Ký hiệu span là gì

$6. Cơ sở, số chiềucủa một không gian véc tơ6.1 ¡ SỰ ĐỘC LẬP, CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀUCho v1, ... ,vn thuộc không gian vectơ V, x1, ... , xn ∈! .Tổng x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn được gọi là một tổ hợp tuyến tínhcủa v1, ... ,vn.Kí hiệu Span[v1, ... , vn]: = { x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn | xi ∈ ! }.CHÚ Ýa] Nếu v1, ... ,vn là tất cả những vectơ cột của ma trậnA, thì C[A] = Span[v1, ... , vn].b] Span[v1, ... , vn] là một không gian vectơ con của Vsinh bởi [hoặc căng bởi] v1, ... ,vn.Span[v1, v2, vn] =mặt phẳng đi quagốc toạ độSpan[v1, v2, vn] =đường thẳng điqua gốc toạ độSpan[v1, v2, vn] = !3ĐỊNH NGHĨA 6.1.1 Tập {v1, ... ,vn} được gọi là một tậpsinh của không gian V ⇔ ∀ b ∈ V, ∃ xi ∈ ! :b = x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvnCHÚ Ý Tập tất cả các vectơ cột của ma trận A là tậpsinh của C[A]. Tập tất cả các vectơ hàng của ma trận ATlà tập sinh của C[A ]. Tập tất cả những nghiệm đặc biệtcủa Ax = 0 là tập sinh của N[A].2VD6.1.1 Những tập nào sau đây là tập sinh của R ?⎧[a] ⎨⎩⎡1 ⎤⎢ ⎥,⎣0 ⎦⎡0 ⎤ ⎫⎢ ⎥⎬⎣1 ⎦ ⎭⎧ ⎡1 ⎤[b] ⎨ ⎢ ⎥ ,⎩ ⎣0 ⎦⎡0 ⎤⎢ ⎥,⎣1 ⎦⎡4⎤ ⎫⎢ ⎥⎬⎣7 ⎦ ⎭⎧ ⎡1⎤[c] ⎨ ⎢ ⎥ ,⎩ ⎣1⎦⎡ −1⎤ ⎫⎢ ⎥⎬⎣ −1⎦ ⎭nKÝ HIỆU ej là vectơ của R mà có thành phần thứ j bằng1 còn những thành phần khác bằng 0.! ⎡1 ⎤ !⎡0 ⎤2Trong ! : e1 = ⎢ ⎥ , e2 = ⎢ ⎥⎣0 ⎦⎣1 ⎦⎡1 ⎤⎡0 ⎤! ⎢ ⎥ !!⎢ ⎥3Trong ! : e1 = ⎢0 ⎥ , e2 = ⎢1 ⎥ , e3 =⎢⎣0 ⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎡0 ⎤⎢ ⎥⎢0 ⎥⎢⎣1 ⎥⎦nCHÚ Ý: {e1, ... , en} là một tập sinh của R .ĐỊNH NGHĨA 6.1.21] Các vectơ v1, v2, ... ,vn của không gian vectơ V đượcgọi là độc lập tuyến tính, nếu x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn = 0kéo theo x1 = x2 = ...= xn = 0.2] Các vectơ v1, v2, ... ,vn của không gian vectơ V phụthuộc tuyến tính, nếu chúng không độc lập tuyến tính.VD6.1.2 Các cặp vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụthuộc tuyến tính:⎧[a] ⎨⎩⎡1 ⎤⎢ ⎥,⎣0 ⎦⎡0 ⎤ ⎫⎢ ⎥⎬⎣1 ⎦ ⎭⎧ ⎡1 ⎤[b] ⎨ ⎢ ⎥ ,⎩ ⎣0 ⎦⎡0 ⎤⎢ ⎥,⎣1 ⎦⎡4⎤ ⎫⎢ ⎥⎬⎣7 ⎦ ⎭⎧ ⎡1⎤[c] ⎨ ⎢ ⎥ ,⎩ ⎣1⎦⎡ −1⎤ ⎫⎢ ⎥⎬⎣ −1⎦ ⎭Minh họa hình học[a] v1, v2 phụ thuộc[b] v1, v2 độc lậptuyến tínhtuyến tính[c] v1, v2 , v3 phụ thuộc[d] v1, v2, v3 độc lậptuyến tínhtuyến tínhNhận xét1] A là ma trận có các vectơ cột là v1, ... ,vn, x = [x1, x2,... , xn], thì x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn = Ax, nên v1, ... ,vn độc lậptuyến tính ⇔ Ax = 0 có nghiệm duy nhất2] Một vectơ v độc lập tuyến tính ⇔ v ≠ 0VD6.1.3 Xác định các vectơ sau đây có phụ thuộctuyến tính hay không⎡1 ⎤v1 = ⎢ 2 ⎥ , v2 =⎢ ⎥⎢⎣3⎥⎦⎡2⎤⎢ 8 ⎥, v =⎢ ⎥ 3⎢⎣10⎥⎦⎡3⎤⎢10⎥ .