- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0 tại điểm M [x0; y0; z0] thuộc [P] cho trước
Quảng cáo
Gọi I [a; b; c] ⇒ IM→=[x0 - a ; y0 - b ; z0 - c]
Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→=[A;B;C]
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng [P] tại điểm M
Sử dụng các điều kiện cho trước để tìm k
⇒ I; R
Bài 1: Cho hai mặt phẳng [P] và [Q] có phương trình [P]: x – 2y + z – 1 = 0 và [Q]: 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng [P] và tiếp xúc với mặt phẳng [Q] tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng [Oxy] và có hoành độ xM=1
Hướng dẫn:
Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM=1 nên M [1; y0; 0]
Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0 =-5
⇒ M [1; -5;0]
Gọi I [a; b; c] là tâm mặt cầu
⇒ IM→=[1-a; -5-b; -c]
Mặt phẳng [Q] có vecto pháp tuyến n→=[2;1;-1]
Do mặt cầu tiếp xúc với [Q] tại điểm M nên IM→ vuông góc với mặt phẳng [Q]
⇒ IM→= k n→
Mặt khác I thuộc mặt phẳng [P] nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng [P]
⇒ a-2b+c-1=0
⇔ 1-2k+2[5+k]+k-1=0
⇔ k=-10
Với k=-10 thì I [21; 5; -10]
Bán kính của mặt cầu là R=|IM→ |=|k n→ |
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
[x-21]2 +[y-5]2 +[z+10]2 =600
Quảng cáo
Bài 2: Cho hai mặt phẳng [P]: 2x + 3y - z + 2 = 0, [Q]: 2x - y - z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [P] tại điểm A [1; -1; 1] và có tâm thuộc mặt phẳng [Q]
Hướng dẫn:
Gọi I [a; b; c] là tâm của mặt cầu
⇒ IA→=[1-a; -1-b; 1-c]
Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→=[2;3;-1]
Do mặt cầu tiếp xúc với [P] tại điểm A nên IA→ vuông góc với mặt phẳng [P]
⇒ IA→= k n→
Lại có I thuộc mặt phẳng [Q] nên ta có:
2a-b-c+2=0
⇔ 2[1-2k]+[1+3k]-1-k+2=0
⇔ k=2
Với k = 2 thì I [-3; -7; 3]
Bán kính mặt cầu: R=|IA→ |=|k n→ |
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
[x+3]2 +[y+7]2 +[z-3]2=56
Bài 3: Cho điểm A[2; 5; 1] và mặt phẳng [P]: 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng [P]. Viết phương trình mặt cầu [S] có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng [P] tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu.
Hướng dẫn:
Gọi H [a; b; c].
⇒ AH→=[a-2;b-5;c-1]
Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→=[6;3;-2]
Do H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng [P] nên AH→ vuông góc với mặt phẳng [P].
⇒ AH→ =k n→
Lại có H thuộc [P] nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0
⇔ 6[6k+2]+3[3k+5]-2[-2k+1]+24=0
⇔ k=-1
⇒ H[-4;2;3]
Gọi R là bán kính mặt cầu.
Mặt cầu [S] có diện tích là 784π
⇒ 4πR2 =784π ⇒ R=14
Gọi I [m, n, p] là tâm mặt cầu
⇒ IH→=[-4-m;2-n;3-p]
Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng [P] tại H nên ta có
Xét [*]: |t n→ |=R
Với t = 2 ta có I [-16; -4; 7]
Khi đó:
IA
⇒ A nằm ngoài mặt cầu.
Với t = - 2 ta có I [8; 8; -1]
Khi đó
IA