về dạng phương trình h(m) = g(x), trong đó h(m) là biểu thức chỉ có tham số m và g(x) là biểu thức chỉ có biến x.

 Bước 2 : Lập bảng biến thiến hàm g.

 Bước 3 : Biện luận số nghiệm phương trình và kết luận.

 Bước 1 : Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai  \[a{t^2} + bt + c = 0{\rm{ (2)}}\].

 Bước 2 : Dựa vào định lý so sánh nghiệm với một số (định lý Viet)

B1: Biến đổi phương trình sao cho nhìn ra được cách đặt

B2: Đặt ẩn phụ, tìm tập giá trị của ẩn phụ

B3: Giả bài toán với ẩn phụ mới

Phương trình mũ chứa tham số

Bài 1: Cho phương trình \[\left( {m – 5} \right){.3^x} + \left( {2m – 2} \right){.2^x}.\sqrt {{3^x}} + \left( {1 – m} \right){4^x} = 0\] , tập hợp tất cả các giá trị của tham số  m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là khoảng (a;b) . Tính S= a+b.

Ta có \[\begin{array}{l} \left( {m – 5} \right){.3^x} + \left( {2m – 2} \right){.2^x}.\sqrt {{3^x}} + \left( {1 – m} \right){4^x} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m – 5} \right){\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + \left( {2m – 2} \right){\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x} + 1 – m = 0

\end{array}\]            (1)

Đặt \[t = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\], điều kiện \[\left( {t > 0} \right)\]

Khi đó phương trình trở thành:  \[\left( {m – 5} \right){t^2} + \left( {2m – 2} \right)t + 1 – m = 0\]   (2)

Do đó để phương trình  (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình  (2) có hai nghiệm dương phân biệt 

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta ‘ > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 5\\ 2\left( {{m^2} – 4m + 3} \right) > 0\\ \frac{{2 – 2m}}{{m – 5}} > 0\\ \frac{{1 – m}}{{m – 5}} > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 5\\ \left[ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 1 \end{array} \right.\\ 1 < m < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 5 \Leftrightarrow m \in \left( {3\,;\,5} \right)

\end{array}\]

Vậy a = 3; b = 5 nên S = 8.

Bài 2: Cho phương trình \[{9^x} – 2\left( {2m + 1} \right){3^x} + 3\left( {4m – 1} \right) = 0\] có hai nghiệm thực \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \[\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12\] Giá trị của m thuộc khoảng?

A. \[\left( {9;\, + \infty } \right)\]             B. \[\left( {9;\, + \infty } \right)\]

C. \[\left( { – 2;\,0} \right)\]                    D. \[\left( {1;\,3} \right)\]

Đặt \[t = {3^x}\] , \[t > 0\] Phương trình đã cho trở thành:  \[{t^2} – 2\left( {2m + 1} \right)t + 3\left( {4m – 1} \right) = 0\] (1)

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực \[{x_1},\,\,{x_2}\] khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ > 0\\ S > 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} – 8m + 4 > 0\\ 2\left( {2m + 1} \right) > 0\\ 3\left( {4m – 1} \right) > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m > – \frac{1}{2}\\ m > \frac{1}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m > \frac{1}{4} \end{array} \right.

\end{array}\]

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là \[t = 4m – 1\] và \[t = 3\]

Với \[t = 4m – 1\] thì  \[{3^{{x_1}}} = 4m – 1 \Leftrightarrow {x_1} = {\log _3}\left( {4m – 1} \right)\]

Với \[t = 3\] thì \[{3^{{x_2}}} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = 1\]

\[\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = 12 \Leftrightarrow {x_1} = 2\] 

\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {4m – 1} \right) = 2\]

\[ \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\]  (thỏa điều kiện).

Vậy \[m = \frac{5}{2}\] là giá trị cần tìm nên m thuộc khoảng \[\left( {1;\,3} \right)\].

Like share và ủng hộ chúng mình nhé: