I/ Định nghĩa về Tập giá trị của hàm số.1. Định nghĩa thứ nhất về tập giá trị của hàm số :Cho tập X ⊆ R. ánh xạ f : X → R được gọi là một hàm số xác định trên X. TậpX được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số fTập ảnh f[X]={f[x]:x ∈ X} được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f .2. Định nghĩa thứ hai về tập giá trị của hàm số :Cho X ⊆ R . Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x ∈ X xác định đượcmột giá trị tương ứng y ∈ R thì quy tắc f được gọi là một hàm số của x và viếty=f[x]. x được gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x. Tậphợp tất cả các giá trị y với y =f[x]; x ∈ X gọi là tập giá trị của hàm số f.3. Định nghĩa thứ ba về tập giá trị của hàm số:Cho Φ ≠ X ⊆ R. Một hàm số f xác định trên X là một quy tắc f cho tương ứng mỗiphần tử x ∈ X xác định duy nhất một phần tử y ∈ R.x được gọi là biến số hay đối số .y được gọi là giá trị của hàm số tại x.X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số.Tập giá trị của hàm số T = f[X] ={ f[x]: x ∈ X}.II/ Tập giá trị của một số hàm số sơ cấp cơ bản.1.Hàm hằng số :Y = f[x] = cTập xác định : D = R.Tập giá trị : T = { c} .2.Hàm số bậc nhất :Y = f[x] =ax +b [ a≠0 ].Tập xác định : D = R .Tập giá trị : T = R .3.Hàm số bậc hai :y = a x2 + b x +c [ a≠0 ].Tập xác định : D = R.Tập giá trị của hàm số :∆; + ∞ ].4a∆+ Nếu a< 0 , Tập giá trị của hàm số là T = [- ∞ ;- ] .4a4.Hàm số y = x .+ Nếu a > 0 , Tập giá trị của hàm số là T =[ -Tập xác định : D = R .Tập giá trị : T = R*+ .5. Hàm số y = [x ] .Tập xác định : D = R .1Tập giá trị : T = Z .6. Các hàm số lượng giác:+ y = Sinx , y = Cosx có TGT là T = [ -1 ; 1] .+ y = Tanx và y = Cotx có TGT là T = R .7. Hàm số mũ:y = ax ; 0 < a ≠ 1 :Tập xác định : D = R .Tập giá trị của hàm số : T = R*+ .8. Hàm số Lôgarít :y = Logax ; 0 < a ≠ 1 :Tập xác định : D = R*+ .Tập giá trị:T=R.III/ Một số phương pháp tìm tập giá trị của hàm số .1.Phương pháp 1:Tìm tập giá trị của hàm số bằng cách tìm tập xác định củahàm số ngược của nó .Ta đã biết hai hàm số ngược nhau thì tập giá trị của hàm số này là tập xác địnhcủa hàm số kia và ngược lại. Do vậy để tìm tập giá trị của một hàm số ta đi tìm tậpxác định của hàm số ngược của nó:Ví dụ 1:3x + 5.2x − 11Hàm số có tập xác định là D = R \ .23x + 5Với mọi x ∈ D ta có :y=2x − 1⇔ y[2x -1] = 3x + 5⇔ [ 2y – 3] x = y + 5y+5⇔x=.2y − 3Tìm tập giá trị của hàm số y =Biểu thức có nghĩa khi : 2y – 3 ≠ 0⇔ y≠32Vậy tập giá trị của hàm số là : T = R\ {32 } .áp dụng phương pháp này ta có thể tìm được tập giá trị của một số hàm số saucoi như bài tập1. y =ax2. y =ax + bcx + d3. y = ax 2 + bx + c22.Phương pháp 2:Tìm tập giá trị của hàm số từ điều kiện có nghiệm củaphương trình : f[x] = yTừ điều kiện có nghiệm của phương trình f[x] = y ta đánh giá đượcy ∈ [a;b] từ đó ta tìm được tập giá trị của hàm số.Ví dụ 1:Tìm tập giá trị của hàm số y =x2 − x +1x2 + x +1Lời giải:Tập xác định của hàm số là D = R.Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình sau có nghiệmy=2x2 − x +1x2 + x +12⇔ y x +yx + y =x – x + 1có nghiệm2⇔ [ y – 1 ]x +[y + 1 ]x + y – 1 = 0 có nghiệmNếu y = 1 thì phương trình có nghiệm x = 0 .Nếu y ≠ 1 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi22∆' = [y + 1] - 4[y – 1] ≥ 02⇔ - 3y +10 y – 3 ≥ 0⇔1≤ y ≤ 3.31Vậy tập giá trị của hàm số là T = ;3 .3 Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số y =Sinx + 2Cosx + 32 Sinx + Cosx + 3Lời giải:Tập xác định của hàm số là D = R.y là một giá trị của hàm số thì phương trình sau có nghiệmy=Sinx + 2Cosx + 32 Sinx + Cosx + 3⇔ 2y Sinx + y Cosx +3y = Sinx +2Cosx + 3⇔ [ 2y – 1] Sinx + [y – 2] Cosx = 3 – 3y⇔ [ 2y – 1]2 +[ y+2]2 ≥ [3 – 3y]2⇔ 2y2 -5y + 2 ≤ 0⇔ 1≤ y≤2có nghiệmcó nghiệm2Vậy tập giá trị của hàm số là T = ;2 .2 1* Sau đây là một số bài tập vận dụngBài 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sa31.y=2x + 1x−52. y = − x 2 + x + 13. y =x 2 − 3x + 4x2 +12 sin x + cos x − 33 cos x − 4 sin x + 7− 2 sin 2 x + 3 sin x cos x + 4 cos 2 x − 1y=3 sin 2 x − 4 sin x cos x + cos 2 x + 2y = sin 2 x + 4 sin x cos x4.y=5.6.7.y = cos 3 x cos 3 x − sin 3 x sin 3 x .Bài 2 : Tìm a và b để tập giá trị của hàm số y =x 2 + ax + bcó tập giá trị là [0;2] .x2 +1x2 − x + acó tập giá trị là R.2x − ax −1Bài 4 : Tìm a để hàm số y = 2có tập giá trị chứa [-1;0] .x −aBài 3 : Tìm a để hàm số y =Bài 5: Tìm tập giá trị của hàm số3 x 2 + 10 xy + 20 y 2f [ x, y ] =trên miền D = [ x, y ] : x 2 + y 2 f 022x + 2 xy + 3 y{}3 /Phương pháp tìm tGT của hàm số bằng cách sử DụNG bất đẳng thức.Bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh đượcm ≤ y ≤ M và chỉ ra được dáu = xảy ra khi nào thì ta kết luận được tập giá trịcủa hàm số y = f[x].VD1: Tìm tập giá trị của hàm số16y =x +x +1+ 2005Tập xác định của hàm số là : D=[-1;+ ∞ ]8áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương x + 1 ;x +1+8x +1+8x +18≥ 33 [ x + 1].⇔x +116x+x +1.8x +1x +1;= 12 ⇔ x+8x +116ta cóx +1≥ 11+ 2009 ≥ 2020Hay Y ≥ 2020Dấu = xảy ra ⇔ x+1=8x +1⇔ [x+1]. x + 1 =8⇔ x=3Mặt khác hàm số đã cho liên tục trên D và lim y=+ ∞x → +∞Vậy tập giá trị của hàm số là T=[2020;+ ∞ ].VD2:Tìm TGT của hàm số y= x + 1 + 8 − x4Lời giải: Hàm số có TXĐ là D=[-1;8]Dễ thấy y ≥ 02Ta có :y =9 + 2 [ x + 1].[8 − x] ≥ 9 đẳng thức xảy ra ↔ x=-1 hoặc x=8 → y ≥ 3Mặt khác :áp dụng BĐT Côsi ta có:2 [ x + 1][8 − x] ≤ x+1 +8-x =9 → y 2 ≤ 9 +9 = 18 ↔ y ≤ 3 2đẳng thức xảy ra → x+ 1= 8 – x ↔ x =7mà hàm số liên tục trên D2→ TGT của hàm số là [3;3 2 ].* Nhận xét: Bằng phương pháp này kết luận dược tập giá trị của hàm số đồng thờicũng kết luận được về GTLN, GTNN của hàm số đó là một ứng dụng rất quantrọng về tập giá trị của hàm số mà chúng ta đề cập ở phần sau** Sau đây là một số bài tập áp dụng:Bài 1: Tìm TGT của hàm số:y = x + 1 + 2 x + 5 + 3x − 10 .Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số:f [ x, y ] = 4 − 5 x 2 − 2 y 2 + 2 xy + 8 x + 2 y .Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số :f [ x, y ] =x+ yxyztrên miền D = {[ x; y; z ] : x; y; z f 0; x + y + z = 1}4/Phương pháp tìm TGT của hàm số bằng cách khảo sát hàm số:Bằng cách sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số , lập bảng biến thiên của hàm số .Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận về tập giá trị của hàm số .x +1VD1: Tìm TGT của hàm số : y =x 2 +2Hàm số có TXĐ: D = Ry' =2− x[ x 2 +2] x 2 +2y, = 0 ↔ x= 2; y[2 ] =Limx +1x 2 +2x → −∞limx +1x 2 +2x → +∞321x = -121+ 2x1+= limx → −∞=1do đó ta có bảng biến thiên5xy’20−∞++∞-32y1-1Từ bảng biến thiên → TGT của hàm số là T=[-1;3].2Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số :f [ x, y ] =[ x + y] 3trên miền D = {[ x, y ] : x f 0, y f 0}x2 yLời giải:x[ + 1] 3y,f [ x, y ] =x 2[ ]yTa cóx=tyđặtvớit≥0[t + 1] 3t2t [t + 1] 2 [2t − 1]1⇔ g , [t ] ==0⇔t=42tthìf [ x, y ] = g [t ] =Ta có bảng biến thiênt120g ,[t]-0+∞+∞++∞g [t]274Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T= 27,+∞ .4*Nhận xét: Từ bảng biến thiên của hàm số chúng ta còn kết luận được về GTLN,GTNN của hàm số đồng thời còn có thể biện luận về số nghiệm của phương trìnhvà giảI được bất phương trình. Đó là những ứng dụng của tập giá trị của hàm sốchúng ta sẽ xết ở phần sauĐể xét các bài toán ứng dụng được tốt , các bạn hãy tự giải các bài tập sau:Bài 1:Tìm TGT của hàm số :y= [2 + 3 ] 2 x +[2 - 3] 2 x -8[[2+ 3 ] x +[2 − 3 ] x ].6Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số: f [ x, y ] =x4 y4x2 y 2x y+−[+ 2 ]+ + .442y xyxyxBài 3: Tìm tập giá trị của hàm sốy = sin20x + cos20x .Bài 4 : Tìm tập giá trị của hàm số : f [ x, y ] = 3 x + 3 ytrên miền D = {[ x, y ] : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y = 1}.IV. Một số bài toán nâng cao về tìm TGT của hàm số.Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán về tìm tập giá trị cũng như các ứngdụng của nó chúng ta cùng giải một số bài toán nâng cao.Bài 1: Tìm tập giá trị của hàm số Y =x 4 - 6 x 2 +2.Lời giải :Tập xác định của hàm số là D = R.đặt t= x 2 , thì t ≥ 0 Khi đó ta có y = g[t]= t 2 - 6t + 2 với t ∈ [0;+∞]y ' =g ' [t]= 2t – 6g ' [t] = 0 ↔ t = 3Bảng biến thiênt03+∞'y0+2+∞y-7Vậy TGT của hàm số là: T= [− 7;+∞ ]Bài 2: Tìm TGT của hàm số312 x[ x − a ] y= 2 x + 36 4với a ≠ 0Lời giải:đặt z =12 x[ x − a ]x 2 + 36thì y =4z3với z ≥ 0 và y ≥ 0z[ x2+36] = 12x[x-a]2⇔ [12 –z] x – 12ax – 36 z = 0để 0 ≤ z ∈ Tập giá trị của hàm số thì phương trình trên phải có nghiệmTa cóNếu z = 12 thì phương trình ⇔ ax +36 = 0 ⇔ x =− 36aNếu z ≠ 12 thì phương trình có nghiệm⇔ ∆' = 36a 2 + 36 z [12 − x] ≥ 022⇔ z -12z- a ≤ 07⇔ 6 − 36 + a 2 ≤ z ≤ 6 + 36 + a 2 z ≠ 12Do z ≥ 0 nên 12 ≤ 6 + 36 + a 2[→ z ∈ 0;6 + 36 + a 2]3Vậy tập giá trị của hàm số là T = 0; [6 + 36 + a 2 ] 4 .x +1Bài 3 : Tìm a để tập giá trị của hàm số y = 2chứa [0;1] .x +aLời giải:x +11=≠ 0∀x ≠ 12x −1 x −1→ tập giá trị của hàm số là [− ∞;0] ∪ [0;+∞ ] không chứa [0;1]x +1Nếu a ≠ 1 thìy= 2x +a2↔ y[x +a] = x+12↔ yx – x + ay – 1 = 0xéty =0→ x=-1xéty ≠ 0 ta có y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phươngNếu a = -1 thì y =trìnhyx2 – x + ay – 1 = 0 có nghiệm↔ ∆ = 1 − 4 y [ay − 1] ≥ 02↔ 4ay − 4 y − 1 ≤ 0để tập giá trị của hàm số chứa [0 ; 1] thì g [ y ] ≤ 0 đúng với mọi y ∈ [0;1]+ nếu a=0 thì g[y] = -4y – 1 ≤ 0 ↔ y ≥ −141→ tập giá trị của hàm số là [− ;+∞] ⊃ [0;1]4+ nếu a ≤ 0 thì g [ y ] ≤ 0∀y ∈ [0;1] luôn đúng4ag [1] ≤ 04 a − 5 ≤ 05↔0≤a≤+ nếu a ≥ 0 thì g [ y ] ≤ 0 ↔ ↔44ag [0] ≤ 0− 1 ≤ 0Kết hợp các khả năng đã xét ta có các giá trị của a thoả mãn bài toán là−1 ≠ a ≤5.4Bài 4 : Tìm miền giá trị của hàm số y = 2000x + 2000-xLời giải:Tập xác định của hàm số là D = RVới mọi x ∈ R ta có 2000x > 0 và 2000-x > 0áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :y = 2000 x + 2000 − x ≥ 2 2000 x .2000 − x = 28lim y = +∞x → −∞Mặt khác ta có:lim y = +∞x → +∞Do đó tập giá trị của hàm số là T= [2;+∞] .Bài 5 : Tìm miền giá trị của hàm số y = x +1xLời giải:Tập xác định của hàm số là D = R\ {0}Với mọi x khác 0 ta cóy = x+111= x + = x + ≥2xxx y ≤ −2↔y ≥ 2dấu = xảy ra khi x = ±1Vậy tập giá trị của hàm số là T = [− ∞;−2] ∪ [2;+∞ ] .Bài 6 : Tìm tập giá trị của hàm số y =2x1+ x2Lời giải:Tập xác định của hàm số là D = R.Ta cóy =2x1+ x2≤2x2x= 1∀x ≠ 0→ −1 ≤ y ≤ 1 dấu = xảy ra khi x= 1 hoặc x= -1Mặt khác với x = 0 ta có y = 0Vậy tập giá trị của hàm số là T = [ -1 ; 1 ]Bài 7: Tìm miền giá trị của hàm số y = lg[1- 2cosx].Lời giải:Biểu thức xác định hàm số có nghĩa khi1 – 2cosx > 0 ↔ cosx 0 .Lời giải:xét hàm sốcóf [ x] = Ln[1 − x] − x +x22trên [0;+∞ ]1x2f [ x] =−1+ x =≥ 0∀x ∈ [0;+∞]x +1x +1'Bảng biến thiên:xf ‘[x]0+∞++∞f [x]0Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là: [0;+∞ ]Vậy f [x] > 0 với mọi x hay ta có điều phải chứng minh.10VD 2: Chứng minh rằng 2 < log 2 3 + log 3 2 0∀x ≠ ±1312BBT:xf ' [ x]f [x]-∞+-13//+13//33+∞+26− 26Nhận xét thấy tại x= 14 thì f[x] = 4 mà hàm số luôn đồng biến trên R. Vậy ptcó 1 nghiệm duy nhất x = 14VD2: Tìm b để pt sau có nghiệm: x 4 − 2 x 2 − 2b + 2 = 0*Nhận xét: Nếu áp dụng điều kiện có nghiệm của pt trùng phương thì bài toántrở nên rất phức tạp, nhiều trường hợp xảy ra.ở đây chúng ta sử dụng phương pháp hàm số như sau:Phương trình ↔ 2b = x 4 − 2 x 2 + 2đặt t = x 2 thì t ≥ 0 và 2b = t 2 − 2t + 2Xét hàm số f[t] = t 2 − 2t + 2f ' [t ] = 2t − 2 ↔ f ' [t ] = 0 ↔ t = 1BBT:t01+∞'0+f [t ]2+∞f [ t]1Từ BBT ta thấy pt có nghiệm ↔ 2b ≥ 1↔b≥12VD3: Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của ptx + 3 = m x2 +1x+3Phương trình ↔ m = 2x +1x+3Xét hàm số f[x] =x2 +1TXĐ: D = R13Bằng cách khảo sát hàm số ta có BBT như sauXf ' [ x]f [x]-∞+1/30∞+-10-11Từ BBT ta có kết quả sau m ≤ −1 pt vô nghiệm− 1 < m ≤ 1 pt có 1 nghiêm1 < m < 10 pt có 2 nghiệmm = 10 pt có 1 nghiệmm > 10 pt vô nghiệmứng dụng 4: ứng dụng vào việc giải BPTVD1: Giải BPT: x[ x 8 + x 2 + 16] > 6[4 − x 2 ]↔ x 9 + x 3 + 6 x 2 + 16 x − 24trên RCó f[1] = 0'Và f [ x] = 9 x 8 + 3x 2 + 12 x + 16= 9 x 8 + 3[ x 2 + 4 x + 4] + 4= 9 x 8 + 3[ x + 2] 2 + 4 > 0∀x⇒ Hàm số đồng biến trên RBBT:-∞1+∞x'+f [ x]+∞0f [x]−∞Từ bảng biến thiên ta kết luận được tập nghiệm của bất phương trình là:D = [1;+∞ ] .VD2: Giải bất phương trình: 5 x + 12 x > 13 x .Lời giải:Bất phương trình tương đương513512[ ]x + [ ]x > 113131213xét hàm số f [ x] = [ ] x + [ ] x là hàm số nghịch biến trên Rta có bảng biến thiên14xf [x]-∞f [x]+∞2++∞10Từ bảng biến thiên ta có tập nghiệm của bất phương trình là [− ∞;+2 ]* Trên đây chúng ta đã xét một số phương pháp tìm TGT của hàm sốvà một sốứng dụng của nó. Sau đây chúng ta tự làm một số bài tập để rèn luyện thêm kỹnăng giải toán. Một bài toán thì có thể có nhiều phương pháp giải chúng ta hãygiải các bài tập dưới đây bằng nhiều phương pháp và chọn một cách giải phù hợpnhất.Bài tập vận dụng:Bài 1: Tìm TGT của các hàm số sau:2x + 323x + 4 x + 5Cosx3. y =2 + Sinx1. y =5. y =2. y =3 x 2 + 10 x + 20x 2 + 4x + 54. y = 4 Sinx + 4 CosxCosx + 2 Sinx + 32Cosx − Sinx + 4mx 2 + [1 − m] x + 1 + 2m6Bài 2: Tìm m để hàm số y =có TGT là ;2 .2x −x+27 Bài 3: Tìm m và n để TGT của hàm sốx 2 + mx + nlà [− 1;9] .x2 +120 x 2 + 10 x + 3Bài 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số : y =.3x 2 + 2 x + 1kSinx + 1Bài 5: Tìm k để hàm số y =có GTNN nhỏ hơn -1.2 + Cosxm[1 + 2Cosx] + 1Bài 6: Tìm m để hàm số y =có GTLN đạt GTNN.Sinx + Cosx + 2y=Bài 7: CMR :Bài 8: CMR:Cos3 x + aSin3 x + 1 1 + 1 + 3a 2≤2 + Cos3 x33với ∀x .1 + x + 3 1 − x ≤ 2 với ∀x .15Bài 9: CMR:πSinx + Tanx > 2 x với ∀x ∈ [0; ] .2Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =2 + Cosx.Sinx + Cosx − 2Bài 11: Cho x, y thoả mãn x 2 + xy + y 2 = 2 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thứcA = x 2 − 2 xy + 3 y 2 .Bài 12: Cho x, y ∈ R và thoả mãn x 2 − xy + y 2 = 1 .Tìm GTNN của biểu thức:MM = xy + y 2 .Bài 13: Cho x,y ≠ 0 và thoả mãn [x + y ]xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm GTLN, GTNN củabiểu thức A =11+ 3 .3xyBài 14: Cho x, y ∈ R thay đổi và thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1 .Tìm GTLN,GTNN của biểu thức: p =2[ x 2 + 6 xy ].1 + 2 xy + 2 y 2Bài 15: Cho x 2 + y 2 − xy = 1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thứcM = x4 + y4 − x2 y2 .Bài 16: Tìm m để BPT sau có nghiệm Log 2 x 2 + 1 < log 2 [mx + m] .Bài 17:log 22 x − log 2 x 2 < 0Giải hệ phương trình: x 32 − 3x + 5 x + 9 > 03Bài 18 : Cho 0 < a < b 2[Cosb − Cosa] .2Bài 19: Cho pt f [ x] = x 3 + mx 2 − 1 = 0 .a. CMR với ∀m , pt luôn có 1 nghiệm dương duy nhấtb. Với giá trị nào của m nghiệm dương đó là nghiệm duy nhất của phươngtrình.16