ĐƯỜNG THẲNGVÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
A.Lý thuyết cơ bản
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳngvà mặt phẳng, ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
- vàcắt nhau tại điểm, kí hiêuhoặc để đơn giản ta kí hiệu[h2]
- song song với, kí hiệuhoặc[ h2]
- nằm trong, kí hiệu[h3]
2. Các định lí và tính chất.
- Nếu đường thẳngkhông nằm trong mặt phẳngvàsong song với đường thẳngnằm trongthìsong song với.
|
Vậy |
Vậy. |
Vậy. |
|
B.Bài tập
Dạng 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.
|
Phương pháp: Để chứng minh đường thẳngsongsong với mặt phẳng |
Các ví dụ
Ví dụ 1.Cho hai hình bình hànhvàkhông cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt làvà.
a] Chứng minhsong song với các mặt phẳngvà.
b] Gọilần lượt là hai điểm trên các cạnhsao cho. Chứng minhsong song với.
Lời giải:
|
a] Ta cólà đường trung bình của tam giácứng với cạnhnên, . Tương tự,là đường trung bình của tam giácứng với cạnhnên,. |
b] Trong, gọi
Donên.
Lại có.
Mà.
Ví dụ 2.Cho hình chópcó đáylà một hình bình hành. Gọilà trọng tâm tam giác,là trung điểm củavàlà điểm trên cạnhsao cho.
a] Đường thẳng đi quavà song song vớicắttại. Chứng minh.
b] Chứng minh.
Lời giải:
|
a] Ta có, , mà . |
b] Gọilà giao điểm củavà
Ta có
,.
Dạng 2: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳngđi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặcchứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất:
Các ví dụ
Ví dụ 1.Cho hình chóp,vàlà hai điểm thuộc cạnhvà,là mặt phẳng quavà song song với.
a] Xác định thiết diện của hình chópkhi cắt bởi.
b] Tìm điều kiện củađể thiết diện là một hình thang.
Lời giải:
|
a] Ta có. Tronggọi Vậy Từ đó ta có. Thiết diện là tứ giác. |
b] Tứ giáclà một hình thang khihoặc.
Trường hợp 1:
Nếuthì ta có
Mà[vô lí].
Trường hợp 2:
Nếuthì ta có các mặt phẳngđôi một cắt nhau theo ba giao tuyến lànên.
Đảo lại nếuthì
nên tứ giáclà hình thang.
Vậy để tứ giáclà hình thang thì điều kiện là.
Ví dụ 2.Cho hình chóp, có đáy là hình vuông cạnhvà tam giácđều. Một điểmthuộc cạnhsao cho,mặt phẳng đi quasong song vớivà.
a] Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi.
b] Tính diện tích thiết diện theovà.
Lời giải:
|
a] Ta có .Tương tự Tronggọi, thì ta có . Thiết diện là tứ giác. |
b] Do
Lại có. Từvàsuy ra
Mà.
Ba mặt phẳngvàđôi một cắt nhau theo ba giao tuyến làvới.
Vậylà hình thang.
|
Ta có, mà . Do đólà hình thang cân. Từ, |
,
Gọilà trung điểm củathì
.