Tìm nghiệm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29.

Giải:

Ta có x = 29 - 4y /3 = 9 - y + 2-y/3

Muốn có x, y nguyên thì 2-y/3 phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y.

Vậy: 2 – y = 3t [t ∈ Z].

Khi đó: y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7.

Vậy:

x = 4t + 7

y = 2 - 3t [t nguyên]

là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đã cho

Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề: Tìm nghiệm nguyên của phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29. Giải: Ta có x = 29 4y 2 y9 y 3 3 − − = − + . Muốn có x, y nguyên thì 2 y 3 − phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y. Vậy: 2 – y = 3t [t ∈ Z]. Khi ñó: y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7. Vậy: x 4t 7 [t nguyên] y 2 3t = +  = − là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình ñã cho. Muốn tìm nghiệm nguyên dương của phương trình trên, ta ñặt thêm các ñiều kiện ñể x > 0; y > 0. Ta có: 7 t x 4t 7 0 4 2y 2 3t 0 t 3   > − = + >  ⇔  = − >  <   Do ñó: 7 2t 4 3 − < < và t chỉ có hai giá trị t1 = –1, t2 = 0. Với t1 = –1 thì x = 3, y = 5 là nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho. Với t2 = 0 thì x = 2, y = 7 là nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho. Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7x + 23y = 120 [1] Giải: Ta có x = 120 23y 1 2y17 3y 7 7 − − = − + . [2] Muốn có x, y nguyên thì 1 – 2y = 7t hay 2y = 1 – 7t [t nguyên]. Từ ñó: y = –3t + 1 t 2 − . [3] Vì y, t nguyên nên 1 – t = 2t1 [t1 nguyên] ⇔ t = 1 – 2t1. Thay vào [3] ta có: y = –3[1 – 2t1] + t1 = 7t1 – 3. Thay vào [2] ta ñược: x = 17 – 3[7t1 – 3] + 1 – 2t1 = 27 – 23t1. Vậy: x = 27 – 23t1 , y = 7t1 – 3 là nghiệm nguyên của phương trình [1]. Muốn có nghiệm nguyên dương, ta phải có: 1 1 1 1 27 t x 27 23t 0 23 y 7t 3 0 3 t 7    ⇔  = − >  >  Suy ra t1 = 1 và x = 4, y = 4 là nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình ñã cho. Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y [1] Giải: [1] ⇒ xy – 4x + 5y – 20 = 15 hay [ x + 5][y – 4] = 15 = 15.1 = 5.3. Vì x, y ñều là số tự nhiên nên x + 5 ≥ 5 và là ước của 15, CHUYEÂN ÑEÀ. TÌM NGHIEÄM NGUYEÂN CUÛA PHÖÔNG TRÌNH Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ta có: hoặc x 5 15 x 5 5 y 4 1 y 4 3  + = + =   − = − = hoaëc Suy ra: x = 10, y = 5 hoặc x = 0, y = 7. ðó là những nghiệm tự nhiên của phương trình ñã cho. Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 – 6xy + 13y2 = 100 [1] Giải: [1] ⇒ x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 hay [x – 3y]2 = 4[25 – y2] ≥ 0 . Vậy 2y 5 và 25 y≤ − là số chính phương. Với y = 1 hoặc y = 2 thì 25 – y2 không là số chính phương [loại]. Với y = 3 ta có: 2 x 9 8 x 17[x 9] 4.16 x 9 8 x 1 − = ⇒ = − = ⇒  − = − ⇒ = . Với y = 4 ta có: 2 x 12 6 x 18[x 12] 36 x 12 6 x 6 − = ⇒ = − = ⇒  − = − ⇒ = . Với y = 5 ta có: [x – 15]2 = 0 ⇒ x = 15. Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho là: [1; 3], [17; 3], [6; 4], [18; 4], [15; 5]. Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x2 + 5 y2 = 345 [1] Giải: 345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên 3x2 + 5 y2 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Vì [3, 5] = 1 nên x ⋮ 5 ⇒ x = 5a [a ∈ Z] và y ⋮ 3 ⇒ y = 3b [b ∈ Z]. Ta có: 3.25a2 + 5.9b2 = 345 ⇔ 5a2 + 3b2 = 23 [2] Ngoài ra: a2 2b23 23; a 2, b 2 5 3 ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Thay vào [2] các giá trị của a = 1, 2 và b = 1, 2 ta thấy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất với a = 2, b = 1. Lúc ñó x = 10, y = 3. Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x – 3y = 2xy – 11 [1] Giải: [1] ⇒11 + 5x = y[2x + 3] hay 11 5x 2[5x 11] 7y 2y và 2y 5 2x 3 2x 3 2x 3 + + = ⇒ = = + + + + . Nếu x, y ñều là nguyên dương thì 2x +3 phải là ước của 7 tức là bằng –1, 1, –7, 7. Trong bốn trường hợp này phương trình chỉ nhận một cặp nghiệm nguyên dương với 2x + 3 = 1 & 7. Lúc ñó x = 2 và y = 3. Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = xyz [1]. Giải: Do vai trò của x, y, là bình ñẳng nên ta giả sử 0 < x ≤ y ≤ z. Ta có: xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3. Nếu x = y = z thì z3 = 3z ⇒ z2 = 3 ñiều này không xảy ra với z nguyên. Vậy ba số x, y, z không thể bằng nhau. Vậy số nhỏ nhất không thể bằng 3. Ta có xy < 3. Nếu xy = 2 thì x = 1, y = 2 ⇒ z = 3. Nếu xy = 1 thì x = 1, y = 1 ⇒ 2 + z = z vô nghiệm. ---------- HẾT ---------- TRUNG TÂM LUYÊN THI ðẠI HỌC ÑÖÙC KHAÙNH 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Thầy KHÁNH [GV TOÁN] 0975.120.189 – 0563.602.929

Tài liệu đính kèm:

• CHU DE TIM NGHIEM NGUYEN CUA PHUONG TRINH.pdf

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Hướng dẫn, cách giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một hay nhiều phương pháp để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.

I. Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 [với k nguyên].Ta có [2k + 1]2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

[2x + 5y + 1][2|x| + y + x2 + x] = 105

Hướng dẫn:

Ta có: [2x + 5y + 1][2|x| + y + x2 + x] = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x|+ y + x2 + x = 2|x|+ y + x[x+ 1] lẻ

có x[x+ 1] chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|lẻ ⇒ 2|x|= 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

[5y + 1] [ y + 1] = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ \displaystyle -\frac{26}{5}$[ loại]

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:

g1 [x1, x2,…., xn­] h [x1, x2,…., xn­] = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ [x+1]4 – y2 = 1 ⇔ [[x+1]2 –y] [[x+1]2+y]= 1

⇔$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}[x+1]_{{}}^{2}-y=1\\[x+1]_{{}}^{2}+y=1\end{array} \right.$ hoặc$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}[x+1]_{{}}^{2}-y=-1\\[x+1]_{{}}^{2}+y=-1\end{array} \right.$

$ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}1+y=1-y\\-1+y=-1-y\end{array} \right.$

⇒ y = 0 ⇒ [x+1]2 = 1 ⇔x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy [ x, y ] = [ 0, 0 ]; [ – 2, 0 ]

III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn

Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 [ x + y + z + t ] + 10 = 2 xyzt

Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 [ x + y + z + t ] + 10 = 2 xyzt

Do x≥ y≥z ≥ 2 nên 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11

⇒ [8x – 5] [8y – 5] = 265 vô nghiệm

vậy nghiệm của phương trình là bộ [x, y, z]

= [ 35; 3; 1; 1]; [9; 5; 1; 1] và các hoán vị

IV. Phương pháp 4: Phương pháp loại trừ

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1! + 2! + … + x! = y2

Hướng dẫn:

Với x ≥ 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3

Þ 1! + 2! + … + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương [loại]

Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x = {1;2;3;4}

Thử vào phương trình ta được [x = 1, y= 2]; [x = 3, y= 3] là thoả mãn.

y2 + y = x4 + x3 + x2 + x

Hướng dẫn:

Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2+4y+1=4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x+1

