[1]
100 CÂU TRẮC NGHIỆM VỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC LỚP 11
CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1. Giải phương trình sin 2 0
3 3
x
.
A. x k k . B. 2 3 .
3 2
k
x k C. .
3
x k k D. 3 .
2 2
k
x k
Lời giải Phương trình sin 2 0 2
3 3 3 3
x x k
2 3
.
3 3 2 2
x k
k x k
Chọn D
Câu 2. Số nghiệm của phương trình sin 2 400 32
x với 1800 x 1800 là?
A. 2. B. 4. C. 6. D. 7.
Lời giải
Phương trình sin 2 400 3 sin 2 400 sin 600
2
x x
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
2 40 60 360 2 100 360 50 180
.
2 40 180 60 360 2 160 360 80 180
x k x k x k
x k x k x k
Xét nghiệm x 500 k180 .0 Vì 1800 x 1800 1800 500 k1800 18000
0
1 130
23 13 .
18 18 0 50
k k x
k
k x
Xét nghiệm x 800 k180 .0 Vì 1800 x 1800 1800 800 k1800 18000
0
1 100
13 5
.
9 9 0 80
k k x
k
k x
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài tốn.
Chọn B
Cách 2 [CASIO]. Ta có 1800 x 1800 3600 2x 360 .0
Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm sin 2 40 32
f X X với các
[2]
Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2 1
3 2
x trên đường tròn lượng giác là?
A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.
Lời giải
Phương trình
2 2
3 6 12
sin 2 sin .
3 6 2 2
3 6 4
x k x k
x k
x k x k
Biểu diễn nghiệm
12
x k trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí [hình 1].
Biểu diễn nghiệm
4
x k trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí [hình 2].
Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình.
Chọn C
Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng x k2
n số vị trí biểu diễn trên đường trịn lượng giác là n
.
Xét 2
12 12 2
x k x k có 2 vị trí biểu diễn.
Xét 2
4 4 2
x k x k có 2 vị trí biểu diễn.
Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau.
Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y sin3x và y sinx bằng nhau?
A.
2
.2
4
x k
k
x k B. .
4 2
x k
k
x k C. x k4 k . D. x k2 k .
Lời giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: sin3x sinx
Hình 1
O
O
[3]
3 2
.
3 2
4 2
x k
x x k
k
x x k x k
Chọn B
Câu 5. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 2 01 sin 2
x
x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x0 0;4 . B. x0 4 2; . C. 0
3; .2 4
x D. 0
3; .4
x
Lời giải
Điều kiện: 1 sin2x 0 sin2x 1.
Phương trình 2 cos 2 sin 22 cos 22 1 sin 2 1
0 cos 2 0
1 sin 2 sin 2 1
x x x
x x
x x
loạithỏa mãn
sin 2 1 2 2 .
2 4
x x k x k k
Cho 0 1
4 k k 4.
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với 1 3 3 ; .
4 4
k x
Chọn D
Câu 6. Hỏi trên đoạn 2017;2017 , phương trình sinx 1 sinx 2 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.
Lời giải
Phương trình sin 1 sin 1 2 .
2sin 2 vo nghiem
x
x x k k
x
Theo giả thiết
2017 2017
2 2
2017 2 2017
2 k 2 k 2
xap xi 320,765 k 321,265 k k 320; 319;...;321 .
Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn u cầu bài tốn.
Chọn D
Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3 3
4 2
x bằng:
A.
[4]
Ta có
3 2
3 4 3
sin 3 sin 3 sin
4 2 4 3 3 2
4 3
x k
x x
x k7 273 236 3
12 .
11 11 2
3 2
12 36 3
k
x
x k
k
k
x k x
TH1. Với minChomax7 70 0
7 2 24 36 .
7 17
36 3 0 1
24 36
x k k x
k
x
x k k x
TH2. Với minChomax11 110 0
11 2 24 36 .
11 13
36 3 0 1
24 36
x k k x
k
x
x k k x
So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là 13
36
x và nghiệm dương nhỏ nhất là 7
36
x .
Khi đó tổng hai nghiệm này bằng 13 7
36 36 6.
Chọn B
Câu 8. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của phương trình 0
3cos 5 45
2
x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 0 0
0 30 ;0
x . B. 0 0
0 45 ; 30
x . C. 0 0
0 60 ; 45
x . D. 0 0
0 90 ; 60
x .
Lời giải Ta có
0 0 0
0 0 0
0 0 0
5 45 30 360
3
cos 5 45 cos 5 45 cos30
2 5 45 30 360
x k
x x
x k
0 0 0 0
0 0 0 0
5 75 360 15 72
.
5 15 360 3 72
x k x k
k
x k x k
TH1. Với 0 0 max 0
5
15 72 0 1 57 .
24
x k k k x
TH2. Với 0 0 max 0
1
3 72 0 1 69 .
24
x k k k x
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x 57 .0
Chọn C
Câu 9. Hỏi trên đoạn ;2
2 , phương trình
13cos
14
x có bao nhiêu nghiệm?
[5]
Lời giải Phương trình cos 13 arccos13 2 .
14 14
x x k k
Với arccos13 214
x k . Vì ;2 arccos13 2 2
2 2 14
x k
CASIOxapxi
13
0,3105 0,9394 0 arccos .
14
k
k k x
Với arccos13 2 .14
x k Vì ;2 arccos13 2 2
2 2 14
x k
CASIOxapxi
13 13
0,1894 1,0605 0;1 arccos ; arccos 2 .
14 14
k
k k x k
Vậy có tất cả 3 nghiệm thỏa mãn.
Chọn B
Cách 2 [CASIO]. Dùng chức năng TABLE nhập hàm cos 1314
f X X với các thiết lập
Start , End 2 , Step
2 7. Ta thấy f X đổi dấu 3 lần nên có 3 nghiệm.
Cách 3. Dùng đường tròn lượng giác
Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn cung từ
2 đến 2 . Tiếp theo ta kẻ đường thẳng 1314
x . Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng 13
14
x cắt cung lượng giác vừa vẽ tại 3 điểm.
Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 150 sin .
2
x
x Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 2900 X. B. 200 X. C. 2200 X. D. 2400 X.
Lời giải Ta có cos 150 sin cos 150 cos 900
2 2
x x x x
O
[6]
0 0 0
0 0
0
0 0 0
15 90 360 50 240
2 .
210 720
15 90 360
2
x x k
x k
k
x x k x k
Nhận thấy 2900 X [do ứng với k 1 của nghiệm x 500 k2400].
Chọn A
Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2x cosx 0 trên 0;2 .
A. T 3 . B. 5 .
2
T C. T 2 . D. T .
Lời giải Ta có sin 2 cos 0 sin 2 cos sin 2 sin
2
x x x x x x
2
2 2
2 6 3
2 2 2
2 2
k
x x k x
x x k x k
.
Vì x 0;2 , suy ra
2 1 11
0 2 0;1;2
6 3 4 4 .
1 3
0
0 2 2
4 4
2
k
k k
k k
k
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn 0;2 là ;5 ;3 ; 3 .
6 6 2 2 T
Chọn A
Câu 12. Trên khoảng ;2
2 , phương trình cos 6 2x sinx có bao nhiêu nghiệm?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Lời giải Ta có cos 2 sin cos 2 cos
6 x x 6 x 2 x
2 2 2
6 2 3 .
2 2
2 2
6 2 9 3
x x k x k
k
k
x x k x
Vì ;2
2
x , suy ra
7 5
2 2 1
2 3 6 12 .
2 2 2 8 5 2; 1
2 9 3 3 12
k
k
k k k
k
k k
[7]
Chọn A
Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình tan 2x 150 1 trên khoảng 90 ;900 0 bằng:
A. 0 .0 B. 30 .0 C. 30 .0 D. 60 .0
Lời giải
Ta có tan 2x 150 1 2x 150 450 k1800 x 300 k90 0 k .
Do 90 ;900 0 900 300 900 900 4 2
3 3
x k k
0
0 0 0
0
1 60
60 30 30 .
0 30
k k x
k x
Chọn B
Câu 14. Giải phương trình cot 3x 1 3.
A. 1 5 .
3 18 3
x k k B. 1 .
3 18 3
x k k C. 5 .
18 3
x k k
D. 1 .
3 6
x k k
Lời giải Ta có cot 3 1 3 cot 3 1 cot
6
x x
1
1 1 5
3 1 .
6 3 18 3 3 18
k
x k x k k x
Chọn A
Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số tan4
y x và y tan 2x bằng nhau?
A. .
4 2
x k k B. .
12 3
x k k
C. .
12
x k k D. 3 1; , .
12 3 2
m
x k k k m
Lời giải
Điều kiện: cos 4 0 4 .
4 2
cos 2 0
4 2
x m
x
x m
x m
x
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: tan 2 tan4
[8]
2 .
4 12 3
x x k x k k
Đối chiếu điều kiện, ta cần có 3 1 , .
12 3 4 2 2
m
k m k k m
Vậy phương trình có nghiệm 3 1; , .
12 3 2
m
x k k k m
Chọn D
Câu 16. Số nghiệm của phương trình tan tan311
x trên khoảng ;24 là?
A. 1 B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Ta có tan tan3 3 .
11 11
x x k k
Do CASIO
xap xi
3
;2 2 0,027 1,72 0;1 .
4 4 11
k
x k k k
Chọn B
Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan5x tanx 0 trên nửa khoảng 0; bằng:
A. . B. 3
2 . C. 2 . D.
52 .
Lời giải
Ta có tan 5 tan 0 tan 5 tan 5 .
4
k
x x x x x x k x k
Vì x 0; , suy ra 0 0 4 0;1;2;3
4
k
k k k
.
Suy ra các nghiệm của phương trình trên 0; là 0; ; ;3 .4 2 4
Suy ra 0 3 3 .
4 2 4 2
Chọn B
Câu 18. Giải phương trìnhtan3 .cot 2x x 1.
A. .
2
x k k B. .
4 2
x k k C. x k k . D. Vô nghiệm.
[9]
Điều kiện: cos3 0 6 3 .sin 2 0
2
x k
x
k
x
x k
Phương trình tan 3 1 tan 3 tan 2 3 2 .
cot 2
x x x x x k x k k
x
Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x k không thỏa mãn .2
x k
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Chọn D
Câu 19. Cho tan 1 02
x . Tính sin 2
6
x .
A. sin 2 1.
6 2
x B. sin 2 3.
6 2
x C. sin 2 3.
6 2
x D. sin 2 1.
6 2
x
Lời giải Phương trình tan 1 0 tan 1
2 2
x x
.
2 4 4
x k x k k
Suy ra 2 2 2 2 2 .
2 6 3
x k x k k
Do đó sin 2 sin 2 2 sin 2 3.
6 3 3 2
x k
Chọn C
Câu 20. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx 1?
A. sin 2
2
x . B. cos 2
2
x . C. cotx 1. D. cot2x 1.
Lời giải
Ta có tan 1 .
4
x x k k
Xét đáp án C, ta có cot 1 .4
x x k k
Chọn C
Cách 2. Ta có đẳng thức cot 1 .tan
x
x Kết hợp với giả thiết tanx 1, ta được cotx 1. Vậy hai
[10]
A. .2
x k k B. x 2 k k .
x k
C. x 4 k2 k .
x k
D. .
2
x k k
Lời giải
Điều kiện: cos 0 .
2
x x k k
Phương trình cos 2 tan 0 cos 2 0
tan 0
x
x x
x2
.
4 2
2 x k
x k
k
x k
x k
thỏa mãnthỏa mãn
Chọn C
Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sinx m có nghiệm.
A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1.
Lời giải
Với mọi x , ta ln có 1 sinx 1.
Do đó, phương trình sinx m có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 1.
Chọn C
Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cosx m 0 vơ nghiệm.
A. m ; 1 1; . B. m 1; . C. m 1;1 . D. m ; 1 .
Lời giải
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx a.
Phương trình có nghiệm khi a 1.
Phương trình vơ nghiệm khi a 1.
Phương trình cosx m 0 cosx m.
Do đó, phương trình cosx m vơ nghiệm 1 1.1
m
m
m
Chọn A
Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx m 1 có nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
[11]
Phương trình có nghiệm khi a 1.
Phương trình vơ nghiệm khi a 1.
Do đó, phương trình cosx m 1 có nghiệm khi và chỉ khi m 1 1
1 m 1 1 2 m 0 m m 2; 1;0 .
Chọn C
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2 2
3
x m có
nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.
A. T 6. B. T 3. C. T 2. D. T 6.
Lời giải
Phương trình cos 2 2 cos 2 2.
3 3
x m x m
Phương trình có nghiệm 1 m 2 1 3 m 1
3; 2; 1 3 2 1 6.
m S T
Chọn D
Câu 26. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2cosx 3 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 .
6 S B.
11 .
6 S C.
13 .
6 S D.
13 .
6 S
Lời giải
Ta có
26
2 cos 3 0 cos cos .
6 2
6
x k
x x k
x k
Nhận thấy với nghiệm 2 1 11 .
6 6
k
x k x S
Chọn B
Câu 27. Hỏi 7
3
x là một nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2sinx 3 0. B. 2sinx 3 0. C. 2cosx 3 0. D. 2cosx 3 0.
Lời giải
Với 7
3
x , suy ra
7 3
sin sin 2 sin 3 0
3 2
7 1 2 cos 1 0
cos cos
3 2
x x
x
x
[12]
Chọn A
Cách 2. Thử 7
3
x lần lượt vào từng phương trình.
