Bài tập giải ích 12 trang 16 17sgk nâng cao năm 2024

Tìm cực trị của các hàm số sau. Bài 11 trang 16 và 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao – Bài 2. Cực trị của hàm số

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 11. Tìm cực trị của các hàm số sau:

1. \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1\);

2. \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 2x – 10\)

3. \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\);

4. \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right);\)

5. \(f\left( x \right) = {{{x^5}} \over 5} – {{{x^3}} \over 3} + 2\);

6. \(f\left( x \right) = {{{x^2} – 3x + 3} \over {x – 1}}\)

1. TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f’\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;\,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = – 1 \hfill \cr x = – 3 \hfill \cr} \right.;f\left( { – 1} \right) = – {7 \over 3};\,f\left( { – 3} \right) = – 1\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = – 3\), giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { – 3} \right) = – 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = – 1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { – 1} \right) = – {7 \over 3}\)

2. TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f’\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2 > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ‘ < 0\))

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) , không có cực trị.

3. TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(f’\left( x \right) = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} \over {{x^2}}};f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\,\,\,\,;f\left( 1 \right) = 2 \hfill \cr x = – 1;f\left( { – 1} \right) = – 2 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) = – 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = 2\).

4. TXĐ: \(D=\mathbb R\) Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\)

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr – x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,x < 0\, \hfill \cr} \right.\)

Với \(x > 0:\,f’\left( x \right) = 2x + 2 > 0\) với mọi \(x>0\)

Với \(x < 0:\,f’\left( x \right) = – 2x – 2\,;\,\,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)

\(f\left( { – 1} \right) = 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), giá trị cực tiểu \(f\left( 0 \right) = 0\)

5. TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f’\left( x \right) = {x^4} – {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} – 1} \right)\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;f\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr x = – 1;f\left( { – 1} \right) = {{32} \over {15}} \hfill \cr x = 1;f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) = {{32} \over {15}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}}\)

6. TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y’\left( x \right) = {{\left( {2x – 3} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} – 3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} – 2x} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) nên: \(\,\,f\left( x \right) \le 1\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( 0 \right) = 1\). Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = 1\)

\(*\,\,\,f\left( x \right) \ge {1 \over 2}\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = {1 \over 2}\).

Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1. \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\);

2. \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \(\left[ { - 4;0} \right]\);

3. \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\);

4. \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\);

5. \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);

6. \(f\left( x \right) = x - {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\);

Giải

1. \(D = \left[ { - 2;3} \right];f'\left( x \right) = 2x + 2;f'\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\)

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = - 5;f\left( { - 1} \right) = - 6;f\left( 3 \right) = 10\).

Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} = - 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \).

b)

\(D = \left[ { - 4;0} \right];\,f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f'\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( { - 4} \right) = - {{16} \over 3};f\left( { - 1} \right) = - {{16} \over 3};\)

\(f\left( { - 3} \right) = - 4;f\left( 0 \right) = - 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - 4\).

3. \(D = \left( {0; + \infty } \right);f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\)với mọi \(x \ne 0,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)

\(x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} = 2\). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

4. \(D = \left[ {2;4} \right];f'\left( x \right) = - 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) = - 4\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = - 4;\,\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = 4\).

e)

\(D = \left[ {0;1} \right];f'\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)

Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\)

6. \(D = \left( {0;2} \right];f'\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)

\(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} = {3 \over 2}\) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0;2} \right]\).

Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1. \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\)

2. \(y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\)

Giải

1. Đặt \(t = \sin x, - 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1\)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).

\(f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 2}\)

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = 3\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}}\).