- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối[GTTĐ] ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Phương trình dạng |f[x]|=|g[x]| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:
hoặc |f[x]| = |g[x]|⇔ f2[x] = g2[x]
- Đối với phương trình dạng |f[x]| = g[x][*] ta có thể biến đổi tương đương như sau:
Hoặc
Bài 1: Giải phương trình |3x - 2| = x2 + 2x + 3
Hướng dẫn:
Ta có:
* Nếu x ≥ 2/3 ⇒ PT ⇔ 3x - 2 = x2 + 2x + 3 ⇔ x2 - x + 5 = 0 pt vô nghiệm
* Nếu x < 2/3 ⇒ PT ⇔ -3x + 2 = x2 + 2x + 3 ⇔ x2 + 5x + 1 = 0
⇔ x = [-5 ± √21]/2 hai nghiệm này đều thỏa mãn x < 2/3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = [-5 ± √21]/2
Quảng cáo
Bài 2: Giải phương trình |x3 - 1| = |x2 - 3x + 2|
Hướng dẫn:
Hai về không âm bình phương hai vế ta có
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1; -1 + √2; -1 - √2}
Bài 3: Giải phương trình
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: x ≠ 1
Phương trình tương đương
Đặt t = |x - 1 - 3/[x-1]|
Suy ra
Phương trình trở thành t2 + 6 = 7t ⇔ t2 - 7t + 6 = 0 ⇔
Với t = 1 ta có
Với t = 6 ta có
Vậy phương trình có nghiệm là
Bài 4: Giải phương trình |2x - 5| + |2x2 - 7x + 5| = 0
Hướng dẫn:
Ta có
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {5/2}
Quảng cáo
Bài 5: Phương trình [x+1]2 - 3|x+1| + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
Hướng dẫn:
Đặt t = |x + 1|, t ≥ 0
Phương trình trở thành t2 - 3t + 2 = 0 ⇔
Với t = 1 ta có |x + 1| = 1 ⇔ x + 1 = ±1 ⇔
Với t = 2 ta có |x + 1| = 2 ⇔ x + 1 = ±2 ⇔
Vậy phương trình có nghiệm là x = -3, x = -2, x = 0 và x = 1
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNKHOA TOÁNLỚP SƯ PHẠM TOÁN K29 Nhóm thực hiện:Lê Văn ĐẳngLê Thị Hà Giang Lê Hòa Hải Lê Thị HảiNguyễn Thị Diệu Hạnh Nguyễn Thị Mỹ HạnhPhạm Thị Mỹ Hạnh Đề tài : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐIBẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ [Bài kiểm tra học trình ] Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy nhơn, tháng 10 năm 2009.1LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán phổ thông, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt. Đây là mảng kiến thức được xem là tương đối khó đối với học sinh, bởi khi gặp bất kì bài toán nào mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối [đặc biệt ở là việc giải và biện luận phương trình] học sinh cần phải thận trọng trong từng bước giải ở mỗi trường hợp. Hiện nay, có khá nhiều sách viết về vấn dề này với lối trình bày, diễn đạt khác nhau và nhiều phương pháp giải cho dạng toán này. Trong đó, phương pháp đồ thị là phương pháp mà chúng tôi thấy khá hay cần phải nghiên cứu. Với vốn kiến thức của mình, cùng với sự tìm tòi, học hỏi chúng tôi đã cùng nhau đúc kết lại để làm nên đề tài này. Mặc dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài liệu hiện nay để viết nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và quý bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Nhóm sinh viên thực hiện2MỤC LỤCPHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT A. Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 B. Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f[x,m] = g[m] 2PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: y = |f[x]| 3 Dạng 2: y = f[|x|] 14 Dạng 3: y = |f[|x|]| 19 Dạng 4: y = |f[x]|g[x] 22KẾT LUẬN CHUNG 26TÀI LIỆU THAM KHẢO 27PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT3A.Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.Dạng 1: y = |f[x]| Ta có y = |f[x]| = f [x] khi f [x] 0f [x] khi f [x] 0ì³ïïíï- 0 .Rõ ràng là với mọi giá trị dương của y2 thì đường thẳng luôn cắt đường biểu diễn của y1 tại hai điểm C,D có hoành độ như sau:Điểm C : mx + 3 = 4 – m hay x= -m 1m-Điểm D : - mx - 3 = 4 – m hay x= -7 mm-Vậy: m = 0 : phương trình [1]vô nghiệm m = 4 : phương trình [1] có 1 nghiệm x= 34 0 < m < 4 : phương trình [1] có 2 nghiệm x= m 1m- và x= 7 mm- m < 0 : phương trình [1] có 2 nghiệm x = -m 1m- và x= -7 mm-Ví dụ 3 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x2 + 2x – 3| = m. [1]Bài giải: Xét hàm số [P] : y = x2 + 2x – 3MXĐ : D = .BBT: x -∞ -1 +∞y +∞ +∞ -4 Đồ thị : Ta lấy thêm 2 điểm A[-3,0] và B[1,0]Gọi [C] là đồ thị của hàm số y = |x2 + 2x -3| , gồm 2 phần:+ Phần phía trên trục hoành của [P].