Tim gia tri lon nhat, nho nhat
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [114.93 KB, 6 trang ]
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
Chuyên đề:
Một số phơng pháp tìm gtln - gtnn
I. Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đa về
dạng Ax 0 hoặc Ax 0
a, Cơ sở lý luận
- Trong tập hợp các số [nguyên , hữu tỷ , số thực] không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất .
- Trong tập hợp các số [nguyên , hữu tỷ , số thực] âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax 0 thì GTNN của Ax = 0
Nếu M = Ax / Ax 0 thì GT LN của Ax = 0
b, Các ví dụ .
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Ax = 2x2 8x +1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải : Ta có Ax = 2x2 8x +1 = 2[ x- 2 ]2 7 Ta có với mọi x thì
[x- 2 ]2 0 Nên ta có 2[ x- 2 ]2 7 -7 .
Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx = - 5x2 4x + 1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 4x + 1 = -5 [ x +
Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 [ x +
Ta có GTLN của Mx =
2 2 9
] +
5
5
2 2
9
2
] 0 . Vậy Mx [dấu = xảy ra khi x = - .
5
5
5
9
2
với x = - .
5
5
II . Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đa
về dạng
Ax
Ax
0 hoặc 2 0
2
k
k
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x 2 + 15 x + 16
Vói x là các số thực dơng .
3x
x 2 + 15 x + 16
[ x 4] 2 23
[ x 4] 2 23 23
Lời giải: Ta có Ax =
=
+
với mọi x >0 thì
+
3
3x
3x
3
3x
3
23
. Vậy GTNN của Ax =
với x= 4.
3
Ax =
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 x 2 + 6 x + 10
với x thuộc tập hợp số thực.
x 2 + 2x + 3
1
1
1
3 x 2 + 6 x + 10
Lời giải:Ta có Mx= 2
=3+
. Vì
nên ta có
2
2
[ x + 1] + 2
[ x + 1] + 2 2
x + 2x + 3
M x=
1
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
1
Mx = 3 + [ x + 1] 2 + 2 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với [x+1]2 = 0 hay x= -1
Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Fx,y =
xy 2 + y 2 [ y 2 x] + 1
với x, y là các số thực.
x2 y4 + 2y4 + x2 + 2
xy 2 + y 2 [ y 2 x] + 1
y4 +1
=
vì y4 +1 0 với mọi giá trị của
x2 y4 + 2y4 + x2 + 2
[ y 4 + 1][ x 2 + 2]
1
x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta đợc : Fx,y = 2
vì x2 0 với mọi x nên x2 + 2 2
x +2
1
1
với mọi x ,và do đó ta có Fx,y = 2
2
x +2
1
Vậy Fx,y dật GTLN =
với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý.
2
Lời giải:Ta có Fx,y =
III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có:
a + b 2 ab đạt đợc dấu = khi a=b .
a + b+ c 3 abc đạt đợc dấu = khi a=b = c .
2. Các ví dụ :
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
8x 2 + 2
với x > 0.
x
2
2
8x 2 + 2
Lời giải:Ta có Ax =
= 8x + . Ta thấy 8x và là hai đại lợng lấy giá trị dơng
x
x
x
2
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và ta có:
x
2
2
1
2
8x + 2 8 x. = 2 16 = 8 dấu = xẩy ra khi 8x = = > x = .
x
x
2
x
1
Vậy GTNN Ax = 8 với x = .
2
Ax =
Ví dụ 7 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng .
Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có
Bx = 16x3 - x6 = x3[16- x3] . Ta có x3 > 0 , còn 16 x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < 3 16 [*]
ta thấy x3 và 16 x3 là hai đại lợng dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x3
và 16- x3 ta có 2 x 3 [16 x 3 ] x 3 + 16 x 3 = 16 suy ra x3[ 16 x3] 64 dấu = xẩy ra khi
x3 = 16- x3 => x = 2 [Thoả mãn *]. GTLN của Bx = 64 , với x=2.
IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ :
Ví dụ 8 :
Với giá trị nào của x thì biểu thức
2
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356
Px =
đạt giá trị nhỏ nhất.
x 2 + 2x + 5
256
4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356
Lời giải: Ta có : Px =
= 4x2 + 8x+ 20 + 2
2
x + 2x + 5
x + 2x + 5
Vì x2 + 2x +5 = [x+1]2 +4 > 0 [*] nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt
256
256
với y > 0 , ta thấy 4y và
là hai đại lợng luôn
y
y
256
dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và
ta có :
y
256
256
256
2 4 y.
= 2.2.16 = 64 . Dấu = xẩy ra khi 4y =
4y +
=> y = 8 hoặc y = -8
y
y
y
y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y +
từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64.
Ví dụ 9 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Qx = [x2- 2x + 2][4x- 2x2+ 2] với x thuộc tập hợp các số thực.
Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x 2x2 + 2 = -y +6 . Vậy Qx = y [ 6- 2y].
Ta có 2Qx = 2y[6-2y] , ta thấy x2- 2x+2 = [x- 1]2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y 3 2 y [6 2 y ] => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi
2y = 6- 2y => y = 1,5
thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+
GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+
2
2
hoặc x= 1 .Vậy
2
2
2
2
hoặc x= 1 - .
2
2
Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Hx = [8 + x2 + x ][20 x2 x] với x là các số thực tuỳ ý .
Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =[ x+
1 2 31
] + >0 với mọi giá trị của x
2
4
*20 x2 x > 0 khi -5 < x < 4 .
Nh vậy Hx = [8 + x2 + x ][20 x2 x] >0 khi -5 < x 2. \]
A.
B.
C.
D.
a] \[\left[\frac{x+3}{x-2}+\frac{x+2}{3-x}+\frac{x+2}{x^2-5x+6}\right]:\left[\frac{1-x}{x+1}\right]\]
= \[\left[\frac{x+3}{x-2}-\frac{x+2}{x-3}+\frac{x+2}{x^2-2x-3x+6}\right]:\left[\frac{1-x}{x+1}\right]\]
= \[\left[\frac{\left[x+3\right]\left[x-3\right]}{\left[x-2\right]\left[x-3\right]}-\frac{\left[x+2\right]\left[x-2\right]}{\left[x-2\right]\left[x-3\right]}+\frac{x+2}{\left[x-2\right]\left[x-3\right]}\right]:\left[\frac{1-x}{x+1}\right]\]
= \[\left[\frac{x^2-9-x^2+4+x+2}{\left[x-2\right]\left[x-3\right]}\right].\frac{x+1}{1-x}\]
=\[\frac{-3+x}{\left[x-2\right]\left[x-3\right]}.\frac{x+1}{1-x}\]
=\[\frac{1}{\left[x-2\right]}.\frac{x+1}{1-x}\]
=\[\frac{x+1}{\left[x-2\right]\left[1-x\right]}\]
b] Để A >1 \[\Leftrightarrow\frac{x+1}{\left[x-2\right]\left[1-x\right]}>1\]
\[\Leftrightarrow\frac{-\left[1-x\right]\left[3-x\right]}{\left[x-2\right]\left[1-x\right]}\]
\[\Leftrightarrow\frac{x-3}{x-2}>0\]
\[\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3\ge0\\x-2>0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge3\\x>2\end{cases}\Leftrightarrow}x\ge3}\]
\[\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3< 0\\x-2< 0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< 3\\x< 2\end{cases}\Leftrightarrow}x< 2}\]
Vậy ...