Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right)<0\) chứa không quá 9 số nguyên?

• A. 3279
• B. 3281
• C. 3283
• D. 3280

Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Do m là số nguyên dương nên 2m >1 => \({{\log }_{3}}2m>0\).

\({{3}^{x+2}}-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow {{3}^{x+2}}={{3}^{\frac{1}{2}}}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)

\({{3}^{x}}-2m=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}2m\).

Lập bảng biến thiên, ta kết luận: tập nghiệm bất phương trình này là \(\left( -\frac{3}{2};{{\log }_{3}}2m \right)\)

Suy ra, \({{\log }_{3}}2m\le 8\Leftrightarrow 2m\le {{3}^{8}}\Leftrightarrow m\le \frac{6561}{2}=3280.5\). 

Câu hỏi: Giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số $m$ để bất phương trình ${{4}^{x}}-2018m{{.2}^{x-1}}+3-1009m\le 0$ có nghiệm là
A. $m=1$
B. $m=2$
C. $m=3$
D. $m=4$

Lời giải

​

Đặt $t={{2}^{x}},t>0$.
Khi đó bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}-1009mt+3-1009m\le 0$
$\Leftrightarrow 1009m\ge \dfrac{{{t}^{2}}+3}{t+1}$ (do $t>0$ ).
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+3}{t+1}$, ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-3 \\
\end{aligned} \right.$$\overset{t>0}{\mathop{\Rightarrow }} t=1$

ycbt $\Leftrightarrow 1009m\ge \underset{t>0}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=2\Leftrightarrow m\ge \dfrac{2}{1009}$.
Vậy $m=1$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $m{{.9}^{x}}-\left( 2m+1 \right){{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right)?$
A. 5
B. Vô số
C. 8
D. 6

Lời giải

Ta có $m{{.9}^{x}}-\left( 2m+1 \right){{.6}^{x}}+m{{.4}^{x}}\le 0\Leftrightarrow m.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2x}}-\left( 2m+1 \right).{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}+m\le 0\left( * \right)$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}},$ khi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right).$
Ta có (*) trở thành $m.{{t}^{2}}-\left( 2m+1 \right).t+m\le 0$
$\Leftrightarrow m.{{\left( t-1 \right)}^{2}}\le t\Leftrightarrow m\le \dfrac{t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$ (vì ${{\left( t-1 \right)}^{2}}>0,$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}},$ với $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right).$
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{-t-1}{{{\left( t-1 \right)}^{3}}}<0,$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$.
Suy ra $m\le f\left( t \right),$ với mọi $t\in \left( 1;\dfrac{3}{2} \right)\Leftrightarrow m\le f\left( \dfrac{3}{2} \right)=6.$
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$
Vậy có 6 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D.

 

9x-4.6x+(m-1).4x≤0⇔322x-4.32x+(m-1)≤0(*)

Đặt 32x=t(t>0). PT trở thành t2-4t+m-1≤0(1)

PT(*) có nghiệm khi PT(1) có nghiệm

(1)⇔-t2+4t+1≥m

Đặt f(t)=-t2+4t+1=-(t-2)2+5

Ta thấy max f(t) = 5. Vậy đểf(t)≥m thì m≤5

KL: có 5 giá trị nguyên của m