Câu hỏi: Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn?
Trả lời:
– Cách 1:Chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm O thì các điểm này cùng nằm trên đường tròn tâm O.
– Cách 2:Chứng minh các điểm này cùng nhìn một cạnh dưới các góc vuông thì các điểm này cùng nằm trên đường tròn nhận cạnh là đường kính và nhận trung điểm của cạnh là tâm.
Bài tập mẫu:Cho tứ giác ABCD có tổng hai góc C và D là900. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N , P , Q cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.
Giải:
Gọi K là giao điểm của AD và BC
Vì:
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
M, Q là trung điểm của AB và AC⇒ MQ là đường trung bình của tam giác BAC
⇒ MQ // BC [3]
Ta có: AD⊥ BC nên từ [1] và [3] suy ra MN⊥ MQ
Do đó, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.
Ta có: IM = IN = IP = IQ [tính chất giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật]
⇒ 4 điểm M, N, P , Q cách đều điểm I nên bốn điểm này cùng thuộc đường tròn
[I; IM].
Cùng Top lời giải tìm hiểu về Đường tròn, cách định lý liên quan đến đường tròn và các bài tập khác chúng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn nhé!
1. Định nghĩa đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu [O;R], là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.
+ Nếu A nằm trên đường tròn [O;R] thì OA=R
+ Nếu A nằm trong đường tròn [O; R] thì OAR.
2. Định lí về sự xác định một đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Tâm O của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
3. Tính chất đối xứng của đường tròn
a] Tâm đối xứng
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
b] Trục đối xứng
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn
4. Bài tập
Ví dụ 1 :Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải
+ Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Do đó, H, I và O cùng nhìn BC cố định dưới một góc 120o.
Suy ra, H, I và O thuộc cung chứa góc 120odựng trên đoạn BC.
⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120odựng trên đoạn BC.
Ví dụ 2 :Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E [ E nằm giữa A và D]. AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.
a. Chứng minh IF⊥ AB tại J
b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
a. Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB
⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB
Mà BE giao AD tại I
⇒ I là trực tâm của tam giác AFB
⇒ IF là đường cao của tam giác AFB
⇒ IF⊥ AB tại J [đpcm]
b.
P, Q là trung điểm của AB và BF⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF
⇒ PQ // BF
Mà AD BF
⇒ AD⊥ PQ
R, Q là trung điểm IF và BF⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA
Từ [*] và [**] suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.
Ví dụ 3 :Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
ΔBAD có góc A bằng 90oA nằm trên đường tròn đường kính BD.
ΔBED có góc E bằng 90o[E là hình chiếu của D lên BC]⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD.
F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD [tính chất đối xứng của đường tròn].
Vây 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD tâm O là trung điểm của BD.
Ví dụ 4 :"Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét.
Hướng dẫn giải
Gọi vị trí đặt quả bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ.
Gọi H là trung điểm của PQ, ta có:
+ Vẽ cung chứa góc 37o12’ dựng trên đoạn thẳng PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11m.
Tiếp tuyến là một mảng kiến thức quan trọng mà các bạn học sinh sẽ được tiếp xúc trong chương trình Toán lớp 9. Vậy tiếp tuyến là gì? Tính chất và dấu hiệu để nhận biết tiếp tuyến thế nào? Đừng bỏ qua bài viết sau của muahangdambao.com để có thể bổ sung thêm kiến thức cho mình nhé!
Tiếp tuyến là gì?
Theo định nghĩa tiếp tuyến lớp 9 thì đây là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường tròn tại duy nhất một điểm. Đồng thời nó cũng sẽ vuông góc với bán kính của đường tròn tại chính điểm đó.
Khái niệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm chính là một đường thẳng tiếp xúc trực tiếp với đồ thị hàm số tại chính điểm đó. Và công thức để chúng ta có thể xác định được tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm M[x1, x2] sẽ là: y = f’[x1][x-x1] + x2 .
Dựa vào công thức trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của điểm sẽ chính là hệ số góc của đường tiếp tuyến.
Tính chất của đường tiếp tuyến là gì?
Để có thể giải các bài tập có liên quan được chính xác và nhanh chóng hơn thì bạn nên nắm chắc được tính chất của loại đường này. Dưới đây là một số tính chất mà bạn nhất định phải ghi nhớ nhé!
- – Nếu một đường thẳng được xác định là tiếp tuyến của đường tròn thì nó sẽ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm đó.
- – Đường thẳng mà vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì sẽ đi qua tâm.
- – Từ một điểm nằm bên ngoài đường tròn, chúng ta luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn đó.
- – Hai tiếp tuyến của đường tròn sẽ cắt nhau tại 1 điểm bất kỳ và điểm đó sẽ chính là khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.
+ Tia được kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn sẽ được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 đường tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau thì sẽ được gọi là tia phân giác của 2 bán kính và đi qua các tiếp điểm.
- – Nếu 2 tiếp tuyến tại điểm A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA sẽ bù nhau.
