Phẳng đáy và SA a gọi M thuộc cạnh AB sao cho AM mb 2 khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

Trang chủ

Sách ID

Khóa học miễn phí

Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023

Dạng 1. GócDạng 1.1 Góc của đường thẳng với mặt phẳngCâu 1.[MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tạiC , AC = a , BC = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Góc giữa đường thẳngSB và mặt phẳng đáy bằngA. 60°B. 90°C. 30°Lời giảiD. 45°Chọn CCóSA ⊥ [ ABC ][· , [ ABC ]⇒ SB[ ABC ] .nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng· , AB = SBA·= SB.] []22Mặt khác có ∆ABC vuông tại C nên AB = AC + BC = a 3 .SA1·· , [ ABC ] = 30°tan SBA==SBAB3 nênKhi đó.[Câu 2.][Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáybằngA. 45°B. 60°C. 30°D. 90°Lời giảiChọn A·Do SA ⊥ [ ABCD ] nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc SCA .SA·⇒ tan SCA=·= 45° .AC = 1 ⇒ SCATa có SA = 2a , AC = 2aVậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45° .Trang 1/77 - Mã đề 117Câu 3.[ ABC ] ,[Mã 102 - BGD - 2019] Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳngSA = 2a , tam giác ABC vuông tại B , AB = a và BC = 3a [minh họa như hình vẽ bên].[ ABC ] bằngGóc giữa đường thẳng SC và mặt phẳngA. 30° .B. 60° .C. 45° .D. 90° .Lời giảiChọn C[ ABC ] , suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳngVì SA vuông góc với mặt phẳng[ ABC ]·bằng SCA .SA2a·tan SCA===12ACa + 3a 2Mà.·Vậy SCA = 45° .Câu 4.[Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáybằngA. 45°B. 60°C. 90°D. 30°Lời giảiChọn B·Do SA ⊥ [ ABCD ] nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc SBA .AB 1·cos SBA==·= 60° .SB 2 ⇒ SBATa cóVậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60° .Trang 2/77 - Mã đề 117Câu 5.[Mã 103 - BGD - 2019] Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng[ ABC ] .SA = 2a . Tam giác ABC vuông cân tại B và AB = a [ minh họa như hình vẽ bên].[ ABC ] bằngGóc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng000A. 45 .B. 60 .C. 30 .Lời giảiChọn A0D. 90 .[ ABC ] .Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng[ ABC ] bằng SCA = ϕ .Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng0Ta có AC = a 2, SA = a 2 nên tam giác SAC vuông cân tại A ⇒ ϕ = 45 .·Câu 6.[ ABC ] ,[Mã đề 101 - BGD - 2019] Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳngSA = 2a , tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 và BC = a [minh họa như hình vẽ bên].[ ABC ] bằng:Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng0A. 45 .0B. 30 .0C. 60 .Lời giải0D. 90 .Chọn A[ ABC ] nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng [ ABC ] .Ta có SA ⊥·SC , [ ABC ] ] = [ SC , AC ] = SCADo đó [.222Tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 và BC = a nên AC = AB + BC = 4a = 2a .Trang 3/77 - Mã đề 1170·Do đó tam giác SAC vuông cân tại A nên SCA = 45 .SC , [ ABC ] ] = 450Vậy [.Câu 7.[ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả cáccạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của SD [tham khảo hình vẽ bên]. Tang của góc giữa đường[ ABCD ] bằngthẳng BM và mặt phẳng2A. 23B. 32C. 3Lời giải1D. 3Chọn DSO = a 2 −a2 a 2=22SO ⊥ [ ABCD ]Gọi O là tâm của hình vuông. Ta cóvàGọi M là trung điểm của OD ta có MH / / SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng[ ABCD ]vàMH =1a 2SO =24 .·Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng [ ABCD ] là MBH .a 2MH1·tan MBH== 4 =BH 3a 2 34Khi đó ta có.Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM[ ABCD ]và mặt phẳng1bằng 3Trang 4/77 - Mã đề 117Câu 8.[ ABC ] ,[Mã đề 104 - BGD - 2019] Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳngSA = 2a , tam giác ABC vuông cân tại B và AB = a 2 [minh họa như hình vẽ bên]. Góc giữa[ ABC ] bằngđường thẳng SC và mặt phẳngoA. 30 .oB. 90 .oC. 60 .Lời giảioD. 45 .Chọn DSA ⊥ [ ABC ]Ta cónên đường thẳng AC là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặtphẳngDo đó,[ ABC ] .[] []· , [ ABC ] = SC· , AC = SCA·α = SC[tam giác SAC vuông tại A ].Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = AB 2 = 2a .SA·tan SCA==1oACSuy ranên α = 45 .Câu 9.SA ⊥ [ ABCD ][1H3-3.3-1] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,vàa 63 . Tính góc giữa SC và mặt phẳng [ ABCD ] ?A. 30° .B. 45° .C. 60° .Lời giảiSA =D. 90° .AC = a 2 ,···AC là hình chiếu vuông góc của SC trên [ ABCD ] ⇒ [ SC , [ ABCD ] ] = [ SC ; AC ] = SCATrang 5/77 - Mã đề 117[]SA a 63··∆SAC : tan SCA==: a 2 =⇒ SCA= 30°AC33.Câu 10.[1H3-3.3-2] [THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01] Cho hình chópS . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a vàSA ⊥ [ ABCD ]. BiếtSA =a 63 . Tính gócABCD ]giữa SC và [.A. 30°B. 60°C. 75°D. 45°Lời giảiChọn ATa có AC = a 2Vì AC là hình chiếu của SC lênAC[ ABCD ]ABCD ]nên góc giữa SC và [là góc giữa SC vàa 63·tan SCA= 3 =·3 . Suy ra SCAa 2= 300Xét ∆SAC vuông tại A, ta có:Câu 11.[1H3-3.3-2] [THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hìnhSA ⊥ [ ABCD ]chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và. Biết SA = a 2 .[ ABCD ] .Tính góc giữa SC vàA. 45°B. 30°C. 60°Lời giảiD. 75°Chọn ATrang 6/77 - Mã đề 117Vì·SA ⊥ [ ABCD ] ⇒ [·SC ; [ ABCD ] ] = [·SC ; AC ] = SCA.Ta có AC = AB + BC = a 2.22SA a 2··⇒ tan SAC=== 1 ⇒ SCA= 450.AC a 2Câu 12.[1H3-3.3-2] [SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01] Chohình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . Gọi M là trung điểm của SD[ ABCD ] .Tính tan của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng2A. 2 .3B. 3 .2C. 3 .Lời giải1D. 3 .MH ⊥ [ ABCD ]Trong tam giác SOD dựng MH //SO, H ∈ OD ta có.