Bài tập dãy số lớp 11 sách giải sgk
|
Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 4, nhà 25T2, lô N05, khu đô thị Đông Nam, đường Trần Duy Hưng, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Thành phố Hà Nội, Việt Nam
Lớp học
Tính năng
Đặc trưngTài khoản
Thông tin liên hệ+84 096.960.2660 Follow us Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số là tài liệu hữu ích hỗ trợ giải bài tập Toán lớp 11 dễ dàng và hiệu quả nhất. Tài liệu Giải Toán lớp 11 : Giới hạn của dãy số được trình bày đầy đủ nội dung là hệ thống danh sách các bài giải bài tập toán lớp 11 chi tiết, ngắn gọn, dễ hiểu bám sát theo nội dung chương trình học của sách giáo khoa cũng như sách bài tập toán 11. Các bạn học sinh hoàn toàn có thể tham khảo tài liệu giải toán 11 để làm bài tập, củng cố kiến thức và ôn luyện để chuẩn bị kiến thức tốt nhất cho các kì thi. Bài viết liên quan
Tài liệu Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số với những hướng dẫn giải bài tập toán cụ thể các em học sinh có thể ứng dụng cho việc làm bài tập tại nhà cũng như tự mình làm và so sánh kết quả và đánh giá khả năng học tập của mình tốt nhất. Việc sử dụng tài liệu tham khảo giải toán lớp 11 còn hỗ trợ quá trình nắm bắt được những phương pháp giải toán, lựa chọn cho mình cách giải nhanh chóng và cho kết quả chính xác nhất. Để học tốt Toán lớp 11 các bạn hãy cùng tham khảo chi tiết tài liệu giải bài tập Toán lớp 11 hay những tài liệu giải bài tập hình học 11 để ứng dụng cho quá trình học tập đạt kết quả tốt hơn. Sau bài Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số ở bài sau chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về giải Toán lớp 11: Giới hạn của hàm số, các bạn hãy cùng theo dõi nhé. Hãy chú ý ôn luyện thêm phần Giải Toán 11 trang 36, 37 của Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp để rèn luyên tư duy tính toán cũng như đạt được kết quả học tập Toán lớp 11 tốt hơn. Để đạt được kết quả học tập tốt hơn, các em cũng cần đặc biệt quan tâm tới nội dung Giải Toán 11 trang 40, 41 của Ôn tập chương I - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác một bài học rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Hơn nữa, Giải bài tập trang 97, 98 SGK Đại Số và Giải Tích 11 là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 mà các em cần phải đặc biệt lưu tâm. Với cách giải các dạng toán về Dãy số môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Dãy số lớp 11. Mời các bạn đón xem: Dãy số và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 11 1. Lý thuyết
- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : ℕ*→ ℝ n ↦ u(n). Dạng khai triển: u1; u2; u3 ;... ; un ;... Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số. - Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;... ;m} với m∈ℕ* được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1; u2; u3 ;... ; um , trong đó u1 là số hạng đầu và um là số hạng cuối. - Ba cách cho một dãy số: + Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát. + Cho dãy số bằng phương pháp mô tả. + Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
- Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un+1>un với mọi n∈ℕ*. - Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un+1 - Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un≤M, ∀n∈ℕ*. - Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un≥m, ∀n∈ℕ*. - Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m≤un≤M, ∀n∈ℕ*. 2. Các dạng bài tập Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số Phương pháp giải: Bài toán 1: Cho dãy số (un): un = f(n) (trong đó f(n) là một biểu thức của n). Hãy tìm số hạng uk. → Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm. Bài toán 2: Cho dãy số (un) cho bởi u1=aun+1=f(un) (với f(un) là một biểu thức của un). Hãy tìm số hạng uk. → Tính lần lượt u2 ; u3 ;... ; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3, …, thế uk-1 vào uk. Bài toán 3: Cho dãy số (un) cho bởi u1=a, u2=bun+2=c.un+1+d.un+e. Hãy tìm số hạng uk. → Tính lần lượt u3 ; u4;... ; uk bằng cách thế u1; u2 vào u3; thế u2;u3 vào u4; … ; thế uk -2; uk-1 vào uk. Bài toán 4: Cho dãy số (un) cho bởi u1=aun+1=fn,un. Trong đó f({n; un)}) là kí hiệu của biểu thức un + 1 tính theo un và n. Hãy tìm số hạng uk. → Tính lần lượt u2 ; u3 ;... ; uk bằng cách thế {1;u1} vào u2; thế {2;u2} vào u3; … ; thế {k-1;uk-1} vào uk. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi un=n2+3n+7n+1. Viết năm số hạng đầu của dãy. Lời giải Ta có năm số hạng đầu của dãy u1=12+3.1+71+1=112u2=22+3.2+72+1=173u3=32+3.3+73+1=254u4=42+3.4+74+1=7u5=52+3.5+75+1=476 Vậy năm số hạng đầu của dãy là: 112;173;254;7;476. Ví dụ 2: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=0un+1=nn+1un+1. Tìm số hạng u11. Lời giải Chọn D Ta có: u2=12(u1+1)=12u3=23(u2+1)=1u4=34(u3+1)=32u5=45(u4+1)=2u6=56(u5+1)=52u7=67(u6+1)=3u8=78(u7+1)=72u9=89(u8+1)=4u10=910(u9+1)=92u11=1011(u10+1)=5 Ví dụ 3: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=1; u2=2un+2=2un+1+3un+5. Tìm số hạng u8. Lời giải Chọn D Ta có: u3 = 2u2 + 3u1 + 5 = 12 u4 = 2u3 + 3u2 + 5 = 35 u5 = 2u4 + 3u3 + 5 = 111 u6 = 2u5 + 3u4 + 5 = 332 u7 = 2u6 + 3u5 + 5 = 1002 u8 = 2u7 + 3u6 + 5 = 3005 Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số Phương pháp giải Cách 1: Xét hiệu un+1 – un - Nếu un+1−un>0 ∀n∈ℕ* thì (un) là dãy số tăng. - Nếu un+1−un<0 ∀n∈ℕ* thì (un) là dãy số giảm. Cách 2: Khi un>0 ∀n∈ℕ*, ta xét tỉ số un+1un - Nếu un+1un>1 thì (un) là dãy số tăng. - Nếu un+1un<1 thì (un) là dãy số giảm. Cách 3: Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1>un ∀n∈ℕ* (hoặc un+1 * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số - Dãy số (un) có un = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0 - Dãy số (un) có un = qn + Không tăng, không giảm khi q < 0 + Giảm khi 0 < q < 1 + Tăng khi q > 1 - Dãy số (un) có un=an+bcn+d với điều kiện + Tăng khi ad – bc > 0 + Giảm khi ad – bc < 0 - Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm - Nếu dãy số (un) tăng hoặc giảm thì dãy số (qn. un) (với q < 0) không tăng, không giảm. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau ∀n∈ℕ*: Lời giải Xét hiệu un+1−un=3n+9−3n+6=3>0 ∀n∈ℕ* Vậy (un) là dãy số tăng. Xét hiệu un+1−un=n+6n+3−n+5n+2=n+6n+2−n+5n+3n+2n+3 \=−3n+2n+3<0 (do n là số tự nhiên) Vậy (un) là dãy số giảm. un+1−un=n+1−n+12−1−n−n2−1=1n+1+n+12−1−1n+n2−1<0 Vậy (un) là dãy số giảm. Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau ∀n∈ℕ*: Lời giải Xét tỉ số un+1un=5n+1n+12.n25n=5n2n2+2n+1 \=n2+2n+1+4n2−2n−1n2+2n+1=1+2nn−1+2n2−1n2+2n+1>1, ∀n∈ℕ* Vậy (un) là dãy số tăng. Ta có: un+1un=2n+1(n+1)!:2nn!=2n+1(n+1)!.n!2n=2n+1<1 ∀n∈ℕ* Vậy (un) là dãy số giảm.
Ta có: un=n2+n+1>0 ∀n∈ℕ* ⇒un+1=n+12+n+1+1 un+1un=(n+1)2+(n+1)+1n2+n+1=n2+3n+3n2+n+1>1 ∀n∈ℕ* Vậy (un) là dãy số tăng. Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số Phương pháp giải: - Cách 1: Dãy số (un) có un = f(n) là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un=f(n)≤M,∀n∈ℕ* hoặc un=f(n)≥m,∀n∈ℕ* - Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn Dãy số (un) có un=qn q≤1 bị chặn Dãy số (un) có un=qn q<−1 không bị chặn Dãy số (un) có un = qn với q > 1 bị chặn dưới Dãy số (un) có un = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a <0 Dãy số (un) có un = an2 + bn 8+ c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0 Dãy số (un có un = amnm + am-1nm-1 +... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu am < 0 Dãy số (un) có un=PnQn trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q(n) Dãy số (un) có un=PnQn trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n). Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của dãy số sau (với ∀n∈ℕ*):
Lời giải
Ta có un=4n+5n+1>0,∀n∈ℕ* Mặt khác un=4n+5n+1=4(n+1)+1n+1=4+1n+1≤4+12=92⇒un≤92,∀n∈ℕ* Suy ra 0 Vậy dãy số (un) bị chặn Ta có: n≥1⇔3n≥3⇔3n−1≥2⇔un≥2 ∀n∈ℕ* Vậy (un) bị chặn dưới; không bị chặn trên. Ta có un=n3n2+1>0, ∀n∈ℕ* Vậy (un) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu. Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau: Lời giải Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy Casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: −2≤un≤1,∀n∈ℕ* |