⇒ [2x2 + x ] 2 – [2y + 1]2 = [3x + 1] [x +1]

hay [2x2 + x + 1] 2 – [2y+ 1]2 = x[x-2]

Ta thấy:

Nếu x> 0 hoặc x< – 1 thì [3x + 1] [x +1] > 0

Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x [x-2] > 0

⇒ Nếu x>2 hoặc x< 1 thì [2x2 + x] 0 ⇒ 3y chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1

⇒ x2 + 3ychia cho 3 dư 0 hoặc 1

mà 3026 chia cho 3 dư 2 [loại]

Vậy nghiệm [x,y] = [55,0]

6. Phương pháp 6 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố

Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn xy + 1 = z

Hướng dẫn:

Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3

Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2

Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 [thoả mãn]

Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 [k ∈ N] ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z

Có 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ [2.4k+1] chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn [loại]

Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn

VII. Phương pháp 7: Đưa về dạng tổng

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + y2 – x – y = 8

Hướng dẫn:

Ta có x2 + y2 –x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32

⇔ [4x2 – 4x +1] + [4y2 – 4y + 1] = 34 ⇔ [2x – 1]2 + [2y – 1]2 = 34

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52

Do đó ta có $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=3\\|2y-1|=5\end{array} \right.$ hoặc $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=5\\|2y-1|=3\end{array} \right.$

Giải ra ta được [x,y] = [2,3]; [2,-2]; [-1, -2]; [-1, 3] và các hoán vị của nó.

x2 – 4xy + 5y2 = 169

Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ [x – 2y]2 + y2 = 169

Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122

Giải ra ta được [x, y] = [29, 12];[19, 12]; [-19, -12]; [22, 5]; [-2, 5] ;[2, -5]; [-22, -5]; [26, 13]; [-26, -13]; [-13. 0]; [13, 0]

VIII. Phương pháp 8: Lùi vô hạn

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình

x2 – 5y2 = 0

Hướng dẫn:

Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0

Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + y2 + z2 = x2 y2

Hướng dẫn:

Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1

Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1

Ta có x+ y+z= xy

lập luận tương tự ta có x+ y+ z= 16 xy

Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy [x1, y1, z1 ] là nghiệm của phương trình thì

$ \displaystyle \left[ \frac{{{x}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{y}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{z}_{1}}}{2_{{}}^{k}} \right]$là nghiệm của phương trình với k nguyên dương

⇒x1 = y1 = z1 = 0

Vậy phương trình có nghiệm là [0, 0, 0]

IX. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số.

Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên

3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

Hướng dẫn:

Ta có PT: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

⇒ y2 + [4x + 2]y + 3 x2 + 4x + 5 = ] [*] coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt [*] ẩn y ta có

⇒ [x- n] [x+ n] = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình có nghiệm nguyên

[x, y] = [2; -5]; [-2, 3]

Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – [y+5]x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta có x2 – [y+5]x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.$

⇒ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=5y+25\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ [x1 -5] [x2 -5] = 2 Mà 2 = 1.2 = [-1][-2]

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm được các cặp số

[x,y ] = [7, 8]; [6, 8]; [4, 2]; [3, 2]; là nghiệm của phương trình

X.Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

Hướng dẫn:

Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ [x- $ \displaystyle \frac{y}{2}$]2 = 3 –$ \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}$

Ta thấy [x-$ \displaystyle \frac{y}{2}$]2= 3 –$ \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}$≥ 0

⇒ -2≤ y≤ 2

⇒ y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x

Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là :

[x, y] = [-1,-2], [1, 2]; [-2, -1]; [2,1] ;[-1,1] ;[1, -1]

Bài tập phương trình nghiệm nguyên:

• Một số công thức giải nhanh bài tập trắc nghiệm hóa học

• Các dạng toán về phương pháp khử trong tiểu học

• Xin ý kiến mọi người liên quan đến việc gia sư

• Các định luật, quy tắc Hóa học cần ghi nhớ

• Cách dạy con của người Nhật từ 0 đến 18 tuổi

• Học người Nhật cách dạy con không cần roi vọt

• Cha mẹ cần làm gì khi con nói dối?