[ ABCD ] là MBH·Vậy góc tạo bởi BM và mặt phẳng.Ta cóMH =111a 2SO =SD 2 − OD 2 =4a 2 − 2a 2 =2222 .333a 2BD = 2a 2 =442 .MH 1·tan MBH==BH 3 .VậyBH =Trang 7/77 - Mã đề 117Câu 13.[1H3-3.3-2] [CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019] Cho khối chópS . ABC có SA ^ [ ABC ] , tam giác ABC vuông tại B , AC = 2a , BC = a , SB = 2a 3 . Tính[ SBC ] .góc giữa SA và mặt phẳngA. 45°.B. 30° .C. 60° .Lời giảiD. 90° .[ SAB ] kẻ AH ^ SB [ H Î SB ] .Trongìïï SA ^ BCÞ BC ^ [ SAB ] Þ BC ^ AHíïïî AB ^ BCVì.AH ^ [ SBC ][ SBC ] suy raMà SB ^ AH do cách dựng nên, hay H là hình chiếu của A lên[ SBC ] là góc ·ASH hay góc ·ASB .góc giữa SA và22Tam giác ABC vuông ở B Þ AB = AC - BC = a 3AB 1Þ sin ·ASB == Þ ·ASB = 30°SB 2Tam giác SAB vuông ở ACâu 14.[1H3-3.3-2] [CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hìnhchóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Gọiα là góc giữa SD và [ SAC ] . Giá trị sin α bằng2A. 4 .2B. 2 .3C. 2 .Lời giải2D. 3 .Trang 8/77 - Mã đề 117 DO ⊥ AC⇒ DO ⊥ [ ABCD ]DO ⊥ SA [ SA ⊥ [ ABCD ] ]O=AC∩BDGọi. Ta có:.···⇒ SO là hình chiếu của SD lên mặt phẳng [ SAC ] ⇒ [ SD; [ SAC ] ] = [ SD; SO ] = DSO = α .22Xét ∆SAD vuông tại A : SD = 3a + a = 2a .Xét ∆SOD vuông tại O : có SD = 2a ,Câu 15.OD =a 2DO2·⇒ sin α = sin DSO==2SD4 .[1H3-3.3-2] [SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hình chóp tam giácS . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông°góc với đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 , gọi M là trung điểm của BC . Gọiα là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng [ ABC ] . Tính cos α .363cos α =cos α =cos α =10 .3 .3 .A.B.C.Lời giảiD.cos α =110 .SH ⊥ [ ABC ]Gọi H là trung điểm AB dễ thấy.·SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60° suy ra SCH= 60° .CóHC =a 33a·⇒ SH = HC. tan SCH=22 .·Dễ thấy α = SMH ,Câu 16.HM =1aa 10HM1AC = ⇒ SM =⇒ cos α ==222SM10 .[1H3-3.9-3] [THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019] Cho hình chópSABCD có đáy là hình thang vuông tại 1 và B . AB = BC = a, AD = 2a . Biết SA vuông gócvới đáy [ ABCD] và SA = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB, CD . Tính sin góc giữa đườngthẳng MN và mặt phẳng [ SAC ]5A. 555B. 103 5C. 102 5D. 5Lời giảiChọn CTrang 9/77 - Mã đề 117Ta gọi E , F lần lượt là trung điểm của SC= AB .Ta có ME / / NF [ do cùng song song với BC . Nên tứ giác MENF là hình thang, MF / ISA⇒ MF ⊥ [ ABCD ]SA⊥[ABCD]vàhay tứ giác MENF là hình thang vuông tại M , FGọi K = NF ∩ AC , I = EK ∩ M thì I = MN ∩ [ SAC ] NC ⊥ AC⇒ NC ⊥ [ SAC ]Ta có:  NC ⊥ SAhay E là hình chiếu vuông góc của N lên [ SAC ]Từ đó ta có được, góc giữa MN và [ SAC ] là góc giữa MN và CISuy ra, gọi Q là góc giữa MN và [ SAC ] thìsin α =CNIN1a 2 IN KN22a 10NC = CD === 2 ⇒ IN = MN =MF 2 + FN 2 =22 ; M ME333VậyCâu 17.sin α =CN 3 5=IN10 .