Kiến thức cần nhớ về phương trình mặt phẳng – Hình học lớp 12
I. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
Định nghĩa : Cho mặt phẳng [α]. Vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng [α] được gọi là vectơ pháp tuyến của [α].
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1. Nếu mặt phẳng [ α] song song hoặc chứa giá của hai vectơ khác phương là = [a1; a2; a3] và = [b1; b2; b3] thì [α] có một vectơ pháp tuyến là :
Vectơ được gọi là tích có hướng [hay tích vectơ] của hai vectơ và , kí hiệu là ∧ hay [ , ].
2. Phương trình của mặt phẳng [ α] đi qua điểm M0[x0; y0; z0] và nhận vectơ
[A;B;C] khác làm vectơ pháp tuyến là :
3. Nếu mặt phẳng [ α] có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì
nó có một vectơ pháp tuyến = [A ; B ; C].
Nếu mặt phẳng [α] cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại các điểm A[a ; 0 ,0], 5[0; b; 0], C[0; 0; c] với abc ≠ 0 thì [α] có phương trình theo đoạn chắn là
Xem thêm:
Các dạng toán cơ bản về phương trình mặt phẳng .
III. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC
Cho hai mặt phẳng [α1] và [α2] có phương trình tổng quát lần lượt là
Gọi [A1;B1; C1] và [A2 ; B2 ; C2] lần lượt là vectơ pháp tuyến của [α1] và [α2]. Ta có :
IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M0[x0; y0; z0] đến mặt phẳng [à]: Ax + By + Cz + D = 0 được tính bởi công thức :
Related
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 2: Phương trình mặt phẳng - Thầy Trần Thế Mạnh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
• Vectơ n→ ≠ 0→ là vectơ pháp tuyến [VTPT] nếu giá của n→ vuông góc với mặt phẳng [α]
• Chú ý:
- Nếu n→ là một VTPT của mặt phẳng [α] thì kn→ cũng là một VTPT của mặt phẳng [α].
- Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.
- Nếu u→, v→ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng [α] thì n→ = [u→, v→] là một VTPT của [α]
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Trong không gian Oxy , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0
- Nếu mặt phẳng [α] có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n→[A; B; C].
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mo[xo; yo; zo] và nhận vectơ n→[A; B; C] khác 0→ là VTPT là: A[x - xo] + B[y - yo] + C[z - zo] = 0 .
Quảng cáo
• Các trường hợp riêng
Xét phương trình mặt phẳng [α]: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0
- Nếu D = 0 thì mặt phẳng [α] đi qua gốc tọa độ O.
- Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc chứa trục Ox.
- Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc chứa trục Oy.
- Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc chứa trục Oz.
- Nếu A = B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc trùng với [Oxy].
- Nếu A = C = 0, B ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc trùng với [Oxz].
- Nếu B = C = 0, A ≠ 0 thì mặt phẳng [α] song song hoặc trùng với [Oyz].
Chú ý:
- Nếu trong phương trình [α] không chứa ẩn nào thì [α] song song hoặc chứa trục tương ứng.
- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn [α]:
III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Trong không gian Oxyz, cho điểm Mo[xo; yo; zo] và mặt phẳng [α]: Ax + By + Cz + D = 0
Khi đó khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng [α] được tính:
IV. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng [α]: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và [β]: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Góc giữa [α] và [β] bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT nα→, nβ→. Tức là:
Quảng cáo
Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
Phương pháp giải
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua 1 điểm Mo[xo; yo; zo] và song song với 1 mặt phẳng [β]: Ax + By + Cz + D = 0 cho trước.
Phương pháp giải
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
1. VTPT của [β] là nβ→ = [A; B; C]
2. [α] // [β] nên VTPT của mặt phẳng [α] là nα→ = nβ→ = [A; B; C]
3. Phương trình mặt phẳng [α]: A[x - x0] + B[y - y0] + C[z - z0] = 0
Cách 2:
1. Mặt phẳng [α] // [β] nên phương trình [P] có dạng: Ax + By + Cz + D' = 0 [*], với D' ≠ D.
2. Vì [P] qua 1 điểm Mo[xo; yo; zo] nên thay tọa độ Mo[xo; yo; zo] vào [*] tìm được D'.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương pháp giải
1. Tìm tọa độ các vectơ: AB→, AC→
2. Vectơ pháp tuyến của [α] là: nα→ = [AB→, AC→]
3. Điểm thuộc mặt phẳng: A [hoặc B hoặc C].
4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT nα→
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Δ
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của Δ là uΔ→
2. Vì [α] ⊥ Δ nên [α] có VTPT nα→ = uΔ→
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT nα→
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng [α] chứa đường thẳng Δ, vuông góc với mặt phẳng [β]
Phương pháp giải
1. Tìm VTPT của [β] là nβ→
2. Tìm VTCP của Δ là uΔ→
3. VTPT của mặt phẳng [α] là: nα→ = [nβ→; uΔ→]
4. Lấy một điểm M trên Δ
5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng [α] qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng [β]
Phương pháp giải
1. Tìm VTPT của [β] là nβ→
2. Tìm tọa độ vectơ AB→
3. VTPT của mặt phẳng [α] là: nα→ = [nβ→, AB→]
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng [α] chứa đường thẳng Δ và song song với Δ' [Δ, Δ' chéo nhau].
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của Δ và Δ' là uΔ→ và uΔ'→
2. VTPT của mặt phẳng [α] là: nα→ = [uΔ→, uΔ'→]
3. Lấy một điểm M trên Δ
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng [α]hứa đường thẳng Δ và 1 điểm M
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của Δ là uΔ→, lấy 1 điểm N trên Δ. Tính tọa độ MN→
2. VTPT của mặt phẳng [α] là: nα→ = [uα→; MN→]
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng [α] chứa 2 đường thẳng cắt nhau Δ và Δ'
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của Δ và Δ' là uΔ→ và uΔ'→
2. VTPT của mặt phẳng [α] là: nα→ = [u→Δ; uΔ'→]
3. Lấy một điểm M trên Δ
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng [α] chứa 2 song song Δ và Δ'
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của Δ và Δ' là uΔ→ và uΔ'→, lấy M ∈ Δ, N ∈ Δ'
2. VTPT của mặt phẳng [α] là: nα→ = [uΔ→; MN→]
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng Δ và Δ' chéo nhau cho trước.
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của Δ và Δ’ là uΔ→ và uΔ'→
2. VTPT của mặt phẳng [α] là: nα→ = [uΔ→; uΔ'→]
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng [P], [Q] cho trước.
Phương pháp giải
1. Tìm VTPT của [P] và [Q] là nP→ và nQ→
2. VTPT của mặt phẳng [α] là: nα→ = [nP→; nQ→]
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng [α] song song với mặt phẳng [β] và cách [β]: Ax + By + Cz + D = 0 một khoảng k cho trước.
Phương pháp giải
1. Trên mặt phẳng [β] chọn 1 điểm M.
2. Do [α] // [β] nên [α] có phương trình Ax + By + Cz + D' = 0 [D' ≠ D].
3. Sử dụng công thức khoảng cách d[[α], [β]] = d[M, [β]] = k để tìm D'.
Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng [α] song song với mặt phẳng [β]: Ax + By + Cz + D = 0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.
Phương pháp giải
1. Do [α] // [β] nên [α] có phương trình Ax + By + Cz + D' = 0 [D' ≠ D].
2. Sử dụng công thức khoảng cách d[M, [α]] = k để tìm D'.
Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt cầu [S].
Phương pháp giải
1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu [S]
2. Nếu mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt cầu [S] tại M ∈ [S] thì mặt phẳng [α] đi qua điểm M và có VTPT là MI→
3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 [D chưa biết].
Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d[I,[α]] = R để tìm D.
Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng [α] chứa một đường thẳng Δ và tạo với một mặt phẳng [β]: Ax + By + Cz + D = 0 cho trước một góc φ cho trước.
Phương pháp giải
1. Tìm VTPT của [β] là nβ→
2. Gọi nα→[A'; B'; C']
3. Dùng phương pháp vô định giải hệ:
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết Toán lớp 12 khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp