Gọi m và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=3cosx-1/3+cosx
Cách tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác cực hay
Trang trước
Trang sau
Quảng cáo
Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý: + Với mọi x ta luôn có: - 1 cosx 1; -1 sinx 1 +Với mọi x ta có: 0 |cosx| 1 ;0 |sinx| 1 + Bất đẳng thức bunhia copski: Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1;b2) khi đó ta có: (a1.b1+ a2.b2 )2 ( a12+ a22 ).( b12+ b22 ) Dấu = xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2 + Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M]. + Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2 Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1- 2|cos3x|. A. M=3 ; m= - 1. B. M= 1 ; m= -1. C. M=2 ;m= -2. D. M=0 ; m= -2. Lời giải:. Chọn B. Với mọi x ta có : - 1 cos3x 1 nên 0 |cos3x| 1 0 -2|cos3x| -2 Ví dụ 2: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A.x0=π+k2π, kϵZ . B.x0=π/2+kπ, kϵZ . C.x0=k2π, kϵZ . D.x0=kπ ,kϵZ . Lời giải:. Chọn B. Ta có - 1 cosx 1 - 0 cos2x 1 1 1+2cos2x 3 Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 . Dấu = xảy ra khi cosx=0 x=π/2+kπ, kϵZ . Quảng cáo
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x. A.M= 3 ;m= 0 B. M=2 ; m=0. C. M=2 ; m= 1. D.M= 3 ; m= 1. Lời giải:. Chọn C. Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = (sin2x+ cos2x) + cos2x = 1+ cos2 x. Do: -1 cosx 1 nên 0 cos2 x 1 1 cos2 x+1 2 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3 A.M= 1; m= - 7 B. M= 7; m= - 1 C. M= 3; m= - 4 D. M=4; m= -3 Lời giải Chọn A Ta có : - 1 sinx 1 nên - 4 4sinx 4 Suy ra : - 7 4sinx-3 1 Do đó : M= 1 và m= - 7 Ví dụ 5: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 . A. [5; 9] B.[6;10] C. [ 8;12] D. [10; 14] Lời giải: Chọn C Với mọi x ta có : - 1 cos2x 1 nên-2 -2cos2x 2 8 -2cos2x+10 12 Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12] Quảng cáo
Ví dụ 6: Tính độ dài giá trị của hàm số y= 10- 2cos2x A. 10 B. 8 C.6 D. 4 Lời giai Với mọi x ta có: - 1 cos2x 1 nên-2 -2cos2x 2 Suy ra: 8 10-2cos2x 12 Do đó; tập giá trị của hàm số đã cho là: [8; 12] và độ dài đoạn giá trị của hàm số là : 12 8= 4 Chọn D. Ví dụ 7: Tính tổng giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sau: y= 3 sin( 2016x+2019) A. - 4032 B. 3 C. -3 D. 0 Lời giải: Chọn D Với mọi x ta có :- 1 sin(2016x+2019) 1 -3 3sin(2016x+2019) 3 Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -3 và giá trị lớn nhất của hàm số là 3 Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là - 3+ 3=0 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1/(1+sinx) A. m= 1/2 B. m= 1/2 C. m= 1 D. m= 2 Lời giải: Chọn A Điều kiện xác định : sinx -1 hay x (- π)/2+k2π + Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có : - 1 + Nếu mẫu 1+ sinx > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1+ sinx đạt giá trị lớn nhất Hay 1+ sinx=2 < sinx= 1( thỏa mãn điều kiện) . Khi đó ymin = 1/2 Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi sinx= 1 Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số: y= 2018sin( 9x+π/100)+2000 A. m=18 ; M=4018 B. m = -18; M= 18 C. m=-18; M= 4018 D. Đáp án khác Lời giải: Chọn C Hàm số xác định trên R. Với mọi x ta có: - 1 sin( 9x+π/100) 1 nên - 2018 2018sin( 9x+π/100) 2018 -18 2018sin( 9x+π/100)+2000 4018 giá trị nhỏ nhất của hàm số là -18 khi sin( 9x+π/100)=-1 Giá trị lớn nhất của hàm số là 4018 khi sin( 9x+π/100)=1 Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sinx- cosx. A. m= -1; M=1. B. m = 0; M=1 C. m= -1;M=0 D. m= -1 và M không tồn tại. Lời giải: Chọn A Với mọi x thỏa mãn điều kiện : sinx > 0 và cosx > 0 .Ta có: Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là m= 1 khi: (sinx=0 và cosx=1 x= k2π. Hàm số đạt giá trị lớn nhất là M=1 khi (sinx=1 và cosx=0 x= π/2+k2π. Ví dụ 11. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= cos2 x 6cosx + 11. Tính M.m A.30 B.36 C.27 D.24 Lời giải: Ta có: cos2 x 6cosx +11 = ( cos2x 6cosx + 9) +2 = (cosx -3)2 + 2 Do - 1 cosx 1 - 4 cosx-3 -2 0 (cosx-3)^2 16 2 (cosx-3)^2+2 18 Suy ra:M= 18 và m= 2 nên M. m= 36. Chọn B. Ví dụ 12. Gọi M và lần lượt là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4). Tính S= M+11m A.4 B.5 C. 6 D. 8 Lời giải:. Gọi y0 là một giá trị của hàm số. Khi đó phương trình y0=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4) có nghiệm. y0.( 2cosx- sinx + 4) = cosx +2sinx + 3 có nghiệm 2y0.cosx sinx.y0 + 4y0- cosx 2sinx 3=0 có nghiệm ( 2y0 -1)cosx ( y0+2).sinx =3- 4y0 (*) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi : (2y0-1)2 + ( y0 + 2)2 (3-4y0)2 4y02 4y0 +1 +y02 +4y0 + 4 9-24y0+16y02 11y02 24y0 + 4 0 2/11 y0 2 Suy ra: M=2 và m=2/11 nên S= M+ 11m= 4 Chọn A. Ví dụ 13. Cho hàm số y= (1+2sin2 x)+ (1+2〖cos2 x)-1. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nào nhất? A. 3,23 B. 3,56 C. 2,78 D.2,13 Lời giải: + Xét t= (1+2sin2 x)+ (1+2cos2 x) t2 = 1+ 2sin2 x+ 1+ 2cos2 x+ 2. ((1+2sin2 x).( 1+2cos2 x) ) =4+2(3+ sin2 2x) Mà sin22x 0 nên t2 4+ 23 Mà t > 0 nên t (4+23) =1+ 3 Suy ra: y= t-1 3 Dấu = xảy ra khi sin2x=0 . + Lại có: (1+2sin2 x)+ (1+2cos2 x) ((1^2+ 1^2 ).( 1+2sin2x+ 1+2cos2 x) )= 22 y= (1+2sin2 x)+ (1+2cos2 x)-1 22-1 Dấu = xảy ra khi sin2 x= cos2x Vậy {(m= 3 và M=22-1) M+ m3,56 Chọn B. Câu 1:Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=8sin2x+3cos2x . Tính P= M- 2m. A. P= - 1 B. P= 1 C. P= 2 D. P=0 Chọn A. Ta có: y = 8sin2 x + 3cos2x = 8sin2x + 3( 1 2sin2x ) = 2sin2x+ 3. Mà -1 sinx 1 0 sinx 1 3 2sinx+3 5 3 y 5. Suy ra: M= 5 và m= 3 Do đó: P = 5- 2.3= - 1 Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y= 4sin2x + 3.cos2x . A. M= 3 B. M= 1 C. M= 5 D. M= 4 Chọn C. Ta có: y = 4sin2x+ 3cos2x = 5.( 4/5.sin2x+ 3/5 cos2x). Đặt cosα= 4/5 và sinα= 3/5 Khi đó: y= 5( cosα.sin2x+sinα.cos2x)=5.sin( α+2x) - 5 y 5 Suy ra M= 5. Câu 3:Gọi M ; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sin2x 4sinx+ 5. Tính M+ m. A.3 B.8 C.10 D.12 Chọn D. Ta có: y= sin2x 4sinx+ 5= ( sinx- 2)2 + 1. Do: -1 sinx 1 nên-3 sinx-2 -1 1 ( sinx-2)2 9 2 ( sinx-2)2+1 10 . Suy ra: M=10 và m = 2 Do đó; M+ m = 12 Câu 4:Cho hàm số y= cos2x- cosx có tập giá trị là T. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc T. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Chọn C. Ta có: cos2x- cosx = (cosx- 1/2)2- 1/4 . Do - 1 cosx 1 nên (- 3)/2 cosx- 1/2 1/2 0 ( cosx- 1/2)2 9/4 (- 1)/4 ( cosx- 1/2)2- 1/4 2. Do đó (- 1)/4 y 2. Vậy tập giá trị của hàm số là [(- 1)/4;2] Trong đoạn [ -1/4;2] có ba giá trị nguyên thỏa mãn là 0; 1 và 2. Do đó có 3 giá trị thỏa mãn. Câu 5:Hàm số y= cos2x+ 2sinx+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng. A. x= (-π)/2+k2π. B. x= π/2+k2π. C. x= k π D. x= k2π Chọn B. Ta có: cos2x+ 2sinx+ 2 = 1- sin2x+ 2sinx + 2= - sin2x + 2sinx+ 3 = - (sinx-1)2 + 4 Mà - 1 sinx 1 nên-2 sinx-1 0 Suy ra: 0 ( sinx-1)2 4 -4 - (sinx-1)2 0 0 4 - (sinx-1)2 4 Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi sinx= 1 x= π/2+k2π. Câu 6:Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y= sin4x -2 cos2x+ 1. A.M= 2; m= - 2 B.M=1; m=0 C.M=4;m= - 1 D M=2;m= - 1 Chọn D. Ta có: sin4x- 2cos2x + 1= sin4x 2( 1- sin2x) + 1 = sin4x + 2sin2x - 1 = ( sin2 x +1)22 - 2 Mà: 0 sin2 x 1 nên 1 sin2 x+1 2 Suy ra: 1 ( sin2 x+1)2 4 -1 ( sin2 x+1)2-2 2 . Nên M= 2; m= - 1 Câu 7:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin4x cos4x. A. - 3 B. - 1 C. 3 D. 5 Chọn B. Ta có: y= 4sin4x cos4x= 4.((1-cos2x)/2)2-(2cos2 2x-1) = 1- 2cos2x+ cos22x 2cos2x + 1 = - cos42x - 2cos2x + 2 = - (cos2x+ 1)2 + 3 Mà -1 cos2x 1 0 cos2x+1 2 0 (cos2x+1)2 4 -1 -(cos2x+1)2+3 3 Suy ra m= - 1. Câu 8:Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2( sinx - cosx). Tính P= M+ 2m. A. 2 B. - 22 C. - 2 D. 42 Chọn B Ta có : 2( sinx- cosx)=22 sin( x- π/4) Với mọi x thì : - 1 sin( x- π/4) 1 - 22 22.sin( x- π/4) 22 Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là M= 22 và m= -22 P= M+ 2m= - 22 Câu 9:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= (1- cos2 x)+1là: A. 2 và 1 B. 0 và 3 C. 1 và 3 D.1 và 1+ 2 Ta có : (1- cos2 x)= (sin2 x)= |sinx| Do đó; hàm số y= (1- cos2 x)+1=|sinx|+1 Với mọi x ta có: - 1 sinx 1 nên 0 |sinx| 1 1 |sinx|+1 2 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 2 và 1. Chọn A Câu 10:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4sin2 x+ 6cos2x+ 2 là A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 Ta có: 4sin2x + 6cos2 x+ 1= 2( 1- cos2x) + 3( 1+cos2x) + 2 = cos2x+ 7 Với mọi x ta luôn có: - 1 cos2x 1 nên 6 cos2x+7 8 Suy ra: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 6 Chọn B. Câu 11:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau A.max y=4,min y=3/4 B.max y=3,min y=2 C.max y=4,min y=2 D.max y=3,min y=3/4 Đặt t=sin2x, 0 t 1 cos2x=1-2t y= 2t+(1-2t)2=42-2t+1=(2t-1/2)2+3/4 Do 0 t 1 -1/2 2t-1/2 3/2 0 (2t-1/2)2 9/4 3/4 y 3 . Vậy max y=3 đạt được khi x=π/2+kπ . min y=3/4 