Cho x nguyên và 2x+1 x 2 để P nguyên thì x đạt các giá trị sau

Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được  GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Tài liệu liên quan:

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng

trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên

thì nguyên hay nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k.

Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

2. Ví dụ tìm giá trị nguyên x để biểu thức nguyên

Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định

Để biểu thức D nhận giá trị nguyên

Do

Vậy x = 16 thì D nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 2: Tìm x ∈

để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

Ta có:

Để E nhận giá trị nguyên

Mà

Vậy x = 0 thì E nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 3: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 9.

b) Ta có:

A có giá trị nguyên nghĩa là

có giá trị nguyên

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc

là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để

là số nguyên thì không thể là số vô tỉ

Do đó

là số nguyên

=>

là ước tự nhiên của 5

Ta có bảng giá trị như sau:

	1	-1	5	-5
	4	2	8	-2
x	16 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)	64 (thỏa mãn)

Vậy để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì x ∈ {16; 4; 64}

Ví dụ 4: Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A(B - 2) đạt giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 4

b) Ta có:

P có giá trị nguyên nghĩa là

có giá trị nguyên

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc

là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để

 là số nguyên thì không thể là số vô tỉ

Do đó

là số nguyên

=>

 là ước tự nhiên của

Ta có bảng giá trị như sau:

	1	-1	2	-2
	3	1	4	0
x	9	1	16	0

Vậy để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì x ∈ {3; 1; 16}

Ví dụ 5: Cho biểu thức:

với x > 4

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4

Thực hiện rút gọn phân số ta có:

Trường hợp 1: Nếu 4 < x < 8 thì

khi đó

Do 4 < x < 8 nên 0 < x - 4 < 4 => A > 8

Trường hợp 2: Nếu x ≥ 8 thì

khi đó:

(Áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 8 khi x = 8

c) Xét 4 < x < 8 thì

. Ta thấy biểu thức A nguyên khi và chỉ khi => x = 4 là ước số nguyên dương của 16

Ta có Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}

Hay x - 4 ∈ {1; 2; 4; 8; 16}

=> x ∈ {5; 6; 8; 12; 20} đối chiếu với điều kiện suy ra x =5 hoặc x = 6

Xét x ≥ 8 ta có:

. Đặt . Khi đó ta có:

suy ra m ∈ {2; 4; 8} => x ∈ {8; 20; 68}

Kết luận: Để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {5; 6; 8; 20; 68}

3. Bài tập tìm giá trị x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm x ∈

để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a.

b.

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a.	b.
c.	d.

Bài 3: Cho biểu thức:

Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức

cũng có giá trị nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức:

a. Rút gọn P

b. Tìm x để P = -1

c. Tìm giá trị của x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức:

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để C = A.B nhận giá trị nguyên.

Bài 6: Cho hai biểu thức:

(với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.

b) Đặt P = A/B. Chứng minh rằng

c) Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài 7: Cho các biểu thức:

(với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16

b) Rút gọn biểu thức M = A + B

c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên.

Bài 8: Cho biểu thức

với

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Tìm x nguyên để biểu thức nguyên Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

• Luyện tập Toán 9
• Giải bài tập SGK Toán 9
• Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Tài liệu liên quan: