Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên [SBC] là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\] B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\] C. \[\frac{{{a^3}}}{{12}}\]
D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\]
Vậy thể tích khối chóp là: \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}{a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\]
1. Góc giữa hai mặt phẳng.
Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:
\[[P] ∩ [Q] = c\]. Trong \[[P]\] từ \[I ∈ c\] vẽ \[a ⊥ c\]; trong \[[Q]\] từ \[I\] vẽ \[b ⊥ c\]. Góc giữa \[a\] và \[b\] là góc giữa \[mp[P]\] và \[mp[Q]\] [h.3.41].
Diện tích hình chiếu của một đa giác.
Cho đa giác \[H\] thuộc \[mp[Q]\]. Gọi đa giác \[H'\] là hình chiếu của đa giác \[H\] lên \[mp[P]\]; \[α = \widehat{[P; Q]}.\] Khi đó \[S_{H'}=S_{H}.cos\alpha .\]
2. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \[90^{0}.\]
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 1
Nếu hai mặt phẳng \[[P]\] và \[[Q]\] vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng \[a\] nào nằm trong mặt phẳng \[[P]\], vuông góc với giao tuyến của \[[P]\] và \[[Q]\] đều vuông góc với mp \[[Q]\].
Hệ quả 2
Nếu hai mặt phẳng \[[P]\] và \[[Q]\] vuông góc với nhau và \[A\] là một điểm nằm trong \[[P]\] thì đường thẳng \[a\] đi qua điểm \[A\] và vuông góc với \[[Q]\] sẽ nằm trong \[[P]\].
Hệ quả 3
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
. Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đấy là hình chữ nhật.
. Hình lập phương là hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông.
4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Hình chóp đều:
- Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là 1 đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đấy.
- Hình chóp đều có các mặt cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
Hình chóp cụt đều:
Phần nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy của hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều.
Loigiaihay.com
Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài giảng Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
A. Lý thuyết.
I. Góc giữa hai mặt phẳng
1. Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
- Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00.
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.
- Giả sử 2 mặt phẳng [α] và [β] cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng trong [α] đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong [β] đường thẳng b vuông góc với c.
- Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng [α] và [β] là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABC có SA⊥ [ABC]; AB⊥BC, gọi I là trung điểm BC. Ta xác định góc giữa hai mặt phẳng [ SBC] và [ ABC] :
Ta có:
BC⊥SA,BC⊥AB⇒BC ⊥[SAB]⇒BC⊥SB⇒SBC∩ABC=BCAB⊥BC,AB⊂ABCSB⊥BC,SB⊂SBC⇒SBC,ABC^=SBA^
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác.
Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng [α] có diện tích S và H’ là hình chiếu vuông góc của H lên mp[β].
Khi đó, diện tích S’ của H’ được tính theo công thức:
S' = S.cosφ với là góc giữa [α] và [β].
II. Hai mặt phẳng vuông góc.
1. Định nghĩa.
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
Nếu hai mặt phẳng [α] và [β] vuông góc với nhau ta kí hiệu: [α]⊥[β].
2. Các định lí.
- Định lí 1.
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Hệ quả 1.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
- Hệ quả 2.
Cho hai mặt phẳng [α] và [β] vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng [α] ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [β] thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng [α].
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có . Trong tam giác BDC vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong[ ADC] vẽ tại K. Chứng minh
a] [ADC] ⊥ [ABE]
b] [ADC] ⊥ [DFK]
c] [BCD]⊥[ABE]
Lời giải:
a] Ta có
CD⊥BECD⊥AB⇒CD⊥ABECD⊂ADC⇒ADC⊥ABE
b] Ta có:
DF⊥BCDF⊥AB⇒DF⊥ABC
Mà SC⊂ABC⇒DF⊥ACDK⊥AC
⇒AC⊥DFKAC⊂ADC⇒ADC⊥DFK
c] Ta có
CD⊥BECD⊥AB⇒CD⊥ABECD⊂BDC⇒BDC⊥ABE
III. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
1. Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác… được gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác…
- Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
Ta có các loại hình lăng trụ đều như lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều..
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương.
2. Nhận xét
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.
IV. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
1. Hình chóp đều.
Cho hình chóp đỉnh S có đáy là đa giác A1A2…An và H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy [A1A2…An]. Khi đó, đoạn thẳng SH gọi là đường cao của hình chóp và H là chân đường cao của hình chóp.
- Định nghĩa. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
- Nhận xét:
a] Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
b] Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2. Hình chóp cụt đều.
- Định nghĩa: Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
- Ví dụ 3: Hình ABCD.A’B’C’D’ ở hình dưới là một hình chóp cụt đều. Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều và đồng dạng với nhau.
