Bài 5 phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình không gian Sách bài tập Hình học 11. Giải bài 2.32, 2.33, 2.34 trang 83. Câu 2.32: Hình chiếu so H ng song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau hay không?; Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có song song với nhau hay không?
Bài 2.32: Hình chiếu so H ng song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau hay không? Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có song song với nhau hay không?
Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau có hình chiếu là a’ và b’. Nếu mặt phẳng [a, a’] và mặt phẳng [b, b’] song song với nhau thì \[a’\parallel b’\]. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song.
Nếu a và b là hai đường thẳng cắt nhau tại O và hình chiếu của O là O’ thì \[O’ \in a’\] và \[O’ \in b’\] tức là a’ và b’ có điểm chung. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau không thể song song được.
Bài 2.33: Trong mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] cho một tam giác ABC bất kì. Chứng minh rằng có thể xem tam giác ABC là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.
Cho tam giác ABC bất kì nằm trong mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]. Gọi \[\left[ \beta \right]\] là mặt phẳng qua BC và khác với \[\left[ \alpha \right]\]. Trong \[\left[ \beta \right]\] ta vẽ tam giác đều BCD. Vậy ta có thể xem tam giác ABC cho trước là hình chiếu song song của tam giác đều DBC theo phương chiếu DA lên mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\].
Bài 2.34: Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.
Với hình lục giác đều ABCDEF ta nhận thấy:
– Tứ giác OABC là hình bình hành [ vừa là hình thoi];
– Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O
Từ đó suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau: [h.2.54]
– Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình bình hành OABC..
– Lấy các điểm D’, E’, F’ lần lượt đối xứng của A’, B’, C’ qua tâm O’, ta được hình biểu diễn A’B’C’D’E’F’ của hình lục giác đều ABCDEF.
Chú ý. Ta có thể vẽ hình biểu diễn hình lục giác đều dựa trên sự phân tích sau đây ở hình thực ABCDEF [h.2.53] :
– Tứ giác ABDE là hình chữ nhật;
– Gọi I là trung điểm của cạnh AE và H là trung điểm của cạnh BD;
– Các điểm F và C đối xứng của O lần lượt qua I và H.
Từ đó ta có cách vẽ sau đây:
– Vẽ hình bình hành A’B’D’E’ biểu diễn cho hình chữ nhật ABDE
– Gọi I’ và H’ lần lượt là trung điểm của A’E’và B’D’.
– Gọi F’ đối xứng với O’ qua I’ và C’ đối xứng với O’ qua H’, ta được hình biểu diễn A’B’C’D’E’F’ của hình lục giác đều.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng:
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình bình hành có thể là hình biểu diễn của hình nào sau đây?
I. Phép chiếu song song
Cho mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ và đường thẳng $\Delta $ cắt $\left[ \alpha \right]$. Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với $\Delta $ cắt $\left[ \alpha \right]$ tại điểm M’ xác định.
Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ theo phương $\Delta $.
Mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của đường thẳng $\Delta $ được gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ được gọi là phép chiếu song song lên $\left[ \alpha \right]$ theo phương $\Delta $.
II. Tính chất của phép chiếu song song
* Định lí 1
a] Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
b] Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c] Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d] Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
* Định lí 2 [về giao tuyến của ba mặt phẳng]
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
III. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
* Hình biểu diễn của các hình thường gặp
1. Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước [có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông...].
2. Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước [có thể là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi...]
3. Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài đáy của hình biểu diễn bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình đã cho.
4. Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.
Page 2
SureLRN
Bài Tập và lời giải
Câu 40 trang 74 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
a. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau
b. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau
c. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau
d. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau
Xem lời giải
Câu 41 trang 74 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
a. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau
b. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau
c. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau
d. Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu song song của nó
e. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu song song của nó
f. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu song song của nó
Xem lời giải
Câu 42 trang 74 SGK Hình học 11 Nâng cao
Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm tam giác A’B’C’
Xem lời giải
Câu 43 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao
Vẽ hình biểu diễn của một tứ diện và trọng tâm của nó
Xem lời giải
Câu 44 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao
Vẽ hình biểu diễn của một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn
Xem lời giải
Câu 45 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao
Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn
Xem lời giải
Câu 46 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao
Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều
Xem lời giải
Câu 47 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Tìm điểm I trên đường chéo B1D và điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ // BC1. Tính tỉ số \[{{ID} \over {I{B_1}}}\]
Xem lời giải