Câu 28. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 sin 4 1 0.3
x
A. .4
x B. 7 .
24
x C. .
8
x D. .
12
x
Lời giải Ta có 2 sin 4 1 0 sin 4 1 sin 4 sin
3 3 2 3 6
x x x
4 2 4 2
3 6 2 8 2 .
7 7
4 2
4 2
6
3 6 24 2
k
x k x k x
k
k
x k
x k x
TH1. Với Cho 0
min
1
0 0 .
8 2 8 2 4 8
k k
x k k x
TH2. Với Cho 0
min
7 7 7 7
0 0 .
24 2 24 2 12 24
k k
x k k x
So sánh hai nghiệm ta được
8
x là nghiệm dương nhỏ nhất.
Chọn C
Câu 29. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tan 2 3 03
x trên đường trịn lượng giác là?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Lời giải
Ta có tan 2 3 0 tan 2 3 tan 2 tan
3 3 3 3
x x x
2 2 .
3 3 2
k
x k x k x k
O
C
D
[13]
Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường trịn lượng giác là A, B, C,D.
Chọn A
Cách trắc nghiệm. Ta có 2
2 4
k
x k có 4 vị trí biểu diễn.
Câu 30. Hỏi trên đoạn 0;2018 , phương trình 3 cotx 3 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.
Lời giải
Ta có cot 3 cot cot .
6 6
x x x k k
Theo giả thiết, ta có 0 2018 xap xi 1 2017,833
6 k 6 k
3 k k 0;1;...;2017 . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa
mãn yêu cầu bài tốn.
Chọn D
Câu 31. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2cos2x 1?
A. sin 2.
2
x B. 2sinx 2 0. C. tanx 1. D. tan2x 1.
Lời giải Ta có 2 cos2 1 cos2 1
2
x x . Mà sin2 cos2 1 sin2 1.2
x x x
Do đó 2 2
2
sin
tan 1
cos
x
x
x . Vậy
2 2
2cos x 1 tan x 1.
Chọn D
Câu 32. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan2x 3?
A. cos 1.
2
x B. 4 cos2x 1. C. cot 1 .
3
x D. cot 1 .
3
x
Lời giải Ta có
2
2 2 2
2
sin
tan 3 3 sin 3cos
cos
x
x x x
x
2 2 2
1 cos x 3cos x 4cos x 1. Vậy tan2x 3 4 cos2x 1.
Chọn B
[14]
A.
2
3 , .
23
x k
k
x k
B.
2
3 , .
2 2
3
x k
k
x k
C. 3 3 , .3
k
x
k
k
D. 3 , .
3
k
x
k
k
Lời giải Ta có 4 sin2 3 sin2 3 sin 3
4 2
x x x .
Với
2
3 3
sin sin sin .
2
2 3 2
3
x k
x x k
x k
Với
2
3 3
sin sin sin .
4
2 3 2
3
x k
x x k
x k
Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường trịn lượng giác [hình vẽ].
Nếu tính ln hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đó là
3
x k .
Suy ra nghiệm của phương trình 3 3 , .3
3
k
x k x
k
k
k l
Chọn D
Câu 34. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3sin2x cos2x?
A. sin 1.
2
x B. cos 3.
2
x C. sin2 3.
4
x D. cot2x 3.
Lời giải
Ta có 3sin2x cos2x. Chi hai vế phương trình cho sin ,2x
ta được cot2x 3.
Chọn D
O
[15]
Câu 35. Với x thuộc 0;1 , hỏi phương trình cos 62 3
4
x có bao nhiêu nghiệm?
A. 8. B. 10. C. 11. D. 12.
Lời giải
Phương trình cos 62 3 cos 6 3.
4 2
x x
Với cos 6 3 cos 6 cos 6 2
2 6 6
x x x k .
1 1 35
0;1 0;1;2
36 3 12 12
1 0;1 1 37 1;2;3
36 3 12 12
k
k
k
x k k
k
x k k
có 6 nghiệm.
Với cos 6 3 cos 6 cos5 6 5 2
2 6 6
x x x k .
5 0;1 5 31
0;1;2
36 3 12 12
5 5 41
0;1 1;2;3
36 3 12 12
k
k
k
x k k
k
x k k
có 6 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.
Chọn D
Câu 36. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cosx m 1 0 có nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Lời giải Ta có 3 cos 1 0 cos 1
3
m
x m x .
Phương trình có nghiệm 1 1 1 1 3 1 3 0;1;2 .
3
m
m
m m
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m.
Chọn C
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2108;2018 để phương trình
cos 1 0
m x có nghiệm?
A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038.
Lời giải
Ta có mcosx 1 0 cosx 1.
[16]
Phương trình có nghiệm 1 1 1 1 2018;2018m 1;2;3;...;2018
m
m m
m .
Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m.
Chọn A
Câu13. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 sin 2x m 1 nhận
12
x làm nghiệm.
A. m 2. B. 2 3 1 .
3 2
m C. m 4. D. m 1.
Lời giải Vì
12
x là một nghiệm của phương trình m 2 sin 2x m 1 nên ta có:
2 2
2 .sin 1 1 2 2 2 4
12 2
m
m m m m m m .
Vậy m 4 là giá trị cần tìm.
Chọn C
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 1 sinx 2 m 0 có nghiệm.
A. m 1. B. 1.
2
m C. 1 1.
2
m D. m 1.
Lời giải
Phương trình 1 sin 2 0 1 sin 2 sin 2.
1
m
m x m m x m x
m
Để phương trình có nghiệm 1 2 11
m
m
1
2 2 1
0 1 0
2 1
1 1
1
2 3 2
1 0 0
1 1 1
m m m
m m m
m
m
m m m
là giá trị cần tìm.
Chọn B
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m 2 sin 2x m 1 vơ nghiệm.
A. 1;2 .
2
m B. ;1 2; .
2
m C. 1;2 2; .
2
m D. 1; .
2
m
Lời giải
[17]
TH2. Với m 2, phương trình 2 sin 2 1 sin 2 1.2
m
m x m x
m
Để phương trình vơ nghiệm
1 2
1
1 1;1 2 .
11
2 1 2
22
m m
m m
m
m m
mKết hợp hai trường hợp, ta được 1
2
m là giá trị cần tìm.
Chọn D
Câu 40. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos2x sin 2x 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .
4 S B. 2 S. C.
3.
4 S D.
5.
4 S
Lời giải
Phương trình 2 cos 2 1 cos 2 1
4 4 2
x x
2 2
4 4
cos 2 cos , .
4 4 2 2
4
4 4
x k
x k
x k
x k
x k
Xét nghiệm
4
x k , với k 1 ta được 3 .4
x
Chọn C
Câu 41. Số nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos2x 3 trên khoảng 0;
2 là?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Phương trình 1sin 2 3cos 2 3 sin 2 3
2 x 2 x 2 x 3 2
2 2
3 3
sin 2 sin , .
3 3 2 2
6
3 3
x k
x k
x k
x k
x k
0 0 1
2 2
k
k k khơng có giá trị k thỏa mãn.
0 1 1 0 .
6 2 6 3 6
k
k k k x
[18]
A. 7 .8
T B. 21 .
8
T C. 11 .
4
T D. 3 .
4
T
Lời giải
Phương trình cos2x sin2x sin 2x 2 cos2x sin 2x 2
cos 2 1 2 2 .
4 4 8
x x k x k k
Do
71
1 17 8
0 2 0 2
15
8 8 8 2
8
k
k x
x k k
k x
7 15 11
.
8 8 4
T
Chọn C
Câu 43. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của
3
3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3 .x
A. x0 2. B. x0 18. C. x0 24. D. x0 54.
Lời giải
Phương trình 3sin3x 4sin 33 x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1
1sin 9 3cos 9 1 sin 9 1
2 x 2 x 2 x 3 2
2
9 2
3 6 18 9
sin 9 sin
7 2
3 6 9 2
3 6 54 9
k
x k x
x
k
x k x
minCho 0
min
2 0 1 0
18 9 4 18 .
7 2 7 7
0 0
54 9 12 54
k
k
k
k k x
k k k x
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là .18
x
Chọn B
Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn.
Câu 44. Số nghiệm của phương trình sin5x 3 cos5x 2sin7x trên khoảng 0;
2 là?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
[19]
Phương trình 1sin 5 3cos5 sin7 sin 5 sin7
2 x 2 x x x 3 x
7 5 2
3 6
sin7 sin 5 .
3 7 5 2
3 18 6
x x k x k
x x k
k
x x k x
0 1 1 0 .
6 2 6 3 6
k
k k k x
0
18
1 8 2
0 1 .
18 6 2 3 3 9
72
18
k
k x
k k k x
k x
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.
Chọn D
Câu 45. Giải phương trình 3 cos sin 2 sin 2 .
2 2
x x x
A.
5 2
6 , .
2
18 3
x k
k
x k
B.
7 2
6 , .
2
18 3
x k
k
x k
C.
5 2
6 , .
726
x k
k
x k
D.
2
18 3 , .
2
18 3
x k
k
x k
Lời giải Ta có cos sin
2
x x và sin cos
2
x x.
Do đó phương trình 3 sinx cosx 2sin 2x 3 sinx cosx 2sin 2x
3 1
sin cos sin 2 sin sin 2 sin sin 2
2 x 2 x x x 6 x x 6 x
2
2 2
6 18 3 .
5
2 2 2
6 6
x x k x k
k
x x k x k
Xét nghiệm 1 '
, '
5 7
2 ' 2
6 6
k k
k k
x k x k .
Vậy phương trình có nghiệm 2 , 7 ' 2 , ' .
18 3 6
[20]
Chọn B
Câu 46. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin9x 3 cos7x sin7x 3 cos9x. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 0 ;0 .12
x B. 0 ; .
6 12
x C. 0 ; .
3 6
x D. 0 ; .
2 3
x
Lời giải
Phương trình sin 9x 3 cos9x sin7x 3 cos7x
9 7 2
3 3
sin 9 sin 7 5
3 3 9 7 2
48 8
3 3
x x k x k
x x k
x
x x k
maxCho 0
max
0 0 1
.
5 5
0 1
48 8 6 48
k
k
k k k x
k k k x So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn
nhất của phương trình là ;0 .
48 12
x
Chọn A
Câu 47. Biến đổi phương trình cos3x sinx 3 cosx sin3x về dạng sin ax b sin cx d với b, d
thuộc khoảng ;
2 2 . Tính b d.
A. .
12
b d B. .
4
b d C. .
3
b d D. .
2
b d
Lời giải
Phương trình 3 sin3x cos3x sinx 3 cosx
3sin 3 1cos3 1sin 3cos sin 3 sin .
2 x 2 x 2 x 2 x x 6 x 3
Suy ra .
6 3 2
b d
Chọn D
Câu 48. Giải phương trình cos 3 sin 0.1
sin2
x x
x
A. , .
6
x k k B. 2 , .
6
x k k C. 7 2 , .
6
x k k D. 7 , .
6
x k k
[21]
Điều kiện sin 1 0 sin 1 sin sin 6 2 .5
2 2 6 2
6
x k
x x x k
x k
Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường trịn lượng giác [Hình 1].
Phương trình cosx 3 sinx 0 cosx 3 sinx
cot 3 cot cot .
6 6
x x x l l
Biểu diễn nghiệm
6
x l trên đường trịn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.
Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm 26
x k . Do đó phương trình có nghiệm 7 2 .6
x l l
Chọn C
Câu 49. Hàm số 2 sin 2 cos 2
sin 2 cos 2 3
x x
y
x x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Ta có 2sin 2 cos 2 2 sin 2 1 cos 2 3 .
sin 2 cos 2 3
x x
y y x y x y
x x
Điều kiện để phương trình có nghiệm y 22 y 12 3y 2 7y2 2y 5 0
O
Hình 1
O
[22]
5
1 1;0
7
y
y y nên có 2 giá trị nguyên.
Chọn B
Câu 50. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos2x 3 sin2x 3 sinx cosx 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x0 0;12 . B. x0 12 6; . C. x0 6 3; . D. x0 3 2; .
Lời giải
Phương trình 1cos 2 3sin 2 3sin 1cos 1
2 x 2 x 2 x 2 x
sin 2 sin 1
6 x x 6 .
Đặt 2 2 2 2 .
6 6 3 6 2
t x x t x t x t
Phương trình trở thành sin 2 sin 1 cos 2 sin 12
t t t t
2
2sin t sint 0 sin 2sint t 1 0.
sin 0 0 1 min 0 .
6 6 6
k
t t k x k k k x
min
min
1
2 2 0 0 .
1 6 3 6 3
sin
5 1
2 2 2 0 0 .
6 2
k
k
t k x k k k x
t
t k x k k k x
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là ; .6 12 6
x
Chọn B
Câu 51. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
sin 3 cos 2
3 3
x x m vơ nghiệm.
A. 21. B. 20. C. 18. D. 9.
Lời giải
Phương trình vơ nghiệm 12 3 2 2 2 4 2 4 0 1
1
m
m m
m
10;10 10; 9; 8;...; 2;2;...;8;9;10
m
m m có 18 giá trị.
[23]
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cosx sinx 2 m2 1 vô nghiệm.
A. m ; 1 1; . B. m 1;1 . C. m ; D.
;0 0; .
m
Lời giải
Phương trình vơ nghiệm 12 12 2 m2 1 2
4 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0.
m m m m m m
Chọn D
Câu 53. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
1 sin cos 1
m x m x m có nghiệm.
A. 21. B. 20. C. 18. D. 11.
Lời giải
Phương trình có nghiệm 12 2 1 2 2 4 0 0
4
m
m m m m m
m10;10 10; 9; 8;...; 4;0;1;2;...;8;9;10
m
m m có 18 giá trị.
Chọn C
Câu 54. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2018;2018 để phương trình 2
1 sin sin 2 cos2 0
m x x x có nghiệm.
A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.
Lời giải Phương trình 1 1 cos 2 sin 2 cos 2 0
2
x
m x x
2sin 2x 1 m cos2x m 1.
Phương trình có nghiệm 2 2 2
2 1 m m 1 4m 4 m 1
2018;2018 2018; 2017;...;0;1
m
m m có 2020 giá trị.
Chọn D
Câu 55. Hỏi trên 0;
2 , phương trình
2
2sin x 3sinx 1 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
[24]
Phương trình 2
1sin
2 sin 3sin 1 0 2
sin 1
x
x x
x
26
sin sin 5
2 .
6
6sin 1
22
x k
x
x k k
x
x k
Theo giả thiết
1 1
0 2 0
6 2 12 6 6
5 5 1
0 0 2 .
2 6 2 12 12
1
0
0 2
4
2 2
k
k
k
k k k x
x k k k
k k
k
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên 0;2 .
Chọn A
Câu 56. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos2x 5cosx 3 0 trên đường trịn lượng giác là?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Phương trình 2
cos 1
2 cos 5cos 3 0 3
cos2
x
x x
x loại
cosx 1 x k2 k .
Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác.
Chọn A
Câu 57. Cho phương trình cot 32 x 3cot 3x 2 0.
Đặt t cot 3x, ta được phương trình nào sau đây?
A. t2 3t 2 0. B. 3t2 9t 2 0. C. t2 9t 2 0. D. t2 6t 2 0.
Lời giải
Chọn A
Câu 58. Số nghiệm của phương trình 4 sin 22 x 2 1 2 sin 2x 2 0 trên 0; là?
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
[25]
Phương trình 2
2sin 2
2
4 sin 2 2 1 2 sin 2 2 0 .
1sin 2
2
x
x x
x
0;
0;
2 2
2 4 8 8
sin 2 sin .
3 3 3
2 4 2 2
4 8 8
x k x
x k
x
x k x k x
0;
0;
2 2
1 6 12 12
sin 2 sin .
5 5 5
2 6 2 2
6 12 12
x k x k x
x
x k x k x
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn.
Chọn B
Câu 59. Số nghiệm của phương trình sin 22 x cos2x 1 0 trên đoạn ;4 là?
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Lời giải
Phương trình sin 22 x cos2x 1 0 cos 22 x cos2x 2 0
cos 2 1
cos 2 1 2 2 , .
cos 2 2
x
x x k x k k
x loại
Do x ;4 k 4 1 k 4 k k 1;0;1;2;3;4 .
Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn.
Chọn C
Câu 60. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin2 3cos 0
4 4
x x
trên đoạn 0;8 .
A. T 0. B. T 8 . C. T 16 . D. T 4 .
Lời giải
Phương trình 2 sin2 3cos 0 2 1 cos2 3cos 0
4 4 4 4
x x x x
2
1cos
1
4 2
2 cos 3cos 2 0 cos cos cos
4 4 cos 2 4 2 4 3
4
x
x x x x
x
loại
0;8
0;8
4 4
2 8
4 20
4 3 3 3 8 .
4 20 3 3
2 8
4 3 3 3
x
x
x k x k x
T
x
[26]
Chọn B
Câu 61. Số nghiệm của phương trình 12 3 1 cot 3 1 0
sin x x trên 0; là?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Điều kiện: sinx 0 x k k .
Phương trình 1 cot2x 3 1 cotx 3 1 0 cot2x 3 1 cotx 3 0
0;
0;
3cot cot
cot 1 4 4 4
.
cot 3
cot cot
6 6
6
x
x
x x k x
x
x x k x
x
thỏa mãnthỏa mãnVậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn.
Chọn B
Câu 62. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos2x 2cosx 2 0 trên đoạn 0;3 .
A. 17 .4
T B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 .
Lời giải
Phương trình 2cos2x 2cosx 2 0 2 2cos2x 1 2cosx 2 0
2
2
cos 2
2
4 cos 2 cos 2 2 0 cos
22 1
cos
2
x
x x x
x loại0;3
0;3
9
2 ;
9 7 17
4 4 4 .
7 4 4 4 4
2
4 4
x
x
x k x x
T
x k x
Chọn A
Câu 63. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos2x 3sinx 4 0 trên đường trịn lượng giác là?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Phương trình 1 2sin2x 3sinx 4 0 2sin2x 3sinx 5 0
sin 1
sin 1 2 .
5 2
sin2
x
x x k k
[27]
Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường trịn lượng giác biểu diễn nghiệm.
Chọn A
Câu 64. Cho phương trình cos cos 1 02
x
x . Nếu đặt cos
2
x
t , ta được phương trình nào sau đây?
A. 2t2 t 0. B. 2t2 t 1 0. C. 2t2 t 1 0. D. 2t2 t 0.
Lời giải
Ta có cos 2 cos2 1.
2
x
x
Do đó phương trình 2 cos2 1 cos 1 0 2 cos2 cos 0.
2 2 2 2
x x x x
Đặt cos2
x
t , phương trình trở thành 2t2 t 0.
Chọn A
Câu 65. Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos 5
3 6 2
x x thuộc 0;2 là?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Ta có cos 2 1 2 sin2 1 2 cos2
3 3 6
x x x .
Do đó phương trình 2 cos2 4 cos 3 0
6 x 6 x 2
1
cos 2
6 2 cos 1 2 6 ,
6 2 6 3
3 2
cos
2
6 2
x x k
x x k k
x k
x loại
.
Ta có 2 0;2 11
6 6
x
x k x ; 2 0;2
2 2
x
x k x .
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn.
Chọn B
Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanx mcotx 8 có nghiệm.
A. m 16. B. m 16. C. m 16. D. m 16.
Lời giải
Phương trình tan cot 8 tan 8 tan2 8tan 0
tan
m
x m x x x x m
x .
[28]
Chọn D
Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos2x 2m 1 cosx m 1 0 có nghiệm trên khoảng ;3
2 2 .
A. 1 m 0. B. 1 m 0. C. 1 m 0. D. 1 1
2
m .
Lời giải Phương trình 2
1cos
2 cos 2 1 cos 0 2.
cos
x
x m x m
x m
Nhận thấy phương trình cos 12
x khơng có nghiệm trên khoảng ;3
2 2 [Hình vẽ]. Do đó u cầu bài
tốn cosx m có nghiệm thuộc khoảng ;3 1 0
2 2 m .