Dấu hiệu để nhận biết đường tiếp tuyến là gì?
– Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm nào đó nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
– Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có duy nhất một điểm chung thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
– Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bất kỳ bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó sẽ là tiếp tuyến của đường tròn.
Hướng dẫn cách viết phương trình tiếp tuyến
Sau đây là một số cách viết pt tiếp tuyến mà bạn có thể tham khảo để ứng dụng vào việc giải bài tập
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng Δ nên ta có: y = ax + b => ka = -1 => k = -[1/a].
Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng cho trước với hệ số góc k = -[1/k].
Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng
Tiếp tuyến d song song đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a.
Tóm lại: Phương trình tiếp tuyến d sẽ song song với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a.
Sau khi đã lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ hãy kiểm tra lại tiếp tuyến đó xem có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì ta không nhận kết quả đó.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
Bước 1. Cần tính đạo hàm y’=f[x]. Từ đó có thể suy ra hệ số góc tiếp tuyến k=y’[x0].
Bước 2: Ta có công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C] tại điểm M [x0, y0] có dạng là: y= y’[x0][x – x0] + y0.
Lưu ý:
– Nếu đề bài cho hoành độ tiếp điểm x0 thì cần tìm được y0 bằng cách thay thế x0 vào hàm số y = f[x0].
– Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y0 thì cần đi tìm y0 cũng bằng cách thế y0 vào hàm số y = f[x0].
– Nếu đề bài yêu cầu bạn viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] với đường thẳng d: y = ax + b thì khi đó các hoành độ tiếp điểm x chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm [C] và d. Phương trình hoành độ giao điểm [C] và d sẽ có dạng là f[x] = ax + b.
Đặc biệt: Nếu trục hoành Ox thì sẽ có y = 0 và trục tung Oy thì sẽ có x = 0.
Ngoài ra bạn cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính toán như hướng dẫn sau:
Nhận xét: Việc sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thực chất chỉ là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công mà thôi. Sử dụng máy tính sẽ giúp các bạn tính toán được nhanh hơn và chính xác hơn. Hơn nữa với hình thức thi trắc nghiệm trong dạng đề thi Đại học những năm gần đây thì sử dụng máy tính cầm tay sẽ là phương pháp được nhiều giáo viên hướng dẫn và học sinh lựa chọn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm
- Bước 1: Ta hãy gọi M [x0; f[x0]] là tiếp điểm. Sau đó tính hệ số góc tiếp tuyến k = f’[x0] dựa theo x0.
- Bước 2. Phương trình tiếp tuyến sẽ có dạng d: y = f’[x0][x – x0] + f[x0].
Vì điểm A [xA; yA] thuộc d nên yA=f’[x0][xA – x0] + f[x0]. Giải phương trình trên ta sẽ tìm được x0.
- Bước 3. Thay x0 vừa tìm được vào phương trình ở bước 2 ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Xem thêm: Cát tuyến là gì? Tính chất và cách vẽ cát tuyến như thế nào?
Các dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0[x0;y0] ∈ [C]
Cách giải:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc
Áp dụng phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k[x – x0] + y0 [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0
Cách giải:
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.
Áp dụng phương trình [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0
Cách giải:
-Giải phương trình y0 = f[x0] để tìm x0.
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
Áp dụng [*] ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Lưu ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì khi thay vào ta có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’[x0] = f’[x0]
Cách giải:
-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’[x0] = f’[x0] để tìm x0
– Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.
Lưu ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Một số dạng bài khác
- -Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này
y’[x0]. a = -1 ⇔ y’[x0] = -1/a
… khi đó bài toán lại quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì điều này
⇔ y’[x0] = a…bài toán lại quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của [C] và đường thẳng đã cho. Khi đó bài toán lại quay về dạng 1.
Chú ý:
Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2 là hệ số góc của đường thẳng d2. Thì:
Bài tập áp dụng:
Một số lưu ý quan trọng về tiếp tuyến của đường tròn
- – Bạn cần nắm vững các tính chất cũng như định lý có liên quan đến tiếp tuyến đường tròn.
- – Ghi chú hoặc tóm tắt lại thành hệ thống các thông tin trong đề để tránh thiếu sót.
- – Đọc kỹ đề bài để có thể nắm rõ các thông tin.
- – Thường xuyên làm thêm các bài tập về nhà để rèn luyện được tư duy nhanh nhạy.
- – Sử dụng máy tính cầm tay khi cần thiết để ra đáp án chính xác.
Bài viết trên đây về tiếp tuyến là gì, tính chất cũng như dấu hiệu của nó chắc hẳn đã giúp các bạn học sinh có thêm kiến thức để áp dụng vào bài tập. Chúc các bạn luôn có điểm số cao trong kỳ thi sắp tới. Và nếu bạn còn thắc mắc nào cần được chúng tôi giải đáp thì đừng ngần ngại để lại bình luận ngay dưới bài viết này nhé!