§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a. b, được xác định bởi công thức sau: a.b = |a|.|b|cos[a,b] Các tính chất của tích vô hưổng Với ba vectơ a, b, C bất kì và mọi số k ta có: a.b = b.a [tính chất giao hoán]; a.[b + c] = a.b + a.c [tính chất phân phối]; [ka].b = k[a.b] = a.[kb]; -2 _ -.2 _ - a > 0, a=0 o a = 0. Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: [a + b]2 = a2 + 2.a.b + b2 ; [a-b]2 =a2-2.a.b + b2; [a + b].[a- b] = a2 -E]2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Cho a - [ai ; a2], b = [bi; b2] a.b = a1b1+a2b2 Nhận xét: a, b đều khác ỏ thì a 1 b a1b1 +a2b2 = 0 4. ứng dụng Độ dài của vectơ Cho a = [ai; a2] thì la! = ựa2 + a2 Góc giữa hai vectơ Cho a = [ai; a2], b= [bi; b2] đều khácõ Khi đó cos[a,b] : a.b a1b1 + a2b2 •|b| +a2.ựbf +b Khoảng cách giữa hai điểm Cho A[xa; Ya] và B[xb; Yb] AB = ự[xB-XA]2+[yB-yA]2. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích võ hướng AB.AC, AC.CB. 2. Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp: Điểm o nằm ngoài đoạn AB; Điểm o nằm trong đoạn AB. tỹiải Khi o nằm ngoài đoạn AB ta có: Q Ạ B OA.OB = a.b.cosO0 = a.b Khi o nằm giữa hai điểm A và B ta có: ÕẨ.ÕB = a.b.cosl80° = -a.b * 2 ? Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa dường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA; Hãy dùng kết quả câu a] để tính AI.AM+ BI.BN theo R. tỹiải a] Ta có AI.AM = AI.AM.COS[AI.AM] = AI.AM.cosO0 = AI. AM và AI.AB = AI.AB. cos IAB AM = AI.AB.^= AI.AM AB Từ [1] và [2] suy ra ÃĨ.ĂM = ÃỈ.ÃB Tương tự BI.BN = BI.BN BI.BA = BI.BA.COSÍBẦ BN " = BI.BA.^-= BI.BN BA Từ đó suy ra BI.BN = BI.BA . * Cách khác: Ta có: ÃỈ.ÃM-ÃỈ.ĂB = ÃỈ[ÃM - Ãẽ] = AI.BM = 0 [vì Ãỉ 1 BM ] => ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB Tương tự: BI.BN = BI.BA. b] Ap dụng câu a] ta có ALAM + BI.BN = AI.AB + BỈ.BÁ = AI.AB + IB.AB = AB.[AI + IB] = AB2 = 4R2 Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A[1; 3], B[4; 2]. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB; Tính chu vi tam giác OAB; Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đố tính diện tích tam giác OAB. [ỹiẦi a] Giả sử D[xd; 0] nằm trên trục Ox. Ta có: DA = DB DA2 = DB2 o [1 - XD]2 + 32 = [4 - XD]2 + 22 X2 - 2xd + 1 + 9 = Xp - 8xd + 16 + 4 XD = VâyD[|;o]. Ta có: OA = 7l2 +32 = 7ĨÕ ; OB = V42 + 22 = 720 AB = ự[4 -1]2 + [2 - 3]2 = 7ĨÕ Chu vi tam giác OAB là: 2p = OA + OB + AB = 7ĨÕ + 720 + 7ĨÕ = 27ĨÕ + 72.7ĨÕ = 7ĨÕ[2 + 72] Vì OA = AB = 7ĨÕ và OB = 720 nên OB2 = OA2 + AB2 Vậy tam giác OAB vuông cân tại A. Diện tích tam giác OAB là: s = OA.AB = i.TĨÕ.TĨÕ = 5 [đvdt]. 2 2 * Cách khác: Ta có ÕA = [1; 3]; ÃB = [3; -1] => ÕẨ . Ãỗ = 1.3 - 3.1 = 0 => OA ± AB. Trên mặt phẳng Oxy hãy tinh góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau : ă = [2; -3], b = [6; 4]; ã= [3; 2], b = [5; -1]; a = [-2; -2^3], b= [3; 73 ]. Ta có: a Ta có: a . b = 2.6 + -3.4 = 0 => a 1 b hay [a, b ] = 90°. . b = 3.5 + 2.[-l] = 13 |ẵ| = 732 + 22 = 7Ĩ3 ; |b| = 726 => cos[a,b] - f, a.b 13 ,|b| 713.726 7Ĩ3.713.72 72 1 ^[a,b] = 45° a.b = [-2].3 + [-2731.73 =-6 - 6 =-12 |a| = 4; |b| = 2.73 => cos[a,b] = a'b = 12 = => [a, b] = 150° . ;.b 4.273 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A[7; -3]; B[8; 4]; C[1; 5]; D[0; -2]. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. Ta có: |Ãb| = ự[8 - 7]2 + [4 + 3]2 =750 = 572 |bc| = 7[1 - 8]2 + [5 - 4]2 = 750 = 572 |cd| = 7[0 - l]2 + [-2 - 5]2 = 750 = 572 |ÕÃ| = y/72 + [-1]2 = 750 = 572 => AB = BC = CD = DA nên tứ giác ABCD là hình thoi. Mặt khác ÃB= [1; 7]; ÃD = [-7; 1] nên Ãẽ.ÃD= l.[-7] + 7.1 = 0 AB 1 AD Vậy hình thoi ABCD có một góc vuông nên tứ giác ABCD là hình vuông. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A[ 2; 1]. Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ của điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c. $úỉi Ta có B[2; -1] là điểm đỗì xứng với A qua o. Gọi C[x; 2] ta có: CA = [-2 - x; -1]; CB = [2 - x; -3] AABC vuông tại c CA.CB =0 [-2 - x][2 - x] + 3 = 0 X2 - 1 X = ±1 Vậy có hai điểm cần tìm là: C[l; 2] và C'[-l; 2]. c 1. 2. 3. 4. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, Â = 60° a] Tính AB.CA ; b] Tính BC. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm o. Tính AB.AC và AO.BC Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 8. a] Tính AB.AC và góc A. b] Tính độ dài trung tuyến AM. c] Xác định điểm I thỏa 5IA + 3IC = õ. d] Tính AB.IA và BI. Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, CA = 6. Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: GA2 + GB2 + GC2 = [a2 + b2 + c2]. 3 Wert*? dắt: GA2= |aM2=|.ỉ[ÃB + ÃC]2 =j[b2+c2+2ÃB.ÃC] Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: [mã + 2MB].[mC + 3MD] = 0 dẩti.: Gọi I, J là điểm thỏa: IA + 2IB = õ và JC + 3JD = õ Tập hợp M là đường tròn đường kính IJ.
This Paper
A short summary of this paper
37 Full PDFs related to this paper
Download
PDF Pack
Tích vô hướng của hai vectơ – Giải bài tập hình học 10
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Chú ý:
2. Các tính chất của tích vô hướng
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
4. Ứng dụng
Độ dài của vectơ
Công thức tính độ dài của vectơ =[a1; a2]:
Góc giữa hai vectơ:
Cho 2 vectơ =[a1;a2] ; =[b1;b2] đều khác . Khi đó:
Khoảng cách giữa hai điểm
Tính khoảng cách giữa hai điểm A[xA; yA] , B[xB;yB] là:
Xem thêm:
PHẦN B.BÀI TẬP.