[1H3-5.2-3] [THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hình[ ∆ ] là đườngchóp tứ giác đều S . ABCD có AB = a , O là trung điểm AC và SO = b . Gọia 14[ ∆ ] chứa trong mặt phẳng [ ABCD ] và khoảng cách từ O đến [ ∆ ] là 6 .thẳng đi qua C ,Giá trị lượng giác2aA. 3 4b − 2a .22cos [ [ SA ] , [ ∆ ] ]bằng2aaB. 3 2a + 4b .22aC. 3 2a + 4b .Lời giải222D. 3 4b − 2a .2Trang 10/77 - Mã đề 117Gọi[ ∆′] là đường thẳng đi quatrung điểm của AC vàA và song song với [ ∆ ] . Hạ OH ⊥ [ ∆ '] [ H ∈ [ ∆ '] ] . Do O là[ ∆ ] // [ ∆ ']nênd [ O, [ ∆ ' ] ] = d [ O, [ ∆ ] ]hayOH =a 146 .SO ⊥ [ ABCD ]Do S . ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và.Do AH ⊥ OH và AH ⊥ SO nên, suy ra AH ⊥ SH .a 22 .Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a 2 , suy ra222Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông AHO ta có OA = OH + AH , suy raOA =22 a 2   a 14 aAH = OA − OH = −=÷÷÷ ÷ 3 2   6 .22222Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông SAO ta có SA = OA + SO , suy ra2a 22a 2 + 4b 22SA = OA + SO = ÷÷ +b =2 2 .22AH2a·cos [ [ SA ] , [ ∆ ] ] = cos [ [ SA ] , [ ∆′ ] ] = cos SAH==[ ∆ ] // [ ∆ '] nênSA 3 2a 2 + 4b 2 .Do[1H3-3.3-3] [HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019] Cho hình chóp S . ABCD có đáyCâu 18.ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt[ SBC ] bằngphẳng vuông góc với mặt đáy. Cosin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳngA.1343B. 42 5C. 5Lời giải1D. 4Trang 11/77 - Mã đề 117Gọi H , M lần lượt là trung điểm của AB, SB ; O là tâm của hình chữ nhật ABCD .Ta có MO / / SD .Dễ thấyBC ⊥ [ SAB ] ⇒ BC ⊥ AMAM ⊥ [ SBC ], mà SB ⊥ AM nên.Xét tam giác AMO , có:AM =a 32 ;AO =11 2AC =a + 3a 2 = a22;221111 a 3 a22222MO = SD =SH + HD =SH + HA + AD =+  ÷ + 3a 2 = a÷÷2222  2  2.⇒ ∆AMO cân tại Od [ O; AM ]⇒ sin ·AMO ==OM[MO 2 −OMAM 24 =3a 216 = 13a4 .a2 −]· ; [ SBC ] = sin ·AMO = 13⇒ cos SD4Câu 19.[1H3-3.3-3] [SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tamgiác vuông tại C , CH vuông góc với AB tại H , I là trung điểm của đoạn HC . Biết SI·vuông góc với mặt phẳng đáy, ASB = 90° . Gọi O là trung điểm của đoạn AB , O′ là tâm mặt[ ABC ] bằngcầu ngoại tiếp tứ diện SABI . Góc tạo bởi đường thẳng OO′ và mặt phẳngA. 60° .B. 30° .C. 90° .D. 45° .Lời giảiTrang 12/77 - Mã đề 117·Do ASB = 90° nên tâm O′ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI nằm trên đường thẳng d đid ⊥ [ SAB ] [ 1]qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và.[ SCH ] kẻ IK ⊥ SH tại K .Trong mặt phẳngSI ⊥ [ ABC ]Theo giả thiếtsuy ra SI ⊥ AB . Từ SI ⊥ ABAB ⊥ [ SCH ] ⇒ AB ⊥ IKvàAB ⊥ CHsuy ra.IK ⊥ [ SAB ] [ 2 ]Từ IK ⊥ SH và AB ⊥ IK ta có.[ 1] và [ 2 ] ta có IK Pd . Bởi vậy [·OO '; [ ABC ] ] = [·d ; [ ABC ] ] = [·IK ; [ ABC ] ] .Từ[ SCH ] ⊥ [ ABC ] nên IH là hình chiếu vuông góc của IK trên mặt phẳng [ ABC ] . Bởi vậyVì··= HSI[·IK ; [ ABC ] ] = [·IK , IH ] = HIK.ABCO = SO =2 .Do tam giác ABC vuông tại C và SAB vuông tại S nênXét hai tam giác vuông CHO và SHO có CO = SO , cạnh OH chung nên∆CHO = ∆SHO [ c.g.c], bởi vậy CH = SH .CH SHIH 1··IH ==sin HSI== ⇒ HSI= 30°SIH22SH2IXét tam giácvuông tại có, ta có.