+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của [P] qua Ox8 Khi đó số nghiệm của phương trình [1] là số giao điểm của [C] và đường thẳng y = m ta được :-Với m < 0 : phương trình [1] vô nghiệm-Với m= 0 hoặc m > 4 : phương trình [1] có 2 nghiệm-Với 0 < m < 4 : phương trình [1] có 4 nghiệm-Với m = 4 : phương trình [1] có 3 nghiệm.Ví dụ 4 : Với giá trị nào của m thì phương trình : 2|x 2x|21m m 13-æö÷ç= + +÷ç÷çè ø [1] có 4 nghiệm phân biệt.Bài giải: Vì 2m m 1+ +> 0,với mọi m nên lấy logarit cơ số 1/3 hai vế phương trình [1] ta được: |x2 – 2x| = log1/3[m2 + m + 1] [2]Đặt log1/3[m2 + m + 1] = a . Khi đó phương trình [2] được viết lại |x2 – 2x| = a.Phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = |x2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt.9hoặcXét hàm số y = |x2 – 2x| = 22x 2x khi x 0 x 22x x khi 0 < x < 2ì- £³ïïíï-ïîCách 1: Dùng cho các học sinh biết khái niêm đạo hàmy’ = 2x 2 khi x 0 x 22 2x khi 0 < x < 2ì- < >ïïíï-ïîBBT:x -∞ 0 1 2 +∞y’ + - +y +∞ 1 +∞ 0 0Từ đó đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x2 – 2x| tại 4 điểm phân biệt⇔0 < a < 1 ⇔ 0 < log1/3[m2 + m + 1] < 113 < m2 + m + 1 < 1-1 < m < 0 Vậy với -1 3 : phương trình co 4 nghiệm phân biệt.II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:15Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình sau theo m : |x – 1| = 3x + 2m.Với giá trị nào của m thi phương trình trên vô nghiệm.Bài 2 : Xác định a để phương trình sau có 4 nghiệm khác nhau: |-2x2 + 10x -8| = x2 – 5x +a ĐS : 4 < a < 434Bài 3 : a.Khảo sát , vẽ đồ thị hàm số y = f[x] = x3 – 3x – 2. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x3 – 3x| + m – 2 = 0.Bài 4: Xác định m để phương trình : 4 31x 4x 32- + = lgm có 8 nghiệm phân biệt.Bài 5: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: a.2x x 2ax 3- -=- b. 2x 1a 5x+= - DẠNG II: y = f[|x|]I/ VÍ DỤ MINH HỌA:Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2|x| + 5 = 3m [1]Bài giải:Xét hàm số: y = 2x + 5Mxđ: D = RĐồ thị của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A[-2,1] và B[-1,3]Gọi [C] là đồ thị của hàm số y = 2|x| + 5, gồm 2 phần:Phần phía bên phải Oy của đồ thị y = 2x + 516Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. Khi đó số nghiệm của phương trình [1] là số giao đỉểm của [C] và đường thẳng y = 3m. Ta được:Với 3m < 5 m 5 m>5/3 thì phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt.Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 - 2|x| + m = 0 [1]Bài giải:Xét hàm số [P]: y = -x2 + 2xMxđ: D = RBBT: x 1 y 1 Đồ thị: ta lấy thêm 2 điểm O[0,0], A[2,0].17 Viết lại phương trình dưới dạng: - x2 + 2|x| = mGọi [C] là đồ thị hàm số y = -x2 + 2|x| gồm 2 phần: * Phần phía bên phải Oy của [P] * Đối xứng phần đồ thị trên qua OyKhi đó, số nghiệm của phương trình [1] bằng số giao điểm của [C] và đường thẳng y = m,ta được:- Với m > 1 : phương trình vô nghiệm.- Với m = 1 v m < 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.- Với 0 < m < 1 : phương trình có 4 nghiệm phân biệt- Với m= 0 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt.Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x – 1|3 + 3[x-1]2 + 1 = m Bài giải:a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f[x] = x3 + 3x2 + 1Mxđ: D = R Đạo hàm:+ y’ = 3x2 + 6x y’ = 0 3x2 + 6x = 0 + y” = 6x + 6 y” = 0 x = - 1BXD: x -1 y - 0 + 18Giới hạn: = x3[1 - + ] = BBT: x -2 0 y’ - 0 + 0 - y 5 1 Đồ thị của hàm số: b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x - 1|3 + 3[x-1]2 + 1 = f[|x-1|] với đường thẳng y = m.