Viết phương trình tham số đi qua 1 điểm và song song

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tham số của đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Viết phương trình tham số của đường thẳng: Viết phương trình tham số của đường thẳng. Để lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M [x0; y0] thuộc ∆ và một véc-tơ chỉ phương u = [u1; u2]. Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆: x = x0 + tu1, y = y0 + tu2. BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua M[1; 2] và có vec-tơ chỉ phương u = [−1; 3]. Lời giải. Phương trình tham số đường thẳng ∆: x = 1 − t, y = 2 + 3t. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua A [1; 2], B [3; 1]. Viết phương trình tham số đường thẳng d. Đường thẳng d qua A [1; 2] và nhận AB = [2; −1] làm véc-tơ chỉ phương. Vậy phương trình tham số đường thẳng d: x = 1 + 2t, y = 2 − t. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d đi qua M[−2; 3] và song song với đường thẳng EF. Biết E[0; −1], F[−3; 0].Viết phương trình đường thẳng d. Lời giải. EF = [−3; 1]. Phương trình tham số đường thẳng d: x = −2 − 3t, y = 3 + t. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A[3; −4], B[0, 6]. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. Ta có: AB = [−3; 10]. Đường thẳng [AB] qua A[3; −4] và nhận AB = [−3; 10] làm véc-tơ chỉ phương. Vậy phương trình đường thẳng [AB]: x = 3 − 3t, y = −4 + 10t. Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A[1; −4] có một véc-tơ chỉ phương là u = [5; 1]. Phương trình đường thẳng [d]: x = 1 − 4t, y = 5 + t.

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M[1; −1] có một véc-tơ chỉ phương là u = [0; 1]. Phương trình đường thẳng [d]: x = 1, y = −1 + t. Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A[0; −4] và song song với đường thẳng ∆ có phương trình tham số x = 2017 + 2t, y = 2018 − t. Đường thẳng ∆: có véc-tơ chỉ phương u = [2; −1]. Vì đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên d nhận u = [2; −1] làm véc-tơ chỉ phương. Lại có d đi qua điểm A[0; −4] nên phương trình tham số đường thẳng d: x = 2m, y = −4 − m.

Trong môn toán lớp 10, phương trình đường thẳng là kiến thức quan trọng được chú ý giảng dạy. Đây là dạng bài tập không quá khó nhưng lại rất dễ bị nhầm lẫn trong lúc giải. Để giải được bài tập này đòi hỏi bạn phải nhớ lý thuyết và tập giải nhiều lần. Bài viết sau đây danangmoment.com sẽ gửi đến bạn cách giải bài tập liên quan đến phương trình đường thẳng. Các bạn hãy lưu ý nhé!

Phương trình đường thẳng là kiến thức trọng tâm của môn Toán lớp 10Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳngVectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳngVectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n khác 0 và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với k khác 0, vecto kn cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định :

– Điểm A[x0; y0] thuộc d

– Một vectơ pháp tuyến n[ a; b] của d

Khi đó phương trình tổng quát của d là: a[x-x0] + b[y-y0] = 0

* Cho đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 [c’ ≠ c] .

Bạn đang xem: Viết phương trình Đường thẳng Đi qua 1 Điểm và song song với Đường thẳng

Bạn đang xem: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng

Trong các đề thi thì phương trình đường thẳng luôn là câu để học sinh lấy điểm

Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ a khác 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với k khác 0 và vecto ka cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Phương trình tham số của đường thẳng

Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định

– Điểm A[x0, y0] ∈ ∆

Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định

– Điểm A[x0, y0] ∈ ∆

[trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc]

Chú ý:

– Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.

– Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại

Hãy tham khảo video sau đây để hiểu hơn về phương trình đường thẳng nhé!

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc OxyOxy, cho đường thẳng dd

qua M0 [x0; y0] và nhận

làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng dd là

Trong trường hợp a và b đều khác 0 thì

ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d là

Phương trình chính tắc của đường thẳngPhương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Cách 1: 

Giả sử 2 điểm A và B cho trước có tọa độ là: A[a1;a2] và B[b1;b2]

Gọi phương trình đường thẳng có dạng d: y=ax+b

Vì A và B thuộc phương trình đường thẳng d nên ta có hệ

Thay a và b ngược lại phương trình đường thẳng d sẽ được phương trình đường thẳng cần tìm.