·OO '; ABC = 30°[]]Vậy [.Câu 20.[1H3-3.3-4] [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hình chóp S . ABCD·có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC = 60° . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặtphẳng[ ABCD ] trùng với trọng tâm của tam giácmặt phẳng[ SCD ] , tính sin ϕABC , gọi ϕ là góc giữa đường thẳng SB vàbiết rằng SB = a .Trang 13/77 - Mã đề 117A.sin ϕ =32 .B.sin ϕ =14.sin ϕ =C.Lời giải12.D.sin ϕ =22 .Cách 1:● Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC . Dựng đường thẳng d qua O và d // SB , d cắt SD[ SCD ] chính là góc giữa OK và [ SCD ] .tại K . Khi đó góc giữa SB và● Vì SO ⊥ [ ABCD] ⇒ SO ⊥ CD .·Ta lại có: ∆ABC đều [ ∆ABC cân tại B và BAC = 60° ].⇒ AB ⊥ CO ⇒ CD ⊥ CO⇒ CD ⊥ [ SCO ] ⇒ [ SCD ] ⊥ [ SCO ] .Gọi H là hình chiếu của O trên SC , khi đó ta có:OH ⊥ SC  ⇒ OH ⊥ [ SCD ]·[ SCD ] là: OKHOH ⊥ CD =ϕ .. Do đó góc giữa SB và mặt phẳngOH·sin ϕ = sin OKH=OK .Ta có:● Tứ diện S . ABC là tứ diện đều cạnh a nên ta tính được:a 3a 6a 2SO =⇒ OH =3 ,33 .OK DO 222OK // SB ⇒== ⇒ OK = SB = aSB DB 333 .VìOC =sin ϕ =Vậy:Cách 2:OH2=OK2 .Trang 14/77 - Mã đề 117d [ B, [ SCD ]]SBTrước hết ta chứng minh được[như hình trên].Gọi O là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó ta có CO ⊥ CD .sin [ SB; [ SCD]] =Dựng OH ⊥ SC suy ra OH ⊥ [ SCD] . Ta tính đượcKhi đód [ B, [ SCD ]] =OC =a 3a 6a 2, SO =⇒ OH =333 .333a 2 a 2d [O, [ SCD ]] = OH ==222 32 .a 22sin [ SB;[ SCD ]] = 2 =a2 .VậyDạng 1.2 Góc của đường thẳng với đường thẳngCâu 21.[ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuônggóc với nhau và OA = OB = OC . Gọi M là trung điểm của BC [ tham khảo hình vẽ bêndưới]. Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng0A. 450B. 900C. 30Lời giải0D. 60Chọn DĐặt OA = a suy ra OB = OC = a và AB = BC = AC = a 2MN =Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và·[·OM , AB ] = [·OM , MN ] . Xét OMNSuy ra gócTrong tam giác OMN cóON = OM = MN =a 22a 22 nên OMN là tam giác đềuTrang 15/77 - Mã đề 1170·[·OM , AB ] = [·OM , MN ] = 600Suy ra OMN = 60 . VậyCâu 22.[1H3-2.4-2] [THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho tứ diệnAC =3··AD, CAB= DAB= 600 , CD = AD2. Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ABABCD vớivà CD . Chọn khẳng định đúng về góc ϕ .3cos ϕ =04A.B. 30C. 600D.cos ϕ =14Lời giảiChọn DTa cóuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuurAB. CD = AB. AD − AC = AB. AD − AB. AC = AB. AD. cos 600 − AB. AC .cos 600[]3−1= AB. AD. cos 600 − AB. AD.cos 600 =AB. AD24uuur uuuruuur uuurAB.CD −11cos AB, CD ==⇒ cosϕ =AB.CD 44[Câu 23.][1H3-2.3-2] [TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019] Chohình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ , biết đáy ABCD là hình vuông. Tính góc giữa A′C và BD.A. 90° .B. 30° .C. 60° .Lời giảiD. 