Hình học không gian lớp 11 tìm giao tuyến
Xem thêm Show Chúng ta thừa nhận một kết quả sau của hình học không gian:
Do đó, phương pháp chung để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là ta chỉ ra hai điểm chung của chúng, và đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm. 1. Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳngĐể xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $, chúng ta xét các khả năng sau:
Đối với các em học sinh lớp 11 đầu năm thì chưa học đến quan hệ song song trong không gian nên sử dụng các kết quả trên là đủ. Sau khi các em học sang phần đường thẳng và mặt phẳng song song, hoặc các em học sinh lớp 12 thì sẽ sử dụng thêm các kết quả sau:
Đặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
2. Một số ví dụ tìm giao tuyến của 2 mpVí dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I $ là trung điểm của $ BD. $ Gọi $ E,F $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABD$ và $CBD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $ Hướng dẫn. Rõ ràng $E$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ nên $E$ phải nằm trên đường thẳng $AI$. Suy ra, điểm $A$ thuộc vào đường thẳng $IE$. Tương tự, có điểm $F$ thuộc vào đường thẳng $CI$.
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC)$ là đường thẳng $AC$. Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $. Đáy $ABCD$ có $ AB $ cắt $ CD $ tại $ E$, $AC$ cắt $ BD $ tại $ F. $ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
Hướng dẫn.
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC $. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (ADM) $ và mặt phẳng $ (BCD) $. Hướng dẫn. Đầu tiên, chúng ta thấy ngay một điểm chung của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $ là điểm $D$. Như vậy, nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm một điểm chung nữa của hai mặt phẳng này. Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $AM$ cắt $BC$ tại $N$. Ta thấy $$\begin{cases} N\in BC \subset (BCD)\\ N\in AM\subset (ADM)\end{cases}$$ nên $N$ chính là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $. Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ADM) $ và $ (BCD) $ là đường thẳng $DN$. Ví dụ 4. Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng $AB, AC, BD$ lấy lần lượt các điểm $M, N, P$ sao cho $MN$ không song song với $BC$. Tìm giao tuyến của $(BCD)$ và $(MNP)$. Hướng dẫn. Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD). Chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I. Khi đó,
Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP). Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP). Ví dụ 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC$, $N $ thuộc miền trong tam giác $ ABD$. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (BMN) $ và mặt phẳng $ (ACD) $. Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $BM$ cắt $AC$ tại $P$ thì ta có:
Như vậy, $P$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $. Tương tự, trong mặt phẳng $(ABD)$ kéo dài $BN$ cắt $AD$ tại $Q$ thì cũng chỉ ra được $Q$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $. Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $ (BMN) $ và $ (ACD) $ là đường thẳng $PQ$. Ví dụ 6. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABD,N $ thuộc miền trong tam giác $ ACD. $ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (AMN) $ và mặt phẳng $ (BCD) $; mặt phẳng $ (DMN) $ và $ (ABC) $. Hướng dẫn. Ví dụ 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BC. $ Lấy $ K $ thuộc $ BD $ sao cho $ KD Hướng dẫn. Ví dụ 8. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AD,BC. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IBC) $ và $ (JAD). $ Gọi $ M,N $ là hai điểm trên cạnh $ AB,AC. $ Xác định giao tuyến của $ (IBC) $ và $ (DMN). $ Hướng dẫn. Ví dụ 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SC $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (ABCD),(SAB),(SAD)$ và $ (SAC) $. Hướng dẫn. Ví dụ 10. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành tâm $ O. $ Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SO $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (SAB),(SAD),(SBC) $ và $ (SCD)$. Hướng dẫn. |