Cách 2 giải nhanh

Tổng quát dạng bài viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A[x1;y1] và B[x2;y2].

Cách giải:

Giả sử đường thẳng đi qua 2 điểm A[x1;y1] và B[x2;y2] có dạng: y = ax + b [y*]

Vì [y*] đi qua điểm A[x1;y1] nên ta có: y1=ax1 + b [1]

Vì [y*] đi qua điểm B[x2;y2] nên ta có: y2=ax2 + b [2]

Từ [1] và [2] giải hệ ta tìm được a và b. Thay vào sẽ tìm được phương trình đường thẳng cần tìm.

Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

 Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M [ x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d[M; d] =

+ Cho điểm A[ xA; yA] và điểm B[ xB; yB] . Khoảng cách hai điểm này là :

AB =

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2:

+ Cách 1: Áp dụng trong trường hợp a1.b1.c1 ≠ 0:

Các vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cách 2: Dựa vào số điểm chung của hai đường thẳng trên ta suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng

Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2[ nếu có] là nghiệm hệ phương trình:

Nếu hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 2 đường thẳng cắt nhau.

Xem thêm: What I Guess So /Not - What Is The Meaning Of I Guess So

Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì 2 đường thẳng song song.

Các dạng toán về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết PT đường thẳng [d] qua 1 điểm và có VTCP

– Điểm M0[x0;y0;z0], VTCP

* Phương pháp:

– Phương trình tham số của [d] là: 

– Nếu a.b.c ≠ 0 thì [d] có PT chính tắc là: 

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm A[1;2;-1] và nhận vec tơ
[1;2;3] làm vec tơ chỉ phương.

* Lời giải:

– Phương trình tham số của [d] là: 

Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

* Phương pháp

– Bước 1: Tìm VTCP 

– Bước 2: Viết PT đường thẳng [d] đi qua A và nhận

làm VTCP.

Ví dụ: Viết PTĐT [d] đi qua các điểm A[1; 2; 0], B[–1; 1; 3];

* Lời giải:

– Ta có: 

[-2;-1;3]

– Vậy PTĐT [d] đi qua A có VTCP là 

 có PT tham số: 

Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng Δ

* Phương pháp

– Bước 1: Tìm VTCP 

– Bước 2: Viết PT đường thẳng [d] đi qua A và nhận vecto u làm vecto chỉ phương.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A[2;1;-3] và song song với đường thẳng Δ: 

 làm VTCP

– Phương trình tham số của [d]: 

Dạng 4: Viết PT đường thẳng [d] đi qua A và vuông góc với mp [∝].

* Phương pháp

– Bước 1: Tìm VTPT vecto n của mp [∝]

– Bước 2: Viết PT đường thẳng [d] đi qua A và nhận vecto n làm vecto chỉ phương.

Bài tập áp dụng phương trình đường thẳng

Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A [1;2] và B[0;1].

Bài giải: 

Gọi phương trình đường thẳng là d: y=ax+by=ax+b

Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nê n ta có:

Thay a=1 và b=1 vào phương trình đường thẳng d thì d là: y=x+1

Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là : y=x+1

Bài giải

Với bài toán này chúng ta chưa biết được tọa độ của A và B là như nào. Tuy nhiên bài toán lại cho A và B thuộc [P] và có hoành độ rồi. Chúng ta cần đi tìm tung độ của điểm A và B là xong.

Tìm tọa độ của A và B:

Vì A có hoành độ bằng -1 và thuộc [P] nên ta có tung độ y =−[1]²=–1 => A[1;−1]

Bài viết trên đã gửi đến bạn lý thuyết cũng như những bài tập về phương trình đường thẳng. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn trong việc giải bài tập. Phương trình đường thẳng là yêu cầu của rất nhiều bài tập cũng như trong đề thi nên các bạn hãy lưu ý nhé!