45° .Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC .AA′ ⊥ [ ABCD ] ⇒ BD ⊥ AA′Mặt khác.Trang 16/77 - Mã đề 117 BD ⊥ AC⇒ BD ⊥ [ AA′C ] ⇒ BD ⊥ A′CBD⊥AA'Ta có.Do đó góc giữa A′C và BD bằng 90° .Câu 24.[1H3-2.3-2] [CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho tứ diện ABCD cóAB = CD = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN = a 3 , góc giữa haiđường thẳng AB và CD bằng.0A. 45 .0B. 90 .0Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy raDễ thấy PM = PN = a .·cos MPN=Câu 25.· , PN[ ·AB, CD ] = [ PM].PM 2 + PN 2 − MN 2 a 2 + a 2 − 3a 21==−2 PM .PN2.a.a2Xét ∆PMN ta có·⇒ MPN= 1200 ⇒ ·AB, CD = 1800 − 1200 = 600[0D. 30 .C. 60 .Lời giải].[1H3-5.7-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Chohình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ ; gọi M là trung điểm của B′C ′ . Góc giữa hai đường thẳngAM và BC ′ bằngA. 45° .B. 90° .C. 30° .Lời giảiD. 60° .Trang 17/77 - Mã đề 117Giả sử cạnh của hình lập phương là a > 0 .AM , BC ′ ] = [ AM , MN ]Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB′ . Khi đó, MN //BC ′ nên [.a2 a 5=2242 .Xét tam giác A′B′M vuông tại B′ ta có: A′M = A′B′ + B′M5a 2 3a2=a+=2242 .Xét tam giác AA′M vuông tại A′ ta có: AM = AA′ + A′Ma 5BC ′ a 2AN = A′M =MN ==2 ;22 .CóTrong tam giác AMN ta có:= a2 +9 a 2 2 a 2 5a 2+−444=22216a 24MA + MN − AN3a a 2==. 2=2..4 6a 22.cos ·AMN2.MA.MN2 2·Suy ra AMN = 45° .AM , BC ′ ] = [ AM , MN ] = ·AMN = 45°Vậy [.Dạng 1.3 Góc của mặt với mặtCâu 26.[ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ cóAB = 2 3 và AA′ = 2. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A′B′, A′C ′ và BC [thamkhảo hình vẽ bên]. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng[ AB′C ′]và[ MNP ]bằngTrang 18/77 - Mã đề 11717 13A. 6518 13B. 656 13C. 65Lời giải13D. 65Chọn DGọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và B′C ′;I = BM ∩ AB′, J = CN ∩ AC ′, E = MN ∩ A′Q.[ MNP ] ∩ [ AB′C ′] = [ MNCB ] ∩ [ AB′C ′] = IJ và gọi K = IJ ∩ PE ⇒ K ∈ AQ với E làSuy ra,trung điểm MN [hình vẽ].[ AA′QP ] ⊥ IJ ⇒ AQ ⊥ IJ , PE ⊥ IJ ⇒ [·MNP ] , [ AB′C ′ ] = ·AQ, PE = α] [[Ta cóAP = 3, PQ = 2 ⇒ AQ = 13 ⇒ QK =·cos α = cos QKP=KQ 2 + KP 2 − PQ 22 KQ.KP=]5513; PE = ⇒ PK = .32313.65Cách 2Trang 19/77 - Mã đề 117Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ[] [][] [⇒ P [ 0;0;0 ] , A [ 3;0;0 ] , B 0; 3;0 , C 0; − 3;0 , A′ [ 3;0; 2 ] , B′ 0; 3; 2 , C ′ 0; − 3; 2]3 3  33 M  ;;2÷,N;−;2÷÷ 2÷222 nênurr1  uuur uuuu′, AC ′ = [ 2;0;3]n=AB1[ AB′C ′] là[ MNP ] là2 3Ta có vtpt của mpvà vtpt của mpuurn2 = [ 4; 0; −3]Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng[ AB′C ′ ]ur uur⇒ cosϕ = cos n1 , n2 ==[]8−913 25và mp[ MNP ]1365Cách 3[ AB ' C '] song song với mặt phẳng [ MNQ ]Gọi Q là trung điểm của AA ' , khi đó mặt phẳngnên góc giữa hai mặt phẳng[ AB ' C ']và[ MNP ]cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng[ MNQ ][ MNP ] .vàTa có:[ MNP ] ∩ [ MNQ ] = MN·· PE ⊂ [ MNP ] ; PE ⊥ MN ⇒ [ [ MNP ] ; [ MNQ ] ] = PEQQE ⊂ [ MNQ ] ; QE ⊥ MNhoặc·MNP ; MNQ = 1800 − PEQ·[[] []]Tam giác ABC đều có cạnh 2 3 ⇒ AP = 3 .2222Tam giác APQ vuông tại A nên ta có: PQ = AP + AQ = 3 + 1 = 102133QE = A ' E 2 + A ' Q 2 =  ÷ + 12 =22Tam giác A ' QE vuông tại A ' nên ta có:Trang 20/77 - Mã đề 117253PE = FP 2 + FE 2 = 22 +  ÷ =22Tam giác PEF vuông tại F nên ta có:Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác PQE ta có:25 13+ − 10EP + EQ − PQ1344·cos PEQ ===−2.EP.EQ655 132. .2 2222[]13··cos [·= − cos PEQ=[ MNP ] ; [ AB ' C '] ] = cos 1800 − PEQ65 .Do đó:[Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018] Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D′ có tâm O.Gọi I là tâm của hình vuông A′B′C ′D′ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao choCâu 27.1MI2[tham khảo hình vẽ]. Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng [ MC ′D′] và[ MAB] bằngMO =7 85A. 856 85B. 8517 13C. 65Lời giải6 13D. 65Chọn CKhông mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′[0;0; 0], B′[1;0; 0], D′[0;1;0] và A[0; 0;1] [như hình vẽ].Trang 21/77 - Mã đề 1171 1 1M  ; ; ÷. 2 2 3Khi đó ta có:uuuruuur  1 1 2 uuur uuur 2 1rAB = [1; 0; 0], MA =  ; ; − ÷ ⇒  AB, MA =  0; − ; ÷⇒ n1 = [0; −4;3]3 22 2 3Suy ra:là VTPTcủa mặt phẳng [ MAB ].uuuuruuuur  1 1 1 uuuur uuuur  1 1 rD′C ′ = [1; 0;0], MD′ =  ; − ; ÷ ⇒  D′C ′, MD′ =  0; ; − ÷⇒ n2 = [0; 2; −3] 2 2 3 3 2là VTPT củamặt phẳng [ MC ′D′] .cosin của góc giữa hai mặt phẳng [ MAB] và [ MC ′D′] bằng:r rn1.n20.0 − 4.2 + 3.[ −3]17 13r rcos[ n1 , n2 ] = r r ==.222222n1 . n2650 + [ −4] + 3 . 0 + 2 + [ −3]Câu 28.[Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Gọi Ilà tâm của hình vuông A′B ′C ′D′ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2 MI[tham khảo hình vẽ]. Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng [ MC ′D′] và [ MAB ] bằng7 85A. 8517 13B. 656 13C. 65Lời giải6 85D. 85Chọn AGiao tuyến của [ MAB ] và [ MC ′D′] là đường thẳng KH như hình vẽ.Gọi J là tâm hình vuông ABCD . L, N lần lượt là trung điểm của C ′D′ và AB .Ta có: C ′D′ ⊥ [ LIM ] ⇒ C ′D′ ⊥ LM ⇒ LM ⊥ KH .Tương tự AB ⊥ [ NJM ] ⇒ AB ⊥ MN ⇒ MN ⊥ KH .Suy ra góc giữa hai mặt phẳng [ MAB] và [MC ′D′] chính là góc giữa 2 đường thẳng[ MN , ML] .Trang 22/77 - Mã đề 1171034MN =6 ,6 , NL = 2 .LM =Gọi cạnh hình lập phương là 1 . Ta cóMN 2 + ML2 − NL2 −7 85·cos LMN ==2 MN .ML85 .Ta có:7 85Suy ra cosin của góc giữa hai mặt phẳng [ MAB] và [ MC ′D′] là 85 .Câu 29.