Cryto Giá

Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 3{x^2} + 2 = mx - m\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - mx + m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} - 2x - 2 - m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\\{x^2} - 2x - 2 - m = 0\,\,\left[ * \right]\end{array} \right.\end{array}\]

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình [*] phải có 2 nghiệm phân biệt khác \[1\].

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 2 - 2 - m \ne 0\\\Delta ' = 1 + 2 + m > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 3\\m > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 3\].

Gọi \[{x_1};\,\,{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình [*], áp dụng định lí Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - 2 - m\end{array} \right..\]

Do \[A,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng, lại có \[AB = BC\] nên \[B\] là trung điểm của \[AC\], khi đó \[B\left[ {1;0} \right]\] [vì \[{x_B} = \dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\]].

Do đó \[A\left[ {{x_1};m{x_1} - m} \right];\,\,C\left[ {{x_2};m{x_2} - m} \right]\].

Vì \[B\] là trung điểm của\[AC\] nên: AC \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1\\\dfrac{{m{x_1} - m + m{x_2} - m}}{2} = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow m\left[ {{x_1} + {x_2}} \right] - 2m = 0 \Leftrightarrow 2m - 2m = 0\] [luôn đúng với mọi \[m\]].

Kết hợp điều kiện ta có \[m \in \left[ { - 3; + \infty } \right]\].

Chọn D.

Lời giải của GV Vungoi.vn

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

\[\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {{x^2} - 9} \right] = m\left[ {x - 4} \right]\] \[ \Rightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {{x^2} - 9} \right]}}{{\left[ {x - 4} \right]}} = m\,\,\,\,\left[ 1 \right]\], \[\left[ {x \ne 4} \right]\]

Số nghiệm của \[\left[ 1 \right]\] bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right] = \dfrac{{\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {{x^2} - 9} \right]}}{{\left[ {x - 4} \right]}}\] và \[y = m\]

Ta có: \[f'\left[ x \right] = \dfrac{{2x\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {x - 4} \right] + 2x\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {x - 4} \right] - \left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} - 1} \right]}}{{{{\left[ {x - 4} \right]}^2}}} = \dfrac{{3{x^4} - 16{x^3} - 10{x^2} + 80x - 9}}{{{{\left[ {x - 4} \right]}^2}}}\]

\[f'\left[ x \right] = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,3{x^4} - 16{x^3} - 10{x^2} + 80x - 9 = 0\]

Giải phương trình bằng MTBT:

- Mở chức năng Table [MODE 7]

Nhập vào máy tính hàm: \[f\left[ x \right] = 3{x^4} - 16{x^3} - 10{x^2} + 80x - 9\]

Ấn \['' = ''\] rồi đến bước Start ấn \['' - 7''\], bước End ấn \[''7''\], bước Step ấn \[''1''\] rồi ấn \['' = ''\]

Quan sát bảng và tìm các giá trị của \[x\] mà \[f\left[ x \right]\] đột ngột chuyển từ âm sang dương và dương sang âm, ở đây là \[ - 3; - 2;0;1;3;5\]

- Thoát ra ngoài [MODE 1] và nhập: \[3{x^4} - 16{x^3} - 10{x^2} + 80x - 9 = 0\]

Sử dụng chức năng giải phương trình

+ Ấn SHIFT + SOLVE, nhập \[ - 3\] ta được một nghiệm \[{x_1} = - 2,1685...\]