Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x + 1 x 2 với x 2
Tim gia tri lon nhat, nho nhat
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (114.93 KB, 6 trang ) Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN 9 2 ) 0 . Vậy Mx (dấu = xảy ra khi x = - . 5 5 5 9 2 với x = - . 5 5 II . Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đa về dạng Ax Ax 0 hoặc 2 0 2 k k Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 + 15 x + 16 Vói x là các số thực dơng . 3x x 2 + 15 x + 16 ( x 4) 2 23 ( x 4) 2 23 23 Lời giải: Ta có Ax = = + với mọi x >0 thì + 3 3x 3x 3 3x 3 23 . Vậy GTNN của Ax = với x= 4. 3 Ax = Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 x 2 + 6 x + 10 với x thuộc tập hợp số thực. x 2 + 2x + 3 1 1 1 3 x 2 + 6 x + 10 Lời giải:Ta có Mx= 2 =3+ . Vì nên ta có 2 2 ( x + 1) + 2 ( x + 1) + 2 2 x + 2x + 3 M x= 1 Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN 1 Mx = 3 + ( x + 1) 2 + 2 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Fx,y = xy 2 + y 2 ( y 2 x) + 1 với x, y là các số thực. x2 y4 + 2y4 + x2 + 2 xy 2 + y 2 ( y 2 x) + 1 y4 +1 = vì y4 +1 0 với mọi giá trị của x2 y4 + 2y4 + x2 + 2 ( y 4 + 1)( x 2 + 2) 1 x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta đợc : Fx,y = 2 vì x2 0 với mọi x nên x2 + 2 2 x +2 1 1 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y = 2 2 x +2 1 Vậy Fx,y dật GTLN = với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý. 2 Lời giải:Ta có Fx,y = III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. 1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có: a + b 2 ab đạt đợc dấu = khi a=b . a + b+ c 3 abc đạt đợc dấu = khi a=b = c . 2. Các ví dụ : Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8x 2 + 2 với x > 0. x 2 2 8x 2 + 2 Lời giải:Ta có Ax = = 8x + . Ta thấy 8x và là hai đại lợng lấy giá trị dơng x x x 2 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và ta có: x 2 2 1 2 8x + 2 8 x. = 2 16 = 8 dấu = xẩy ra khi 8x = = > x = . x x 2 x 1 Vậy GTNN Ax = 8 với x = . 2 Ax = Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng . Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) . Ta có x3 > 0 , còn 16 x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < 3 16 (*) ta thấy x3 và 16 x3 là hai đại lợng dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x3 và 16- x3 ta có 2 x 3 (16 x 3 ) x 3 + 16 x 3 = 16 suy ra x3( 16 x3) 64 dấu = xẩy ra khi x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của Bx = 64 , với x=2. IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ 8 : Với giá trị nào của x thì biểu thức 2 Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN 4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356 Px = đạt giá trị nhỏ nhất. x 2 + 2x + 5 256 4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356 Lời giải: Ta có : Px = = 4x2 + 8x+ 20 + 2 2 x + 2x + 5 x + 2x + 5 Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt 256 256 với y > 0 , ta thấy 4y và là hai đại lợng luôn y y 256 dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và ta có : y 256 256 256 2 4 y. = 2.2.16 = 64 . Dấu = xẩy ra khi 4y = 4y + => y = 8 hoặc y = -8 y y y y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y + từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64. Ví dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực. Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x 2x2 + 2 = -y +6 . Vậy Qx = y ( 6- 2y). Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3 Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y 2 2 y (6 2 y ) => 3 2 y (6 2 y ) => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi 2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+ 2 2 hoặc x= 1 .Vậy 2 2 2 2 hoặc x= 1 - . 2 2 Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Hx = (8 + x2 + x )(20 x2 x) với x là các số thực tuỳ ý . Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+ 1 2 31 ) + >0 với mọi giá trị của x 2 4 *20 x2 x > 0 khi -5 < x < 4 . Nh vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 x2 x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4). Với -5
Tìm giá trị nhỏ nhất của y= x + 1/x-1 Cho x<1.> Loga Toán lớp 9
(0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} + 2\sqrt x \)
A. B. C. D.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \frac{9}{{x - 2}} + 2010 \) với \(x > 2. \)
A. B. C. D.
a) \(\left(\frac{x+3}{x-2}+\frac{x+2}{3-x}+\frac{x+2}{x^2-5x+6}\right):\left(\frac{1-x}{x+1}\right)\) = \(\left(\frac{x+3}{x-2}-\frac{x+2}{x-3}+\frac{x+2}{x^2-2x-3x+6}\right):\left(\frac{1-x}{x+1}\right)\) = \(\left(\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}-\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\right):\left(\frac{1-x}{x+1}\right)\) = \(\left(\frac{x^2-9-x^2+4+x+2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\right).\frac{x+1}{1-x}\) =\(\frac{-3+x}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}.\frac{x+1}{1-x}\) =\(\frac{1}{\left(x-2\right)}.\frac{x+1}{1-x}\) =\(\frac{x+1}{\left(x-2\right)\left(1-x\right)}\) b) Để A >1 \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{\left(x-2\right)\left(1-x\right)}>1\) \(\Leftrightarrow\frac{-\left(1-x\right)\left(3-x\right)}{\left(x-2\right)\left(1-x\right)}\) \(\Leftrightarrow\frac{x-3}{x-2}>0\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3\ge0\\x-2>0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge3\\x>2\end{cases}\Leftrightarrow}x\ge3}\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3< 0\\x-2< 0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< 3\\x< 2\end{cases}\Leftrightarrow}x< 2}\) Vậy ... |