Chọn B
Câu 68. Biết rằng khi m m0 thì phương trình 2sin2x 5m 1 sinx 2m2 2m 0 có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3
2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. m 3. B. 1
2
m . C. 0
3 7; .5 10
m D. 0
3 2; .5 5
m
Lời giải
Đặt t sin x 1 t 1 .
Phương trình trở thành 2t2 5m 1 2m2 2m 0. *
O
[29]
Yêu cầu bài toán tương đương với:
TH1: Phương trình * có một nghiệm t1 1 [có một nghiệm x] và một nghiệm 0 t2 1 [có bốn
nghiệm x] [Hình 1].
Do 2
1 1 2
c
t t m m
a .
Thay t1 1 vào phương trình * , ta được
2
2
3 6 0;1
.
1 1 0;1
2 4
m t
m t
loạithỏa
TH2: Phương trình * có một nghiệm t1 1 [có hai nghiệm x] và một nghiệm 1 t2 0 [có ba
nghiệm x] [Hình 2].
Do 2
1 1 2
c
t t m m
a .
Thay t1 1 vào phương trình * , ta được 22
1 2 1;0
.
1 3
1;0
2 4
m t
m t
loạiloại
Vậy 1
2
m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do 1 3; 2 .
2 5 5
m
Chọn D
Câu 69. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2cos 32 x 3 2m cos3x m 2 0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; .
6 3
A. 1 m 1. B. 1 m 2. C. 1 m 2. D. 1 m 2.
Lời giải
Đặt t cos x 1 t 1 . Phương trình trở thành 2t2 3 2m t m 2 0.
Ta có 2m 52. Suy ra phương trình có hai nghiệm 12
1.2
2
t
t m
O
O
Hình 1 Hình 2
[30]
Ta thấy ứng với một nghiệm 1
12
t thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ; .
6 3 Do đó yêu cầu bài
toán 1 t2 0 1 m 2 0 1 m 2.
Chọn B
Cách 2. Yêu cầu bài tốn tương đươn với phương trình 2t2 3 2m t m 2 0 có hai nghiệm t t1, 2
thỏa mãn 2 1
0
1 0 1 . 1 0 .
. 1 0
P
t t a f
a f
Câu 70. Giải phương trình sin2x 3 1 sin cosx x 3 cos2x 0.
A. 2 .
3
x k k B. .
4
x k k C.
2
3 .
24
x k
k
x k
D. 3 .
4
x k
k
x k
Lời giải
Phương trình tan2 3 1 tan 3 0 tan 1
tanx 3
x x x
4 .
3
x k
k
x k
Chọn D
Câu 71. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin2x 3 3 sin cosx x cos2x 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ; .
3 S B. 6 2; S. C.
5
; .
4 12 S D.
5
; .
2 6 S
Lời giải
Phương trình 2sin2x 3 3 sin cosx x cos2x 2 sin2x cos2x
O
[31]
2
3 3 sin cosx x 3cos x 0 3cosx 3 sinx cosx 0.
cos 0 0 .
2 2
k
x x k k x
3 sinx cosx 0 3 sinx cosx
0
1
tan tan tan .
6 6 6
3
k
x x x k k x
Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm
6 và 2 .
Chọn B
Câu 72. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
2 2
sin x 3 1 sin cosx x 3 cos x 3.
A. sinx 0. B. sin 1
2
x .
C. cos 1 tan 3 1 0
1 3
x x . D. tanx 2 3 cos2x 1 0.
Lời giải
Phương trình sin2x 3 1 sin cosx x 3 cos2x 3 sin2x cos2x2
1 3 sin x 3 1 sin cosx x 0 sinx 1 3 sinx 3 1 cosx 0.
sinx 0 cos2x 1 cos2x 1 0.
1 3 sinx 3 1 cosx 0 1 3 sinx 3 1 cosx
3 1
tan tan 2 3 tan 2 3 0.
1 3
x x x
Vậy phương trình đã cho tương đương với tanx 2 3 cos2x 1 0.
Chọn D
Câu 73. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2
sin x 3 sin cosx x 1?
A. cosx cot2x 3 0. B. sin . tan 2 3 0
2 4
x x .
C. cos2 1 . tan 3 0
2
x x . D. sinx 1 cotx 3 0.
[32]
2
3 sin cosx x cos x 0 cosx 3 sinx cosx 0.
cos 0 sin 0.
2
x x
3 sin cos 0 tan 1 .3
x x x
Ta có
11
tan tan
34
tan 2 3 tan 2 3 0.
1
4 1 tan .tan 1 .1 4
4 3
x
x x
x
Vậy phương trình đã cho tương đương vớisin . tan 2 3 0
2 4
x x .
Chọn B
Câu 74. Cho phương trình cos2x 3sin cosx x 1 0
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. x k khơng là nghiệm của phương trình.
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos2x thì ta được phương trình tan2x 3tanx 2 0.
C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin2x thì ta được phương trình 2cot2x 3cotx 1 0.
D. Phương trình đã cho tương đương với cos2x 3sin 2x 3 0.
Lời giải
Với sin 0 sin2 0 .
cos 1 cos 1
x
x
x k
x x Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Phương trình cos2x 3sin cosx x sin2x cos2x 0
2 2 2
sin x 3sin cosx x 2cos x 0 tan x 3tanx 2 0. Vậy B đúng.
Phương trình cos2x 3sin cosx x sin2x cos2x 0
2 2 2
2cos x 3sin cosx x sin x 0 2cot x 3cotx 1 0. Vậy C sai.
Chọn C
Phương trình 1 cos 2 3sin 2 1 0 cos 2 3sin 2 3 0.
2 2
x x x x
Vậy D đúng.
Câu 75. Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình sin2x 4sin cosx x 4cos2x 5 trên đường tròn lượng giác là?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Lời giải
Phương trình sin2x 4 sin cosx x 4 cos2x 5 sin2x cos2x
2
2 2
[33]
1tan
2
x có 2 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng gác.
Chọn C
Câu 76. Số nghiệm của phương trình cos2x 3sin cosx x 2sin2x 0 trên 2 ;2 ?
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Lời giải
Phương trình 2
tan 1
4
1 3tan 2 tan 0 1 .
1
tan arctan
2 2
x x k
x x
x x k
Vì 2 ;2 2 2 9 7 2; 1;0;1
4 4 4
k
x k k k .
Vì 2 ;2 2 arctan1 2
2
x k
CASIO
xapxi 28,565 24,565 28; 27; 26; 25
k
k k .
Vậy có tất cả 8 nghiệm.
Chọn D
Câu 77. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4 sin2x 3 3 sin 2x 2cos2x 4 là:
A.
12. B. 6. C. 4. D. 3.
Lời giải
Phương trình 4 sin2x 3 3 sin 2x 2cos2x 4 sin2x cos2x
2
cos 0
3 3 sin 2 6 cos 0 6 cos 3 sin cos 0 tan 1
3
x
x x x x x
x
min
Cho 0
min
1
0 0
2 2 2 2 .
1
0 0
6 6 6 6
k
k
x k k k k x
x k k k k x
So sánh hai nghiệm ta được
6
x là nghiệm dương nhỏ nhất.
Chọn B
Câu 78. Cho phương trình 2 1 sin2x sin 2x 2 1 cos2x 2 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
[34]
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos2x thì ta được phương trình tan2x 2 tanx 1 0.
C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin2x thì ta được phương trình cot2x 2cotx 1 0.
D. Phương trình đã cho tương đương với cos2x sin 2x 1.
Lời giải
Chọn D
Câu 79. Giải phương trình 2sin2x 1 3 sin cosx x 1 3 cos2x 1.
A.
6. B. 4. C.
2
3 . D. 12.
Lời giải
Phương trình 2sin2x 1 3 sin cosx x 1 3 cos2x sin2x cos2x
2 2
sin x 1 3 sin cosx x 3 cos x 0
2 tan
tan an 1 4
tan 3
3
1 3 t 3 0
x k
x
x x
x x k
maxCho 0
max
1
0 0
4 4 4 .
1 2
0 1
3 3 3
k
k
k k k x
k k k x
So sánh hai nghiệm ta được
4
x là nghiệm âm lớn nhất.
Chọn B
Câu 80. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
2 2
11sin x m 2 sin 2x 3cos x 2 có nghiệm?
A. 16. B. 21. C. 15. D. 6.
Lời giải
Phương trình 9sin2x m 2 sin 2x cos2x 0
1 cos 2 1 cos 2
9. 2 sin 2 0 2 sin 2 4 cos 2 5.
2 2
x m x x m x x
Phương trình có nghiệm 2 2 5
2 16 25 2 9
1
m
m m
m10;10 10; 9;...; 1;5;6;...;10
m
m m có 16 giá trị nguyên.
[35]
2 2
sin x 2 m 1 sin cosx x m 1 cos x m có nghiệm?
A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.
Lời giải
Phương trình 1 m sin2x 2 m 1 sin cosx x 2m 1 cos2x 0
1 cos 2 1 cos 2
1 . 1 sin 2 2 1 . 0
2 2
x x
m m x m
2 m 1 sin 2x mcos2x 2 3 .m
Phương trình có nghiệm 2 2 2 2
4 m 1 m 2 3m 4m 4m 0 0 m 1
0;1
m m
có 2 giá trị nguyên.
Chọn A
Câu 82. Tìm điều kiện để phương trình asin2x asin cosx x bcos2x 0 với a 0 có nghiệm.
A. a 4b. B. a 4b. C. 4b 1
a . D.
41
b
a .
Lời giải
Phương trình atan2x atanx b 0
.
Phương trình có nghiệm a2 4ab 0 a a 4b 0
4 4
4 0 b a 0 b 1.
a b a
a a
Chọn C
Câu 83. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin2x msin 2x 2m vô nghiệm.
A. 0 4
3
m . B. m 0, 4
3
m . C. 0 4
3
m . D. 4
3
m , m 0.
Lời giải
Phương trình 2.1 cos 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 1.2
x m x m m x x m
Phương trình vơ nghiệm 2 2 2
0
1 2 1 3 4 0 4.
3
m
m m m m
m
Chọn B
Câu 84. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 3;3 để phương trình
2 2 cos2 2 sin 2 1 0
m x m x có nghiệm.
[36]
Lời giải
Phương trình 2 2 .1 cos 2 2 sin 2 1 0
2
x
m m x
2 2
4 sin 2m x m 2 cos2x m 4.
Phương trình có nghiệm 16m2 m2 22 m2 4 2 12m2 12 m2 1 m 1
3;3 3; 2; 1;1;2;3
m
m m có 6 giá trị nguyên.
Chọn C
Câu 85. Giải phương trìnhsin cosx x 2 sinx cosx 2.
A. x 2 k , k .
x k
B. 2 2 , .2
x k
k
x k
C. 2 2 , .2
x k
k
x k
D. x 2 k , k .
x k
Lời giải Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x . Vì sin 1;1 2; 2
4
x t .
Ta có
22
2 sin cos sin2 cos2 2sin cos sin cos 1
2
t
t x x x x x x x x .
Khi đó, phương trình đã cho trở thành 2 1 2 2 2 4 5 0 1 .
52
t
t t t t
t loại
Với t 1, ta được sin cos 1 sin 1 sin sin
4 2 4 4
x x x x .
24 4
2
4 4
x k
x k
2,22
x k
k
x k .
Chọn B
Câu 86. Cho phương trình 3 2 sinx cosx 2sin 2x 4 0. Đặt t sinx cosx, ta được phương trình nào dưới đây?
A. 2t2 3 2t 2 0. B. 4t2 3 2t 4 0. C. 2t2 3 2t 2 0. D. 4t2 3 2t 4 0.
Lời giải
Đặt t sinx cosx sin 2x t2 1.
Phương trình đã cho trở thành 3 2t 2 t2 1 4 0 2t2 3 2t 2 0.
Chọn A
[37]
A. sin 2.
4 2
x B. cos 3.
4 2
x C. tanx 1. D. 1 tan2x 0.
Lời giải Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x . Điều kiện 2 t 2.
Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2.sin .cosx x sin 2x t2 1.
Khi đó, phương trình đã cho trở thành 5 t2 1 t 6 0 5t2 t 1 0: vô nghiệm. Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vơ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1 tan2x 0.
Chọn D
Câu 88. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin cos 1 1sin 22
x x x là:
A. .
2 B. . C.
3.
2 D. 2 .
Lời giải Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x . Điều kiện 2 t 2.
Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x t2 1.
Phương trình đã cho trở thành 1 2 1 2 2 3 0 1 .
32
t
t
t t t
t loại
Với t 1, ta được 2 sin 1 sin 1 sin sin
4 4 2 4 4
x x x
22
4 4 ,
2
2 2
4 4
x k
x k
k
x k
x k
.
TH1. Với x k2 0 k 0 k kmax 1 x 2 .
TH2. Với max
1 3
2 0 1 .
2 4 2
k
x k k k x
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là 3
2
x .
Chọn C
Câu 89. Cho x thỏa mãn phương trình sin2x sinx cosx 1. Tính sin .4
[38]
A. sin 04
x hoặc sin 1
4
x . B. sin 0
4
x hoặc sin 2
4 2
x .
C. sin 2
4 2
x . D. sin 0
4
x hoặc sin 2
4 2
x .
Lời giải Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x . Điều kiện 2 t 2.
Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x 1 t2.
Phương trình đã cho trở thành 1 2 1 2 0 0
1
t
t t t t
t .
Với t 1, ta được 2 sin 1 sin 1 .
4 4 2
x x
Với t 0, ta được 2 sin 0 sin 0.
4 4
x x
Chọn B
Câu 90. Từ phương trình 5sin 2x 16 sinx cosx 16 0, ta tìm được sin4
x có giá trị bằng:
A. 2.
2 B.
2.
2 C. 1. D.
2.2
Lời giải
Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x . Điều kiện 2 t 2.
Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2.sin cosx x sin 2x 1 t2.
Phương trình đã cho trở thành 2
1
5 1 16 16 0 21 .
5
t
t t
t loại
Với t 1 sinx cosx 1.
Mặt khác sinx cosx 2 sinx cosx 2 2, kết hợp với suy ra
2 2
sin cos 1 2 sin cos 1 sin
4 2
x x x x x .
Chọn D
Câu 91. Cho x thỏa mãn 6 sinx cosx sin cosx x 6 0. Tính cos .4
[39]
A. cos 1.4
x B. cos 1.
4
x C. cos 1 .
4 2
x D. cos 1 .
4 2
x
Lời giải Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x . Điều kiện 2 t 2.
Ta có
22
2 sin cos sin2 cos2 2 sin cos sin cos 1 .
2
t
t x x x x x x x x
Phương trình đã cho trở thành 6 1 2 6 0 1132
t
t
t
t loại
1 1
2 sin 1 sin sin
4 4 2 4 2
x x x
1 1
cos cos .
2 4 x 2 x 4 2
Chọn C
Câu 92. Từ phương trình 1 3 cosx sinx 2sin cosx x 3 1 0, nếu ta đặt t cosx sinx thì giá trị
của t nhận được là:
A. t 1 hoặc t 2. B. t 1 hoặc t 3. C. t 1. D. t 3.
Lời giải
Đặt sin cos 2 2 sin cos 1 2.
2
t
t x x t x x
Phương trình trở thành 1 3 t t2 1 3 1 0
2 1 3 3 0 1 1.
3
t
t t t
t loại
Chọn C
Câu 93. Nếu 1 5 sinx cosx sin 2x 1 5 0 thì sinx bằng bao nhiêu?
A. sin 22
x . B. sin 2
2
x hoặc sin 22
x .
C. sinx 1 hoặc sinx 0. D. sinx 0 hoặc sinx 1.
Lời giải
Đặt sin cos 2 2 sin cos 1 2.
2
t
t x x t x x
[40]
2 1 5 5 0 1
5
t
t t
t loại
sinx cosx 1 cosx sinx 1.
Mặt khác sin2 cos2 1 sin2 sin 12 1 sin 0.
sin 1
x
x x x x
x
Chọn D
Câu 94. Nếu 1 sinx 1 cosx 2 thì cos4
x bằng bao nhiêu?
A. 1. B. 1. C. 2.
2 D.
2.2
Lời giải
Ta có 1 sinx 1 cosx 2 1 sinx cosx sin .cosx x 2
sinx cosx sin .cosx x 1 2 sinx cosx 2.sin .cosx x 2.
Đặt sin cos 2 2 sin cos 2 1.
2
t
t x x t x x
Khi đó trở thành 2 2 1 2 2 2 3 0 1
3
t
t t t t
t loại
sinx cosx 1.
Ta có cos cos cos sin sin 2 cos sin 2.
4 4 4 2 2
x x x x x
Chọn C
Câu 95. Cho x thỏa mãn 2sin 2x 3 6 sinx cosx 8 0. Tính sin 2 .x
A. sin 2 1.2
x B. sin 2 2.
2
x C. sin 2 1.
2
x D. sin 2 2.
2
x
Lời giải Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x . Vì sin 1;1 0; 2
4
x t .
Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x t2 1.
Phương trình đã cho trở thành 2
6
2 1 3 6 8 0 2
6
t
t t
t loại
2 1
sin 2 1 .
2
[41]
Chọn C
Câu 96. Hỏi trên đoạn 0;2018 , phương trình sinx cosx 4 sin 2x 1 có bao nhiêu nghiệm?
A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019.
Lời giải Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x . Vì sin 1;1 0; 2
4
x t .
Ta có t2 sinx cosx 2 sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x 1 t2.
Phương trình đã cho trở thành 2
1
4 1 1 3 .
4
t
t t
t loại
Với t 1, ta được sin 2 0 2 ,2
k
x x k x k .
Theo giả thiết 0;2018 0 2018 0 40462
k
x k
0;1;2;3;...;4036
k k
có 4037 giá trị của k nê có 4037 nghiệm.
Chọn A
Câu 97. Từ phương trình 2 sinx cosx tanx cotx, ta tìm được cosx có giá trị bằng:
A. 1. B. 2.
2 C.
2.
2 D. 1.
Lời giải Điều kiện sin 0 sin 2 0
cos 0
x
x
x .
Ta có 2 sin cos tan cot 2 sin cos sin coscos sin
x x
x x x x x x
x x
2 2
sin cos
2 sin cos 2 sin cos . 2 sin cos 2.
sin cos
x x
x x x x x x
x x
Đặt sin cos 2 2 sin cos 2 1.
2
t
t x x t x x
Phương trình trở thành 2t t2 1 2 t3 t 2 0 t 2
sinx cosx 2 sinx 2 cos .x
Mà sin2x cos2x 1 cos2x 2 cosx 2 1 2cos2x 2 2 cosx 1 0
2 1
2 cos 1 0 cos2
[42]
Chọn C
Câu 98. Từ phương trình 1 sin3 cos3 3sin 2
2
x x x, ta tìm được cos4
x có giá trị bằng:
A. 1. B. 2.
2 C.
2.
2 D.
2.2
Lời giải
Phương trình 1 sin cos 1 sin co 3sin 22s
x x x x x
2 sinx cosx 2 sin 2x 3sin 2 .x
Đặt sin cos 2 2 sin cos 2 1.
2
t
t x x t x x
Phương trình trở thành 2 t 2 t2 1 3 t2 1
3 32 3 5 0 1 .
1 6
t
t t t
t loại
Với t 1, ta được sin cos 1 sin 1
4 2
x x x .
Mà sin2 cos2 1 cos2 1 cos 2.
4 4 4 2 4 2
x x x x
Chọn D
Câu 99. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cosx x sinx cosx m 0 có nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Đặt sin cos 2 2 sin cos 2 1.
2
t
t x x t x x
Phương trình trở thành 2 1 0 2 2 2 1 12 2 2
2
t
t m m t t t m .
Do 2 t 2 2 1 t 1 2 1 0 t 12 3 2 2.
Vậy để phương trình có nghiệm 0 2 2 3 2 2 1 2 2 12
m m
1;0;1 .
m m
[43]
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM [LHP-TĐN-NTH-GĐ], Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức
Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG.
- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-
-
-
-
-