- Nhận xét. Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và các cạnh bên của hình chóp cụt đều có độ dài bằng nhau.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng [ABC] và [ ABD] cùng vuông góc với [ DBC]. Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chứng minh:
a] [ABE] ⊥[ADC]
b] [ABC] ⊥ [DFK]
c] [DFK] ⊥[ADC]
Lời giải:
a] Vì hai mặt phẳng [ ABC] và [ ABD] cùng vuông góc với [ DBC] nên
Ta có:
CD⊥BECD⊥AB⇒CD⊥ABE⇒ABE⊥ADC
b] Vì:
DF⊥BCDF⊥AB⇒DF⊥ABC⇒ABC⊥DFK
c] Ta có:
AC⊥DKAC⊥DF⇒AC⊥DFK⇒DFK⊥ADC
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AC= AD và BC= BD. Gọi I là trung điểm của CD.
a] Chứng minh: [BCD] ⊥ [AIB] và [ACD] ⊥ [AIB]
b] Xác định góc giữa hai mặt phẳng [ ACD] và [ BCD]
Lời giải:
a] Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD
⇒CD⊥BI [1]
Tam giác CAD cân tại A có I trung điểm đáy CD
⇒CD⊥AI [2]
Từ [1] và [2] ⇒CD ⊥ [ABI]
Suy ra: [BCD] ⊥ [AIB] và [ACD] ⊥ [AIB]
b] Góc giữa hai mặt phẳng [ ACD] và [ BCD] là
[ACD]; [BCD] = [BI; AI] = AIB^
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
Lời giải:
Gọi H là giao điểm của AC và BD.
+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥ [ABCD].
Ta có: SCD∩ABCD=CD.
Gọi M là trung điểm CD.
+ Tam giác SCD là cân tại S ; và tam giác CHD cân tại H [ tính chất hình vuông].
⇒ SM ⊥CD; HM ⊥ CD
⇒SCD,ABCD=SM,HM=SMH^=α
Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒SM=a32.
⇒cosα=HMSM=a2a32=13
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA⊥[ABCD]. Gọi α là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với [SCD], α cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
A. hình bình hành.
B. hình thang vuông.
C. hình thang không vuông.
D. hình chữ nhật.
Đáp án: B
Giải thích:
Dựng AH⊥CD
Ta có CD⊥SACD⊥AD⇒CD⊥[SAD].
Suy ra CD⊥AH
mà AH⊂[SCD] suy ra AH⊂[α]
Do đó α≡[AHB]
Vì α//CD nên
α∩[SAD]=HK//CD[K∈SC].
Từ đó thiết diện là hình thang ABKH.
Mặt khác AB⊥[SAD] nên AB⊥AH
Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB=a, AD=2a. SA vuông góc với đáy và SA=a. Gọi P là mặt phẳng qua SO và vuông góc với SAD. Diện tích thiết diện của P và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
A. a232
B. a222
C. a22
D. a2
Đáp án: B
Giải thích:
Gọi MN là đoạn thẳng qua O vuông góc AD [ M,N thuộc AD,BC ] ta có
MN⊥ SAD nên SMN là thiết diện cần tìm.
∆SMN vuông tại M nên
SSMN=SM.MN2=a222
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Câu 4: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường kia.
B. Cho đường thẳng a⊥α, mọi mặt phẳng β chứa a thì β⊥α.
C. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường thẳng kia.
D. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng α chứa a và mặt phẳng β chứa b thì α⊥β.
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một cạnh bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
B. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
C. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
D. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.
D. Một mặt phẳng P và một đường thẳng a không thuộc P cùng vuông góc với đường thẳng b thì P//a.
Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, hãy tìm mệnh đề đúng.
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Nếu hai mặt vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
C. Hai mặt phẳng α và β vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc α và mỗi điểm B thuộc βthì ta có đường thẳng vuông góc với.
D. Nếu hai mặt phẳng α và β đều vuông góc với mặt phẳng γ thì giao tuyến của α và β nếu có sẽ vuông góc với γ.
Đáp án: D
Giải thích:
Theo Định lí 2tr109−SGK−HH11−CB.
Câu 8: Cho hai mặt phẳng α và β vuông góc với nhau và gọi d=α∩β.
I. Nếu a⊂α và a⊥d thì a⊥β.
II. Nếu d'⊥α thì d'⊥d.
III. Nếu b ⊥d thì b ⊂α hoặc b ⊂[β].
IV. Nếu γ⊥d thì γ⊥α và γ⊥β
Các mệnh đề đúng là:
A. I, II và III.
B. III và IV.
C. II và III.
D. I, II và IV.
Câu 9: Cho hai mặt phẳng P và Q cắt nhau và một điểm M không thuộc P và Q. Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với P và Q?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
Câu 10: Cho hai mặt phẳng P và Q, a là một đường thẳng nằm trên P. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. Nếu a//b với b=P∩Q thì a//Q.
B. Nếu P⊥Q thì a⊥Q.
C. Nếu a cắt Q thì P cắt Q
D. Nếu P//Q thì a//Q.
Đáp án: B
Giải thích:
Gọi b=P∩Q nếu a//b thì a//Q.
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Vectơ trong không gian
Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc
Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Lý thuyết Khoảng cách
Lý thuyết Ôn tập chương 5