đạt được khi sin2x=1/4 . Chọn D.Câu 12:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1 A. max y=6,min y=-2 B. max y=4,min y=-44 C. max y=6,min y=-4 D.max y=6,min y=-1 Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski: (ac+bd)2 (c2+d2)(a2+b2) . Đẳng thức xảy ra khi a/c=b/d . Ta có: (3sinx+4cosx)2 (32+42)(sin2+cos2)=25 5 3sinx+4cosx 5 -4 y 6 Vậy max y=6 , đạt được khi tanx=3/4 . min y=-4 , đạt được khi tanx=-3/4. Chọn C. Câu 13:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=2sin2x+3sin2x-4cos2x A. min y= -32 -1, max y=32 +1 B. min y= -32 -1, max y=32 -1 C. min y= -32 , max y=32 -1 D. min y= -32 -2, max y=32 -1 Ta có: y= 2sin2 x + 3sin2x - 4cos2x = 1 cos2x + 3sin2x - 2( 1+ cos2x) =3sin2x-3cos2x-1=32sin(2x-π/4)-1 Mà -1 sin(2x- π/4) 1 - 32 32sin(2x- π/4) 32 - 32-1 32sin( 2x- π/4)-1 32-1 Suy ra min y= -32 -1, max y=32 -1 . Chọn B. Câu 14:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin2x+3sin2x+3cos2x A. min y= 2+10 , max y=2-10 B. min y= 2+5, max y=2+5 C. min y= 2+2, max y=2-2 D. min y= 2+7, max y=2-7 Ta có: Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopki ta có : - (32+ 12 ) 3sin2x+cos2x (32+ 12 ) Suy ra : -10 3sin2x+cos2x 10 2-10 y 2+10 Từ đó ta có được: maxy=2+10;miny=2-10. Chọn A. Câu 15:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=sinx+ (2-sin2) A.min y= 0, max y=3 B.min y= 0, max y=4 C.min y= 0, max y=6 D.min y= 0, max y=2 Ta có 0 y x và y2=2+2sin(2-sin2) Mà 2|sin(2-sin2)| sin2+2-sin2=2 Suy ra 0 y2 4 0 y 4 min y=0 đạt được khi x=-π/2+k2π max y=2 đạt được khi x=π/2+k2π Chọn D. Câu 16:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=(sin2x+2cos2x+3)/(2sin2x-cos2x+4) A. min y= -2/11, max y=2 B. min y= 2/11, max y=3 C. min y= 2/11, max y=4 D. min y= 2/11, max y=2 + Áp dụng bất đẳng thức bunhia-xcopski ta có: (2sin2x cos2x)2 (22+(-1)2). ( sin22x + cos22x) = 5 -5 2sin2x-cos2x 5 4-5 4+ 2sin2x-cos2x 4+5 4+ 2sin2x- cos2x > 0 với mọi x. + Ta có: y=(sin2x+2cos2x+3)/(2sin2x-cos2x+4) y. 2sin2x y.cos2x + 4y = sin2x +2cos2x + 3 (2y-1)sin2x-(y+2)cos2x=3-4y (*) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi: (2y-1)2+(y+2)2 (3-4y)2 11y2-24y+4 0 2/11 y 2 Suy ra: min y= 2/11, max y=2 . Chọn D. Câu 17:Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(2sin23x+4sin3xcos3x+1)/(sin6x+4cos6x+10) A. min y= (11-97)/83, max y=(11+97)/83 B. min y= (22-97)/11, max y=(22+97)/11 C. min y= (33-97)/83, max y=(33+97)/83 D. min y= (22-97)/83, max y=(22+97)/83 +Áp dụng bất đẳng thức bunhia- xcopski ta có: ( sin6x+4cos6x)2 (12+42). ( sin26x+ cos26x)= 17 -17 sin6x+4cos6x 17 sin6x+4cos6x+10 10-17 > 0 x thuộc R Do đó; hàm số xác định với mọi x. + ta có: y=(2sin6x-cos6x+2)/(sin6x+4cos6x+10) (y-2)sin6x+(4y+1)cos6x=2-10y Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi: (y-2)2+(4y+1)2 (2-10y)2 83y2-44y-1 0 (22-97)/83 y (22+97)/83. Suy ra: min y= (22-97)/83, max y=(22+97)/83 Chọn D.
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
|