⎢ ⎥⎢⎣13⎥⎦Hệ quảNếu n > m thì mọi dãy gồm n vectơ trong Rmphụ thuộc tuyến tính.⎧ ⎡1 ⎤VD6.1.4 Các vectơ ⎨ ⎢ ⎥ ,⎩ ⎣0 ⎦tính.⎡0 ⎤⎢ ⎥,⎣1 ⎦⎡4⎤ ⎫⎢ ⎥ ⎬ phụ thuộc tuyến⎣7 ⎦ ⎭ĐỊNH NGHĨA 6.1.3 Tập vectơ {v1, v2, ... , vn} được gọilà một cơ sở của không gian vectơ V nếu thoả mãn:1. V = span [v1, v2, ... , vn]2. v1, v2, ... , vn độc lập tuyến tính.độcspancơsởlậptuyếntínhnVD6.1.5 {e1, e2, ... , en} là một cơ sở của ! được gọi làcơ sở chính tắc.! !Do đó, {e1, e2 } = { i , j } làcơ sở chính tắc của !2! ! !{e1, e2 , e3} = { i , j , k } là3cơ sở chính tắc của ! .TÍNH CHẤT a] {v1, ... , vn} là cơ sở của !n⇔ r[[v1, ... ,vn]] = n ⇔ det[v1, ... ,vn] ≠ 0VD6.1.6⎧⎡1 ⎤ ⎡2⎤ ⎫2!làcơsởcủa,⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎬⎩⎣2⎦ ⎣5 ⎦ ⎭1 2vì≠02 5b] Nếu {v1, ... , vn} là cơ sở của không gian V, thì mỗi v∈V , tồn tại duy nhất xi [1 ≤ i ≤ n ]: v = x1v1 + ⋅⋅⋅+ xnvnĐỊNH NGHĨA 6.1.4 Nếu V có một cơ sở gồm n vectơ, tanói rằng V có số chiều bằng n. Kí hiệu dim V = nQuy ước không gian Z = {0} có số chiều bằng 0.⎧⎡1 ⎤ ⎡2⎤ ⎫22VD6.1.7 Vì ⎨⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎬ là cơ sở của ! nên dim ! = 2.⎩⎣2⎦ ⎣5 ⎦ ⎭Ý nghĩa: số chiều là một chỉ số đo "độ lớn" của mộtkhông gian.6.2 ¡ CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA BỐN KHÔNG GIANCON LIÊN QUAN TỚI MỘT MA TRẬNĐịnh lý cơ bản của Đại số tuyến tính [Phần 1]Cho A là ma trận m×n , r[A] = r. Khi đó:Tdim C[A] = dim C[A ] = rdim N[A] = n - r.Tdim N[A ] = m - r.Tdim R = dim C[A ] = rdim K = dim N[A] =n-rdim C= dim C[A] = rTdim L= dim N[A ] = m-rCHÚ Ý: Biến đổi A → UCơ sở của C[A]: Tập tất cả các cột trụ của ACơ sở của C[AT]: Tập tất cả các hàng trụ của ACơ sở của N[A]: Tập tất cả các nghiệm đặcbiệt của Ax = 0TCơ sở của N[A ]: Tập tất cả các nghiệm đặcTbiệt của A y = 0VD6.2.1 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian conchủ yếu liên quan đến⎡ 1 3 0 5 ⎤⎢⎥A = ⎢ 2 6 1 16 ⎥ .⎢⎥⎢ 5 15 0 25 ⎥⎣⎦GiảiNHỮNG Ý CHÍNH1. Tập sinh của một không gian vectơ.2. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.3. Cơ sở và số chiều của một không gian vectơ.4. Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính [Phần 1] vềchiều của bốn không gian con liên quan đến một matrận.

