Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đang là kiến thức khá quan trọng nhưng có rất nhiều em chưa biết về nó. Hôm nay chúng tôi sẽ liệt kê những công thức, cách tính bán kính đường tròn nội tiếp và cho một số bài tập có lời giải để các em hiểu và nhớ công thức lâu hơn.
>>Xem thêm
Đường tròn ngoại tiếp là gì?
Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác
Tính chất đường tròn ngoại tiếp:
- Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trục của tam giác
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
- Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau
Các công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng tích của 3 cạnh tam giác chia bốn lần diện tích:
R = [a x b x c] : 4S
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc A
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc B
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của góc C
4 cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
Cách 1: Dựa vào định lý sin trong tam giác
Cách 2: Dựa vào diện tích trong tam giác
Cách 3: Dựa vào hệ tọa độ
R = OA = OB = OC
Cách 4: Sử dụng tam giác vuông
Tâm của đường tròn ngoại tiếp trong tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Do vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là bằng nửa độ dài của cạnh huyền đó.
Bài tập có lời giải về bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bài tập 1: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Lời giải
Áp dụng định lý pytago ta có:
PQ = 1/2 MP
=> NQ = QM = QP = 5cm
Gọi D là trung điểm MP
=> ∆MNP vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP
=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP
=> Đường tròn ngoại tiếp ∆MNP là trung điểm Q của cạnh huyền và bán kính đường tròn ngoại tiếp MNP là R = MQ = 5cm
Đáp số: 5cm
Bài tập 2: Cho tam giác MNP đều với cạnh bằng 12cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆MNP?
Lời giải
GỌi Q, I lần lượt là trung điểm của cạnh NP, MN và MQ giao với PI tại O
Vì ∆MNP đều nên đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác
=> O là tâm của đường tròn ngoại tiếp
=> ∆MNP có PI là đường trung tuyến nên PI cũng là đường cao
Từ đó áp dụng định lý pytago
PI2 = MP2 – MP2
= 122 – 62
= 108cm
=> PI = 6√3cm
Bởi O là trọng tâm của ∆MNP nên:
PO = 2/3PI
= 2/3 x 6√3
= 4√3cm
=> Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆MNP là trọng tâm O và bán kính là PO = 4√3cm
Như vậy, để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thì có rất nhiều cách giải khác nhau. Tùy vào từng chủ đề bài tập mà các em học sinh hãy áp dụng đúng công thức nhé. Nếu như có khó khăn trong việc giải bài toán hãy để lại bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ đồng hành giải những khó khăn đó.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
Trong bài viết dưới đây Download.vn xin giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 9 và quý thầy cô toàn bộ kiến thức về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như: khái niệm, cách xác định, bán kính đường tròn, các dạng bài tập và một số bài tập có đáp án kèm theo. Thông qua tài liệu về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các bạn có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức, làm quen với các dạng bài tập để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học kì 1 Toán 9.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
2. Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?
Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp [hoặc có thể là 2 đường trung trực].
3. Tính chất đường tròn ngoại tiếp
- Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
- Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau.
4. Các công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng tích của 3 cạnh tam giác chia bốn lần diện tích:
Công thức tính bán kính đường tròn ngọai tiếp của góc
Công thức tính bán kính đường tròn ngọai tiếp của góc B
Công thức tính bán kính đường tròn ngọi tiếp của góc C
5. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
+ Tứ giác có bốn đỉnh các đều một điểm. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
+ Lưu ý: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB
- Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:
- Cách 1
+ Bước 1: Gọi I[x;y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R
+ Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình
- Cách 2:
+ Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
+ Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền
6. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.
Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:
+ Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c [Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm]
+ Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c
+ Bước 3: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
+ Bước 4: Do A,B,C ∈ C nên ta có hệ phương trình:
=> Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.
Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình [C] ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
7. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cho tam giác ABC
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC
8. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A[-1;2] B[6;1] C[-2;5]
Cách giải:
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:
Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn [C] ta được hệ phương trình:
Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I [3;5] bán kính R = 5 là:
Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A[1;2], B[-1;0], C[3;2]. Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hướng dẫn cách giảiGọi I[x;y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:
Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I[2;-1]
Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cách giải:
Ta có:
Áp dụng công thức Herong:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
VD 4: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Cách giải:
Áp dụng định lý Pytago ta có:
PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm.
Gọi D là trung điểm MP => ∆MNP vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP.
=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP.
Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm.
VD 5: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Cách giải
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và AD giao với CE tại O
Ta có: Tam giác ABC đều => Đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác.
Suy ra: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
∆ABC có CE là đường trung tuyến => CE cũng là đường cao.
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC có:
CE2 = AC2 – AE2 = 62 – 32 = 27 => CE =3√3cm.
Ta có: O là trọng tâm của tam giác ABC => CO = 2/3 CE = [2/3]3√3 = 2√3cm.
Suy ra: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là OC = 2√3cm.
VD5: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN=6 cm, N P=8 cm,. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Giải:
Đáp án bài tập 1
Áp dụng định lý Pytago ta có:
Gọi D là trung điểm
Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp
9. Bài tập tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1: Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H [góc C khác góc vuông] và cắt đường tròn [O] ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K.
a, Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b, Chứng minh tam giác CIK là tam giác cân
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn [O; R]. Ba đường của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH [H thuộc BC]. Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD. Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AQ, BE, CF cắt nhau tại một điểm.
a, Chứng minh rằng tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b, Cho bán kính đường tròn tâm I là 2cm góc BAC = 500. Tính độ dài cung EHF của đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IEHF
Cập nhật: 19/04/2022