Câu hỏi : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn
A.360
B.343
C.523
D.347
Lời giải:
Gọi số cần lập x = a b c d; a,b,c,d ϵ {1,2,3,4,5,6,7} và a,b,c,d đôi một khác nhau.
Công việc ta cần thực hiện là lập số x thỏa mãn x là số chẵn nên d phải là số chẵn. Do đó để thực hiện công việc này ta thực hiện qua các công đoạn sau
Bước 1:Chọn d : Vì d là số chẵn nên d chỉ có thể là các số 2; 4; 6 nên d có 3 cách chọn.
Bước 2:Chọn a: Vì ta đã chọn d nên a chỉ có thể chọn một trong các số của tập {1,2,3,4,5,6,7}\{d} nên có 6 cách chọn a
Bước 3:Chọn b: Tương tự ta có 5 cách chọn b
Bước 4:Chọn c: Có 4 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có: 4.6.5.4=360 số thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A.
Cùng Top lời giải đi tìm hiểu về các quy tắc đếm lớp 11 nhé
1. Quy tắc cộng
Quy tắc:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này cómmcách thực hiện, hành động kia cóncách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó cóm+ncách thực hiện.
Đặc biệt:NếuAvàBlà hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử củaA∪Bbằng tổng số phần tử củaAvà củaB, tức là:
n[A∪B]=n[A]+n[B]
Ví dụ:Đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, máy bay. Biết có10chuyến ô tô,2chuyến tàu hỏa và1chuyến máy bay có thể vào được TP. Hồ Chí Minh. Số cách có thể đi để vào TP. Hồ Chí Minh từ Hà Nội là:
Hướng dẫn:
Có3phương án đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh là: ô tô, tàu hỏa, máy bay.
- Có10cách đi bằng ô tô [vì có10chuyến].
- Có2cách đi bằng tàu hỏa [vì có2chuyến].
- Có1cách đi bằng máy bay [vì có1chuyến].
Vậy có tất cả10+2+1=13cách đi từ HN và TP.HCM.
2. Quy tắc nhân
Quy tắc:
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu cómmcách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó cónncách thực hiện hành động thứ hai thì cóm.ncách hoàn thành công việc.
Ví dụ:Mai muốn đặt mật khẩu nhà có4chữ số. Chữ số đầu tiên là một trong3chữ số1;2;0, chữ số thứ hai là một trong3chữ số6;4;3, chữ số thứ ba là một trong4chữ số9;1;4;6và chữ số thứ tư là một trong4chữ số8;6;5;4. Có bao nhiêu cách để Mai đặt mật khẩu nhà?
Hướng dẫn:
Việc đặt mật khẩu nhà có4công đoạn [từ chữ số đầu tiên đến chữ số cuối cùng].
- Có3cách thực hiện công đoạn 1 [ứng với3cách chọn chữ số đầu tiên].
- Có3cách thực hiện công đoạn 2 [ứng với3cách chọn chữ số thứ hai].
- Có4cách thực hiện công đoạn 3 [ứng với4cách chọn chữ số thứ ba].
- Có4cách thực hiện công đoạn 4 [ứng với4cách chọn chữ số thứ tư].
Vậy có tất cả3.3.4.4=144cách để Mai đặt mật khẩu nhà.
3. Bài tập có lời giải
Bài 1:Từ các số tự nhiên 0, 1, 2,4, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là
Cách 1:Đếm trực tiếp
vậy với d # 0 ta có 4.5.5.4 = 400 số
Có tất cả 120 + 400 = 520 số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ dãy số 0,1,2,4,5,6,8
Cách 2:Đếm gián tiếp hay tính phần bù
Ta gọi :
A = { Tập hợp các số số tự nhiên có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1,2,4,5,6,8}
B = { Tập hợp các số tự nhiên lẻ có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1,2,4,5,6,8}
C ={ Tập hợp các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1,2,4,5,6,8}
số 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8 nên d thuộc {1,5} vậy d có 2 cách chọn
ta có a # 0, a # d => a có 5 cách chọn
Số cách chọn b là 5 cách và số cách chọn c là 4 cách
Bài 2 Cho tập A = {2,3,4,6,7,8}
a. Có bao nhiêu tập con chứa số 1 mà không chứa số 5
b. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số không bắt đầu bằng 123
Hướng dẫn giải
a. Giả sử tậpB = {2,3,4,6,7,8} không chứa 5
Gọi C là tập con của A và thỏa mãn đề yêu cầu bài toán bằng số tập con khi và chỉ khi C\{2} là tập con của B. Do đó, số tập con của A thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng số tập con của B bằng 26=64
4 số còn lại được lập từ 7 chữ số còn lại của tập A\{e} nên có7.6.5.4 = 840 cách
Vậy có tất cả 4.840 = 3360 số tự nhiên lẻ
Có 5.4 = 20 số tự nhiên có 5 chữ số bắt đầu bằng 123
Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 3360 – 20 = 3340
Câu hỏi:với 4 chữ số 0 5 7 2 viết được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?
