Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], chân \[H\] của đường cao \[AH\] chia cạnh huyền \[BC\] thành hai đoạn có độ dài \[4cm\] và \[9cm.\]
Gọi \[D\] và \[E\] là hình chiếu của \[H\] trên \[AB\] và \[AC.\]
a] Tính độ dài \[DE\].
b] Các đường thẳng vuông góc với \[DE\] tại \[D\] và \[E\] cắt \[BC\] theo thứ tự tại \[M\] và \[N\]. Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[BH ,\] \[N\] là trung điểm của \[CH.\]
c] Tính diện tích tứ giác \[DENM.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Công thức tính diện tích hình thang:\[S = \dfrac{1}{2}\left[ {a + b} \right].h\]
Trong đó: \[a,b\] là độ dài hai đáy hình thang, \[h\] là chiều cao.
Lời giải chi tiết
a] Xét hai tam giác vuông \[ABH\] và \[CAH\] có:
\[\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\] [cùng phụ với \[\widehat {BAH}\]]
\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^o}\]
\[\Rightarrow ABH\] đồng dạng \[ CAH\] [g.g].
\[ \Rightarrow\displaystyle{{AH} \over {CH}} = {{BH} \over {AH}}\]
\[ \Rightarrow A{H^2} = BH.CH \]
\[\Rightarrow AH=\sqrt {BH.CH} = \sqrt {4.9} \]\[\,= 6\,[cm] \]
Mặt khác, \[HD AB\] và \[HE AC\] nên \[\widehat {ADH} = \widehat {AEH} = \widehat {DAE} = {90^0}\]
Do đó, \[ADHE \] là hình chữ nhật.
Suy ra: \[DE = AH = 6 \;[cm]\] [hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau].
b] Ta có:
\[\begin{array}{l}
\widehat {MDH} = {90^o} - \widehat {ODH}\\
\widehat {MHD} = {90^o} - \widehat {OHD}
\end{array}\]
Mà\[ADHE \] là hình chữ nhật nên \[OD=OH=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{DE}{2}\]
Suy ra tam giác \[ODH\] cân tại \[O\] nên \[\widehat {ODH} = \widehat {OHD}\].
Do đó\[\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\].
Xét tam giác \[MDH\] có \[\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\] [chứng minh trên] nên \[\Delta MDH\] cân tại \[M\], do đó \[MD = MH\] [1]
\[\begin{array}{l}
\widehat {BDM} + \widehat {MDH} = {90^o}\\
\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,\,[cmt]\\
\Rightarrow \widehat {BDM} + \widehat {MHD} = {90^o}
\end{array}\]
Mặt khác:\[\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = {90^o}\] [hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau]
Do đó:\[ \widehat {BDM} = \widehat {MBD}\]
Suy ra \[\Delta BDM\] cân tại \[M\] nên \[MD = BM\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[M \] là trung điểm của \[BH\].
Chứng minh tương tự \[N\] là trung điểm của \[CH.\]
c] Theo chứng minh trên, ta có:
\[DM = MH \displaystyle= {1 \over 2}BH = \displaystyle{1 \over 2}.4 = 2[cm]\]
\[EN = NH \displaystyle= {1 \over 2}CH =\displaystyle {1 \over 2}.9 = 4,5\]\[\,[cm]\]
\[DE = AH = 6\,[cm] \]
Ta có \[MD//EN\] [cùng vuông góc với \[DE\]] nên \[DENM \] là hình thang.
Lại có \[\widehat {MDE}=90^0\] nên \[DENM \] là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:
\[\displaystyle {S_{DENM}} = {1 \over 2}\left[ {DM + EN} \right]DE \]\[\,\displaystyle = {1 \over 2}.\left[ {2 + 4,5} \right].6 = 19,5\,[c{m^2}]\].