phi tuyến tính

là tuyến tính

gradient tuyến tính

hợp tuyến tính

không tuyến tính

tuyến tính cao

Định nghĩa

Giả sử S={v1,...,vn} là một tập hữu hạn các vectơ, một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng các vectơ nhân bởi các hệ số theo dạng:

a1v1+...+an vn

với các số a1,...,an nằm trong trường F của không gian vectơ chứa v1,...,vn.

Ví dụ

Vector [3,-4] là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp {[1,1],[2,3],[1,-1]} bởi vì:

[3,-4] = 2[1,1] + [-1][2,3] + 3[1,-1]

Bao tuyến tính

Tập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong S được gọi là bao tuyến tính của S [hay không gian con sinh bởi S] và ký hiệu là span[S] hay . Nói một cách chính xác:
span[S] = {v thuộc V: v= a1v1+...+an vn với các số a1,...,an nằm trong trường F}.

 Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ.

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

• Một hệ các vectơ {v1,...,vn} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các số : k1, ..., kn không đồng thời bằng không sao cho:

k1 v1 + ... + kn vn = 0.

• Hệ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.
• Nói cách khác, hệ các vectơ này là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:

k1 v1 + ... + kn vn = 0

chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 = ... = kn = 0

Ý nghĩa hình học

• Trong không gian các vectơ trên mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
• Trong không gian các vectơ hình học 3 chiều, hệ ba vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Thí dụ

• Hai vectơ [1,2,3,4] và [-3,-6,-9,5] là độc lập tuyến tính.

• [1,2] và [-2,-4] không độc lập tuyến tính vì tồn tại λ1 = 1 và λ2 = 2 thỏa mãn λ1[-2,-4] + λ2[1,2] = 0.

Độc lập tuyến tính trong không gian Rn

• Trong không gian Rn một hệ gồm nhiều hơn n vectơ {v1,...,vm} luôn là phụ thuộc tuyến tính.
• Nếu hệ các vectơ {v1,...,vm} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, thì tập hợp tất cả các vectơ có dạng:

k1 v1 + ... + km vm là một không gian con đẳng cấu với Rm.

• Một hệ n vectơ {v1,...,vn} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, khi và chỉ khí ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức khác không.

Cơ sở của không gian vectơ là một hệ vectơ độc lập tuyên tính và sinh ra không gian vectơ đó. Đây là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Ta có thể nhận ra ý nghĩa của cơ sở trong không gian vectơ . Không gian này thường được biểu diễn bằng các vectơ hình học trên mặt phẳng. Một cơ sở của nó là hệ gồm hai vectơ đơn vị của hai trục toạ độ: i=[1,0] và j=[0,1]. Mọi vectơ của đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của hai vectơ này. Trong không chỉ có một cơ sở, có rất nhiều hệ hai vectơ như thế. Tồng quát cho một không gian vectơ bất kỳ ta có:

Định nghĩa

Một tập hợp B của các vectơ b1,...,bn trong không gian vectơ V được gọi là cơ sở nếu như

Khi đó [với n hữu hạn] số n được gọi là số chiều của không gian vectơ V.

Khái niệm cơ sở có thể mở rộng cho một tập vô hạn các vectơ , với tập chỉ số I là tập vô hạn. Khi đó V được gọi là không gian vô hạn chiều.

Trong không gian , số vectơ trong cơ sở bằng số chiều của không gian bằng n.

Tính chất

1. Hai cơ sở bất kỳ của cùng một không gian V hữu hạn chiều có số phần tử như nhau.
2. Mọi vectơ v của V biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc cơ sở B.
3. Hai không gian hữu hạn chiều là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và mọi đẳng cấu tuyến tính biến một cơ sở thành cơ sở.

Toạ độ trong một cơ sở và công thức đổi cơ sở

Các hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B. Chẳng hạn

nếu v = k1.b1 + k2.b2 + ... + kn.bn thì [k1,k2,...,kn] là toạ độ của v trong cơ sở B.

Cho hai cơ sở B={b1,b2,...,bn} và B' ={b' 1,b' 2,...,b' n}. Giả sử vetơ v có toạ độ trong cơ sở B và B' tương ứng là [k1,k2,...,kn] và [k'1,k'2,...,k'n]. Ngoài ra các vectơ của B biểu diễn qua các vectơ của B' như sau

.

Khi đó v= = = .

Như vậy

được gọi là công thức đổi cơ sở.

Cơ sở chính tắc

Trong không gian , hệ gồm n vectơ đơn vị:

lập thành một cơ sở gọi là cơ sở chính tắc của .

Ví dụ:

{[1,0,0], [0,1,0],[0,0,1]} là cơ sở chính tắc của không gian vectơ .