Lời giải:
Dấu hiệu chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 ; 5.
=> Hàng đơn vị: Số lẻ chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 5.
Hàng trăm có 2 cách chọn [ chữ số 0 và chữ số 5 không đứng ở hàng trăm]
Hàng chục có 2 cách chọn [ trừ chữ số đã chọn ở hàng trăm và hàng đơn vị]
Các số lẻ có 3 chữ sốkhác nhau chia hết cho 5 là : 2x2x1=4 số [705 ; 725 ; 205 ; 275]
=> Có 4 số lẻ có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết hơn cho câu hỏitìm số lẻ ở đề bài nhé:
Tính chẵn lẻlà một thuật ngữ toán học mô tả đặc tính của một số nguyên có thể thuộc về một trong hai nhóm: chẵn hoặc lẻ.Số chẵnlà một số nguyên chia hết cho 2 vàsố lẻlà một số nguyên không phải là số chẵn.Chẳng hạn số 0 là một số chẵn.Tính chẵn lẻ không áp dụng cho các số không phải là số nguyên.
Có thể định nghĩa tập hợp số chẵn và số lẻ như sau:
Một số nguyên được biểu thị tronghệ thập phânlà chẵn hoặc lẻ tùy theo chữ số cuối cùng của nó là chẵn hay lẻ. Điều này có nghĩa là, nếu chữ số cuối cùng là 1, 3, 5, 7 hoặc 9, thì đó là số lẻ; không thì nó là số chẵn. Ý tưởng tương tự cũng đúng với bất kỳ cơ số chẵn nào. Cụ thể, một số được biểu thị tronghệ nhị phânlà số lẻ nếu chữ số cuối cùng của nó là 1 và chẵn khi chữ số cuối cùng của nó là 0. Trong một hệ số với cơ số lẻ, số đó là số chẵn chỉ khi tổng các chữ số của nó là chẵn.
Số chẵn là gì
Số chẵn là những con số có đuôi sau cùng là 0, 2, 4, 6, 8 và có thể chia hết cho 2. Ví dụ: 2 chia 2 = 1, 24 chia 2 = 12.
Nếu một số có thể được biểu diễn bằng công thức n = i x 2, với i là bất kỳ số nguyên nào, thì số n được gọi là “số chẵn”.
Ví dụ: 10 là số chẵn, vì 10 có thể được phân tích cú pháp; 10 = 5 x 2, trong đó 5 là số nguyên. 0 bằng 0 x 2 = 0 nên 0 phải là số chẵn.
Số lẻ là gì?
Số lẻ là những con số có đuôi sau cùng là 1, 3, 5, 7, 9 và không chia hết cho 2. Ví dụ: 3 chia 2 = 1.5, 7 chia 2 = 3.5,…
Chia cho 2
Chia một số chẵn cho 2 và chia một số lẻ cho 2 để lại 1. Ví dụ, 5 là một số lẻ, vì chia 2 cho 2 sẽ cho phần dư là 1. Tương tự, 4 là số chẵn vì nó có thể chia hết cho 2.
Xét khái niệm này, 0 chia cho 2 cũng bằng 0 nên kết luận 0 là số chẵn.
Dựa vào phản chứng
Nếu bạn giỏi toán, thì bạn có thể quen thuộc với phương pháp chứng minh cổ điển này. Theo nghĩa đen, đây là một phương pháp chứng minh “ngược”, từ giả thiết sai thành chứng minh giả thiết ngược lại là đúng.
Giả sử rằng 0 là một số lẻ, chúng ta đều biết rằng tất cả các số lẻ n được biểu diễn dưới dạng n = 2k +1, trong đó k là số nguyên bất kỳ.
Tuy nhiên, khi xét n = 0, bài toán này sẽ dẫn đến k = -0,5, không phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là số 0 không phải là số lẻ, nhưng nếu không phải là số lẻ thì chỉ có một số chẵn phải không?