[1H3-4.3-2] [SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hình chóp S . ABCDSA ⊥ [ ABCD ]có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , AD = SA = 2a ,. Tính tang của gócgiữa hai mặt phẳng[ SBD ]5A. 2 .B.Ta có:[ SBD ] ∩ [ ABCD] = BD.và [ ABCD ] .1C. 5 .Lời giải5.2D. 5 .Hạ AH ⊥ BD tại H .AH ⊥ BD  ⇒ BD ⊥ [ SAH ] ⇒ BD ⊥ SHBD⊥SATa có.· , HS⇒ [·[ SBD ] ;[ ABCD] ] = HA.·· , HS = SHA·⇒ SHA< 900 ⇒ HA∆SAH vuông tại ASA·tan SHA=AH .Xét ∆ABD vuông tại A có:[][]111=+.22AHABAD 22 5⇔ AH =.5SA2a·tan SHA=== 5.AH 2a 55Câu 30.[1H3-4.3-2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có các cạnh AB = 2, AD = 3; AA′ = 4 .Góc giữa hai mặtTrang 23/77 - Mã đề 117phẳng[ AB′D′]và[ A′C ′D ]A. 45, 2° .là α . Tính giá trị gần đúng của gócB. 38,1° .C. 53, 4° .Lời giảiD. 61, 6° .[ AB′D′] và [ A′C ′D ] có giao tuyến là EFA′D′ ⊥ [ A′ABB′ ]nên A′D′ ⊥ AB′ ⇒ EF / / A DCách 1: Hai mặt phẳngDo EF //AB′ màα?'như hình vẽ.'EF ⊥ [ A′D′H ]Từ A′ kẻ vuông góc lên giao tuyến EF tại H thì A H ⊥ EF ⇒⇒ EF ⊥ D′H . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A′H'và D′H .D′B′13D′A 5B′A=D′F ==EF == 5'22 ,22,2Tam giác D EF lần lượt có.612S305S D' EF =D′H = DEF =4 . Suy raEF10 .Theo Hê-rông ta có:D′E =''''Dễ thấy ∆A EF = ∆D EF ⇒ A H = D H .HA′2 + HD′2 − A′D′229·′′cos A HD ==−2 HA′.HD′61 .Tam giác D′A′H có:·A′H , D′H ≈ 180° − 118, 4° = 61, 6°·A′HD′ ≈ 118, 4°Do đóhay.[]Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ vào hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đóA [ 0;0;0 ] , B [ 2;0;0 ] , D [ 0;3;0 ] , C [ 2;3;0 ] , A′ [ 0; 0; 4 ] , B′ [ 2; 0; 4 ] , D′ [ 0;3; 4 ] , C ′ [ 2;3;4 ].ururuuur uuuur[ AB′D′] . Có n1 =  AB′; AD′ = [ −12; − 8;6 ] .nGọi 1 là véc tơ pháp tuyến củauuruuruuuur uuuurn2 =  A′C ′; A′D  = [ −12;8; 6 ][ A′C′D ]n2GọiGọilà véc tơ pháp tuyến của. Cóα là góc giữa hai mặt phẳng [ AB′D′]uruurn1 n229cos α = ur uur =61n1 n2và.[ A′C ′D ]. Vậy giá trị gần đúng của gócαlà 61, 6° .Cách 3.Trang 24/77 - Mã đề 117[ AB′D′] và [ A′C ′D ] chứa hai đường AB′ và C ′D song song với nhau nênDo hai mặt phẳnggiao tuyến của chúng song song hai đường đó.Kẻ A′H ⊥ AB′ , H ∈ AB′ , dựng hình bình hành A′HKD′ có tâm I như hình vẽ.DoA′D′ ⊥ [ A′ABB′ ][ AB′D′]và[ A′C ′D ]AB′ ⊥ [ A′HKD′ ] ⇒nên A′D′ ⊥ AB′ suy ragóc giữa hai mặt phẳnglà góc giữa A′K và D′H .1111 15=+= +=222A′B′AA′4 16 16 .Trong tam giác vuông AA′B′ có A′H là đường cao nên A′HA′H =Vậy45.29cos I = − cos [ A′ + H ] = − cos A′ cos H + sin A′ sin H = 61Xét tam giác A′IH có.[ AB′D′] [ A′C ′D ]61, 6°Vậy góc giữa hai mặt phẳngCâu 31.vàgần đúng bằng.[1H3-4.3-3] [KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019] Cho hình chópSABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng[ ABCD ] . BiếtAB = SB = a ,SO =a 63 . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng [ SAB ] và[ SAD ] .A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°Lời giảiChọn DTrang 25/77 - Mã đề 117