Đồ thị y = f[|x – 1|] được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f[x] theo hai bước: * Bước 1: Suy ra đồ thị y = f[x – 1] bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f[x] sang phải 1 đơn vị *Bước 2: Suy ra đồ thị y = f[|x – 1|] gồm: Phần bên phải đường thẳng y = 1 của đồ thị y = f[x – 1] 19y=f[x]y = 1y = f[x-1] Đối xứng phần đồ thị trên qua đường thẳng y = 1Biện luận:Với m < 1 phương trình vô nghiệm.Với m = 1 phương trình có 1 nghiệm.Với m > 1 phương trình có 2 nghiệm.Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình y = f[x] = = m [1]Bài giải:Xét hàm số y = f1[x] = Mxđ: D = R\{1} f1’[x]= < 0BBT: x 1 f1’[x] - - 2 f1[x] 2 = 2 Þ Tiệm cận ngang y = 2 = Þ Tiệm cận đứng x= 1Gọi [C] là đồ thị của hàm số y = f[x] = gồm 2 phần:- Bên phải Oy của đồ thị y = f1[x] = - Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy20 Khi đó nghiệm của phương trình [1] là số giao điểm của đồ thị [C] và đường thẳng y = m. Ta được:-Với m < 0 thì phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt.-Với m = 1 thì phương trình [1] có 1 nghiệm.-Với 1 < m 2 thì phương trình [1] vô nghiệm-Với m > 2 thì phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt.II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:Bài 1: Biện luận theo a số nghiệm của các phương trình sau:a/ x2 – [4 + a]|x| + 5 + 2a = 0b/ |x|3 – 6x2 + 9|x| - 3 + a = 0c/ |x – 1|3 + 3|x – 1| + 1 = ad/ = a Bài 2: Tìm tham số m để phương trình 2|x|3 – 3x2 +2 = m có 4 nghiệm phân biệt 21DẠNG III: y = |f[|x|]|I/ VÍ DỤ MINH HỌA:Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: |||x – 1| - 2|-1| = mBài giải:Đặt f[x] = |||x – 1| - 2|-1|Ta có bảng xét dấu sau:x -2 -1 0 1 2 3 4f[x] ||x+1| - 1| ||x – 3| - 1|f[x] |x+2| |x| |x – 2| |x – 4|f[x] -x - 2 x + 2 -x x 2 - x x - 2 4 - x x – 4Nhận xét: Đồ thị của f[x] = |||x – 1| - 2|-1| nằm phía trên trục hoành Từ đồ thị ta có :Với m > 1: phương trình có 2 nghiệm.Với m = 1: phương trình có 5 nghiệm.Với 0 < m < 1: phương trình có 8 nghiệmVới m = 0 : phương trình có 4 nghiệm.Với m < 0 : phương trình vô nghiệm.Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: |x2 – 4|x| +3 | = m + 1 [1]Bài giải:Xét hàm số y = x2 – 4|x| + 3, gồm 2 phần:- Phần phía bên phải Oy của y = x2 – 4x + 3- Đối xứng phần đồ thị trên qua OyGọi [C’] là đồ thị hàm số y = |x2 – 4|x| +3 |, gồm 2 phần:- Phần phía trên trục hoành của đồ thị [C]- Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox.22 Khi đó, số nghiệm của phương trình [1] bằng số giao điểm của [C’] và đường thẳng y = m + 1, ta được:Với m = -1 hoặc 0 < m < 2: phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệtVới -1 < m < 0: phương trình [1] có 8 nghiệm phân biệtVới m = 0: phương trình [1] có 6 nghiệm phân biệtVới m = 2: phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệtVới m > 2: phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt.Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình: y = = m [1]Bài giải:Xét hàm số y = Theo ví dụ 4 – Dạng II ta có đồ thị của hàm số y = [C]Gọi [C’] là đồ thị của hàm số y = , gồm 2 phần:- Phần phía trên trục hoành của [C]- Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox23Khi đó, số nghiệm của phương trình [1] bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = với đường thẳng y = m, ta được:- Với m < 0 : phương trình [1] vô nghiệm- Với 0 < m : phương trình có 2 nghiệm phân biệt.- Với m > 2: phương trình có 4 nghiệm phân biệt.II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:Biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo m:a/ |x3 – 4|x| + 3| = m +2b/ = lg m24DẠNG IV: y = |f[x]|g[x]I/ VÍ DỤ MINH HỌA:Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau: x|x – 1| + m = 0 [1]Bài giải:[1] m = - x|x – 1|Vậy nghiệm của phương trình [1] là hoành độ giao điểm của:- Đường thẳng [D] : y = m- Đường cong [P]: y = - x|x – 1| = Vẽ đồ thị y = -x2 + x [P1]Đỉnh [1/2,1/4]BBT: x ½ y ¼ Để vẽ [P] ta giữ nguyên đồ thị [P1] khi x và lấy đối xứng [P1] qua Ox khi x < 1 Đồ thị [P1] là đường đứt khúc, đồ thị [P] là đường nét liền Phương trình hoành độ giao điểm của [P] và [P1]:-x2 + x = m x2 – x + m = 0= 1 - 4m25