Chuyên mục: Tổng hợpMới nhấtDành cho bạnTại sao nên chọn đại học quốc tế tokyo?Thuốc thiết yếu là gìSoạn bài bố cục văn bản lớp 8Lời khuyên cho mẹ bầu trước khi sinhđiểm chuẩn học viện quân y 2011đề thi trạng nguyên nhỏ tuổiTrẻ bị ọc sữa nhiềuCách chăm sóc cây nắp ấmCá sấu khổng lồ: cá sấu ẩn mình đoạt mạng lợn hoang trong chớp mắtPhương pháp lọc tinh trùngCao toàn mỹ sinh năm bao nhiêuCách gắn sim ghép

Video liên quan

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

+ Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ

+ Đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto ud→ =  uΔ→làm vecto chỉ phương .

+ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và có VTCP là ud→

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Ox thì có VTCP là

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Oy thì có VTCP là

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Oz thì có VTCP là

Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A [1; 2; 3] và song song với

. Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

B. Vậy phương trình tham số của d là:

C. Phương trình chính tắc của d là:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Phương trình chính tắc của d là:

Chọn D.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi qua A [0; 2; -1] và song song với

. Tìm mệnh đề sai ?

A. Điểm M[2; 8; - 3] thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d :

C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] : x+ 3y- z+ 10= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= 2 ta được điểm M [ 2; 8; -3] thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của d là:

Mặt phẳng [P]: x+ 3y – z+ 10= 0 có vecto pháp tuyến

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d là vecto pháp tuyến của măt phẳng [P]

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P].

=> C sai

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A[0; 1;2 ]; B[ -2; 1;2]; C [ -3; 2; 1]. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Đường thẳng BC đi qua B và C nên nhận vecto

làm vecto chỉ phương.

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M[ 2; -4; 1] và song song với trục hoành là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Trục hoành có vecto chỉ phương

Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua M [2; -4; 1] và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

. Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A[-2; - 3; -1] và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ đi qua điểm A[-2; -3; -1] và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình chính tắc của Δ là :

Chọn D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

. Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M[ -2; 3; 0] và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ qua điểm M[-2; 3; 0] và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua H[0; 3; 1] song song với đường thẳng AB. Biết A[ -1; 3; 2] và B[ 0; 2; 1]. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB đi qua A và B nên nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d song song với AB nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=>Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Chọn B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho điểm A[ 1; 2; 3] và B[ 3; 4; 5]. Gọi M là trung điểm AB. VIết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và song song với đường thẳng Δ:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa đọ điêm M là:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A.

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A [-1; -2; 4] và song song với

. Tìm mệnh đề sai

A. điểm H[ 1; -2; 2] thuộc đường thẳng d.

B. Vậy phương trình tham số của d là:

C. Phương trình chính tắc của d là:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Lời giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi qua A [- 2; 3; -4] và song song với

. Tìm mệnh đề sai ?

A. Điểm M[2; - 3; 4] thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d :

C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] : 2x- 3y + 4 z+ 1= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Lời giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= - 2 ta được điểm M [ 2; - 3; 4] thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của dlà:

Mặt phẳng [P]: 2x- 3y + 4z+ 1= 0 có vecto pháp tuyến

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vecto pháp tuyến của măt phẳng [P]

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P].

=> C sai

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A[-1; 2; 3 ]; B[ 0; -1; 2]; C [0; 0;1]. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Đường thẳng BC đi qua B và C nên nhận vecto

làm vecto chỉ phương.

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M[ 2; 0; 3] và song song với trục tung là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Trục tung có vecto chỉ phương

Vì d song song với trục tung nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua M [2; 0; 3] và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P]: 2x+ y- 3z+ 2= 0. Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A[1; 2; -1] và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến

.

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P] nên đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ đi qua điểm A[1; 2; -1] và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình chính tắc của Δ là

Chọn D

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm A[ -1; 2; 0] và B[ -2; 1; 1]. Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M[0; 2; 1] và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ qua điểm M[0; 2; 1] và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A[ 1; -2; 3]; B[ 2; -1; 0] và C[ 0; 5; 4]. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d qua B và song song với đường trung tuyến AM.

A.

B.

C.

D.Đường thẳng d không có phương trình chính tắc .

Lời giải:

+ M là trung điểm của BC nên tọa độ M[ 1; 2; 2].

+ Đường thẳng AM đi qua A và M nên nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d song song với AM nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc .

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A[-2; 0;1]; B[1; 0;0] và C[ 1; 3; 5]. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua G và song song với đường thẳng Δ:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A.