1. Kiến thức cần nhớ
a] Véc tơ trong không gian.
Cho các véc tơ tùy ý \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] và \[k,l \in R\].
- Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm \[A,B,C\] bất kì thì:
\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \]
\[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \]
- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành \[ABCD\] ta có: \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \]
- Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] ta có \[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \].
b] Tích vô hướng của một véc tơ với một số thực
Cho véc tơ \[\overrightarrow a \] và một số thực \[k\], tích vô hướng của \[k\] và \[\overrightarrow a \] kí hiệu là \[k.\overrightarrow a \].
Tính chất:
+] Cùng hướng với \[\overrightarrow a \] nếu \[k > 0\].
+] Ngược hướng với \[\overrightarrow a \] nếu \[k < 0\].
+] \[\left| {k.\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\]
- Quy tắc trung điểm: Cho \[I\] là trung điểm của \[AB\], với điểm \[O\] tùy ý thì:
\[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \]
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \]
- Quy tắc trọng tâm tam giác: Cho tam giác \[ABC\] có trọng tâm \[G\]. Khi đó, với điểm \[O\] bất kì thì:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \]
- Quy tắc trọng tâm tứ diện: Cho tứ diện \[ABCD\] có trọng tâm \[G\]. Khi đó, với điểm \[O\] bất kì thì:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \]
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OG} \]
c] Tích vô hướng của hai véc tơ
+] Định nghĩa: \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\].
+] Hệ quả: \[\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\].
+] \[\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\]
+] \[{\overrightarrow a ^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\].
+] Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \]. Gọi \[\overrightarrow {a'} \] là hình chiếu vuông góc của \[\overrightarrow a \] trên đường thẳng chứa \[\overrightarrow b \] thì: \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow {a'} .\overrightarrow b \].
+] Điểm \[M\] chia đoạn thẳng \[AB\] theo tỉ số \[k\left[ {k \ne 1} \right]\], với điểm \[O\] tùy ý ta có:
\[\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {OM} = \dfrac{{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}\]
d] Véc tơ đồng phẳng
Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Định lý:
a] Cho \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] không cùng phương, ba véc tơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \exists m,n \in R:\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \] [với \[m,n\] xác định duy nhất.
b] Nếu ba véc tơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng thì mọi véc tơ \[\overrightarrow x \] đều được biểu diễn dưới dạng \[\overrightarrow x = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p.\overrightarrow c \] với \[m,n,p\] xác định duy nhất.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, bốn điểm đồng phẳng.
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một trong số các cách sau đây:
Cách 1: Chứng minh các giá của ba véc tơ cùng song song với một mặt phẳng.
Cách 2: Dựa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: Nếu có \[m,n \in R:\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \] thì \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng.
Dạng 2: Phân tích một véc tơ qua ba véc tơ không đồng phẳng.
Phương pháp:
Để phân tích một véc tơ \[\overrightarrow x \] theo ba véc tơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng, ta tìm các số \[m,n,p\] sao cho: \[\overrightarrow x = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p.\overrightarrow c \].
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, véc tơ.
Phương pháp:
- Bước 1: Chọn ba véc tơ không đồng phẳng \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] sao cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
- Bước 2: Phân tích \[\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \].
- Bước 3: Tính độ dài \[MN\] dựa vào công thức \[M{N^2} = {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left[ {m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c } \right]^2}\]
Dạng 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Phương pháp:
Sử dụng các kết quả:
+] \[A,B,C,D\] là bốn điểm đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = m.\overrightarrow {DB} + n.\overrightarrow {DC} \]
+] \[A,B,C,D\] là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm \[O\] bất kì ta có:
\[\overrightarrow {OD} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \] trong đó \[x + y + z = 1\]
Vecto trong không gian lớp 11
Hôm nay Cunghocvui sẽ chi`a sẻ với các bạn về lý thuyết véc tơ trong không gian lớp 11!
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa:
- Vecto trong không gian được hiểu là một đoạn thẳng có hướng xác định trong không gian. Ký hiệu của vecto \[\overrightarrow{AB}\] có nghĩa là điểm đầu của vecto là A và điểm cuối của vecto là B. Bên cạnh đó ta có thể kí hiệu véc to đơn gian như sau: \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},...\]
- Góc giữa 2 vecto trong không gian cũng được xác định tương tự như góc giữa 2 đường thẳng và 2 mặt phẳng.
- Công thức tính độ dài vectơ trong không gian: Với \[\overrightarrow {u}=[a;b;c]\], để tính độ dài cho vecto u ta có công thức sau:
\[|\overrightarrow {u}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\].
2. Quy tắc:
Trong mặt phẳng không gian ta tìm ra hai quy tắc quan trọng về vecto mà bạn cần biết:
- Quy tắc về ba điểm bất kỳ: \[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\] hoặc ta có \[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\].
- Quy tắc về hình bình hành: Đối với một hình bình hành bất kỳ ABCD ta sẽ có: \[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\]
- Trung tuyến: Trong một tam giác bất kyfy cho trước ABCD ta lấy trung điểm M của BC thì tính chất luôn đúng với vecto như sau: \[\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}]\].
- Quy tắc về trọng tâm: Cũng tương tự như quy tắc về trung tuyến, ta lấy trọng tâm G cho tam giác thì: \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\].
- Quy tắc về hình hộp ABCD.A'B'C'D' thì ta sẽ có: \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}\].
Bài tập trắc nghiệm vecto trong không gian
3. Định lý:
Trong mặt phẳng không gian gồm có vecto ta có quy tắc về sự đồng đẳng và điều kiện cần thiết đối với ba vecto để chúng được coi là đồng đẳng như sau:
- Định nghĩa: Ba vecto nếu đồng đẳng sẽ thỏa mãn các điều kiện về tính song song giữa chúng với một mặt phẳng chung như nhau.
- Các định lý thỏa mãn định nghĩa:
+ Định lý 1: Cho lần lượt ba vecto như sau \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\], trong đó vecto \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\] sẽ không cùng phương hướng. Điều kiện cần và đủ để ba vecto \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\] đồng đẳng ta có các số m, n sao cho thỏa mãn \[\overrightarrow {c}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b}\]. Hơn nữa m và n là duy nhất.
+ Định lý 2: Nếu \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\], là ba vecro không đồng phẳng thì với mỗi vecto \[\overrightarrow {d}\]ta sẽ tìm được các điểm m, n, p sao cho thỏa mãn \[\overrightarrow {d}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b}+p\overrightarrow {c}\]. Hơn nữa các số m, n , p phải là các hệ số xác định duy nhất.
II. Bài tập vectơ trong không gian có lời giải
Bài 1: Với hình chóp bất kỳ cho trước S.ABCD ta có đáy là hình chữ nhật ABCD. CM công thức sau: \[\overrightarrow{SA}^2+\overrightarrow{SC}^2=\overrightarrow{SB}^2+\overrightarrow{SD}^2\].
Lời giải:
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Ta có:
\[|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OD}|\].
\[\overrightarrow{SA}^2=[\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OB}]^2=\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OA}^2+2\overrightarrow{SO}.\overrightarrow{OA}[1]\]
\[\overrightarrow{SC}^2=[\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{SC}]^2=\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OC}^2+2.\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{OC}[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[\overrightarrow{SA}^2+\overrightarrow{SC}^2=2\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OC}^2+2.\overrightarrow{SO}.[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}]\]
\[= 2\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OC}^2[vì \ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}]\]
Tương tự ta có \[\overrightarrow{SB}^2+\overrightarrow{SD}^2=2\overrightarrow{SO}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OD}^2\]
Từ đó suy ra: \[\overrightarrow{SA}^2+\overrightarrow{SC}^2=\overrightarrow{SB}^2+\overrightarrow{SD}^2\]
Bài 2: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' ta có tất cả các mặt của hình hộp đều ở dạng hình thoi có cạnh là a và các góc \[BAA'=BAD=DAA'=60^0.\]Tính độ dài đường chéo AC'.
Lời giải:
Đặt \[\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {b},\overrightarrow {AA'}=\overrightarrow {c}\]thì:
\[|\overrightarrow {a}|=|\overrightarrow {b}|=|\overrightarrow {c}|=a,[\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}]=[\overrightarrow {b},\overrightarrow {c}]=[\overrightarrow {c},\overrightarrow {a}]=60^0\]
Ta có \[\overrightarrow {AC'}^2=\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}.\]
\[\Rightarrow \overrightarrow {AC'}^2=\overrightarrow {a}^2+\overrightarrow {b}^2+\overrightarrow {c}^2+2\overrightarrow {a}\overrightarrow {b}+2\overrightarrow {b}\overrightarrow {c}+2\overrightarrow {c}\overrightarrow {a}\]
\[=3a^2+2|\overrightarrow {a}||\overrightarrow {b}|.cos60^0+2|\overrightarrow {b}||\overrightarrow {c}|.cos60^0=6a^2\Rightarrow AC'=a\sqrt6\].
Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về lý thuyết vecto trong không gian trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!